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2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题1


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第8章
一、选择题

第1节

1. (2010· 崇文区)“m=-2”是“直线(m+1)x+y-2=0 与直线 mx+(2m+2)y+1=0 相互垂直” 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

>A.充分不必要 条件 C.充要条 件 [答案] A

[解析] m=-2 时,两直线-x+y-2=0、-2x-2y+1=0 相互垂直;两直线相互垂直时, m(m+1)+2m+2=0,∴m=-1 或-2,故选 A. 2.(文)(2010· 安徽文)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 [答案] A 1 1 [解析] 解法 1:所求直线斜率为2,过点(1,0),由点斜式得,y=2(x-1),即 x-2y-1=0. 解法 2:设所求直线方程为 x-2y+b=0, ∵过点(1,0),∴b=-1,故选 A. (理)设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a=( A.1 1 C.-2 [答案] A [解析] y′ =2ax,在(1,a)处切线的斜率为 k=2a, 因为与直线 2x-y-6=0 平行,所以 2a=2,解得 a=1. 3.点(-1,1)关于直线 x-y-1=0 的对称点是( A.(-1,1) C.(-2,2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x,y),则 B.(1,-1) D.(2,-2) ) 1 B.2 D.-1 ) B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0 )

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?x-1-y+1-1=0 ? 2 2 ?y-1 ? ?x+1=-1

? ?x=2 ,解之得? , ? ?y=-2

特殊解法:当直线 l:Ax+By+C=0 的系数满足|A|=|B|=1 时,点 A(x0,y0)关于 l 的对称 -By0-C -Ax0-C 点 B(x,y)的坐 标,x= ,y= . A B 4.(2010· 惠州市模考)在平面直角坐标系中,矩形 OABC,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折 叠,使 O 点落在线段 BC 上,设折痕所在直线的斜率为 k,则 k 的取值范围为( A.[0,1] C.[-1,0] [答案] D [解析] 如图,要想使折叠后点 O 落在线段 BC 上,可取 BC 上任一点 D 作线段 OD 的垂直平 分线 l,以 l 为折痕可使 O 与 D 重合,故问题转化为在线段 CB 上任取一点 D,求直线 OD 的 斜率的取值范围问题, B.[0,2] D.[-2,0] )

1 1 ∵kOD≥kOB=2,∴k=-kOD≥-2,且 k<0, 又当折叠后 O 与 C 重合时,k =0,∴-2≤k≤0. 5.(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线 3x-ay+1=0 的两侧,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,10) B.(10,+∞) 4? ? C. -∞,3 ∪(10,+∞) ? ? )

?4 ? D. 3,10 ? ?
[答案] D 4 [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边,所得两值异号,∴(9-a+1)(3-3a+1) <0,∴3 <a<10,故选 D. (理)如果点(5, a)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间, 则整数 a 的值为(
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)

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A.5 C.4 [答案] C

B.-5 D.-4

[解析] 由题意知(30-8a+1)(15-4a+5)<0, 31 ∴ 8 <a<5,又 a 为整数,∴a=4. → → 6.(2010· 南充市 )在直角坐标平面上,向量OA=(1,3)、OB=(-3,1)(O 为原点)在直线 l 上的射 影长度相等,且直线 l 的倾斜角为锐角,则 l 的斜率等于( A.1 1 C.2 [答案] C → → [解析] 过原点作与直线 l 平行的直线 l′ ,则OA、OB在 l′ 上的射影也相等,故 A、B 到直线 l′ 的距离相等,设 l′ :y=kx,则 1 ∵l 的倾斜角为锐角,∴k=2. → → [点评] 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的一个方向向量为 a=(1,k),由OA,OB在 a 上射影 → → |a· | |a· | OA OB 的长度相等可得 |a| = |a| ,可解出 k. 7.设 A(0,0),B(2,2),C(8,4),若直线 AD 是△ABC 外接圆的直径,则点 D 的坐标是( A.(16,-12) C.(4,-3) [答案] A [解析] 线段 AB 的垂直平分线 x+y-2=0 与线段 AC 的垂直平分线 2x+y-1 0=0 的交点即 圆心(8,-6),而圆心为 AD 的中点,所以得点 D 的坐标为(16,-12). 8.(文)(2010· 福建莆田市质检)经过圆 x2+y2+2x=0 的圆心,且与 直线 x+y=0 垂直的直线 l 的方程是( A.x+y+1=0 C.x+y-1=0 ) B.x-y+1=0 D.x-y -1=0 B.(8,-6) D.(-4,3) ) |k-3| |-3k-1| 1 = ,∴k=-2 或2, 1+k2 1+k2 3 B. 2 3 D. 3 )

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[答案] B [解析] 设与直线 x+y=0 垂直的直线方程为 x-y+b=0, ∵过圆心(-1,0),∴b=1,故选 B. (理)(2010· 山东潍坊)设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 则 log2010x1+log2010x2+…+log2010x2009 的值为( A.-log20102009 C.log20102009-1 [答案] B B.-1 D.1 )

[解析] 由 y=xn+1 得 y′ =(n+1)xn,则在点(1,1)处切线的斜率 k=y′ |x=1=n+1,切线方 n 程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0 得,xn= , n+1 ∴log2010x1+log2010x2+…+log2010x2009 =log2010 (x1·x2·…·x2009) 1 ?1 2 3 2009? =log2010 2×3×4×…×2010 =log20102010=-1,故选 B. ? ? 9.(文)直线 l 过点(-2,0),当 l 与圆 x2+y 2=2x 有两个交点时,直线 l 的斜率 k 的取值范围 是( ) B.(- 2, 2)

A.(-2 2,2 2) C.?-

? ?

2 2? ? 4,4?

? 1 1? D. -8,8 ? ?

[答案] C [解析] 由题意得,圆的方程为(x-1)2+y2=1,所以圆心为(1,0),半径为 1.当过点(-2,0)

2 的直线 l 与圆相切时,可求得直线 l 的斜率 k=± 4 .所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 2 2? ? ?- 4 , 4 ?.故选 C. ? ? (理)(2010· 汕头模拟)平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在 A(3,-1),C(2,-3)两点,D 点 在直线 3x-y+1=0 上移动,则 B 点轨迹的方程为( A.3x-y-20=0(x≠13) C.3x-y-9=0(x≠-8) [答案] A )

B.3x-y-10=0(x≠13) D.3x-y-12=0(x≠-8)

?5 ? [解析] 线段 AC 的中点 M 2,-2 ,设 B(x,y),则 B 关于点 M 的对称点(5-x,-4-y)在 ? ?
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直线 3x-y+1=0 上,∴3(5 -x)-(-4-y)+1=0,即 3x-y-20=0. ∵A、B、C、D 不能共线,∴不能 为它与直线 AC 的交点,即 x≠13. 10.已知一动直线 l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 p,直线 l 在两坐标轴上的 截距之和为 q,且 p 比 q 大 1,则这个三角形面积的最小值为( A.4 C.4+3 3 [答案] D x y 1 1 [解析] 设直线 l 的方程为a+b=1(a>0,b>0), 2ab=a+b+1, 则 ∵a+b≥2 ab, 2ab≥2 ab ∴ +1,即( ab)2-4 ab-2≥0,解得 ab≥2+ 6, 1 1 ∴2ab≥2×(2+ 6)2=5+2 6,当 a=b=2+ 6时,三角形面积的最小值为 5+2 6. 二、填空题 1? ? 11.(2010· 深圳中学)已知向量 a=(6,2),b= -4,2 ,直线 l 过点 A(3,-1),且与向量 a ? ? +2b 垂直,则直线 l 的一般方程为________. [答案] 2x-3y-9=0 → [解析] a+2b=(-2,3),设 l 上任一点 P(x,y),则AP=(x-3,y+1),由条件知,(x-3,y +1)· (-2,3)=0,∴2x-3y-9=0. B.2+ 6 D.5+2 6 )

?x+2y≤10 ?2x+y≥3 12. (2010· 浙江临安)设 D 是不等式组? 0≤x≤4 ?y≥1 ?
y)到直线 x+y=10 的距离的最大值是________. [答案] 4 2

所表示的平面区域, 则区域 D 中的点 P(x,

[解析] 画出不等式组所表示的平面区域 D 如图中阴影部分所示(包括边界),显然直线 y=1 与 2x+y=3 的交点(1,1)到直线 x+y=10 的距离最大,根据点到直线的距离公式可以求得最 大值为 4 2.

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13.(2010· 安徽怀宁中学月考)“直线 ax+2y+1=0 和直线 3x+(a-1)y+1=0 平行”的充要条 件是“a=____”. [答案] -2 a 2 [解析] 由条件知3= ,∴a2-a-6=0,∴a=-2 或 3,当 a=3 时,两直线重合不合 a-1 题意,∴a=-2.

y 14.(文)实数 x、y 满足 3x-2y-5=0 ( 1≤x≤3),则x的最大值、最小值分别为________. 2 [答案] 3,-1 y y [解析] 设 k=x,则x表示线段 AB:3x-2y-5=0 (1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率.∵ A(1,-1),B(3,2). 2 由图易知:kmax=kOB=3, kmin=kOA=-1. (理)(2010· 河南许昌调研)如果 f ′ (x)是二次函数,且 f ′ (x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,- 3),那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是________. π 2π [答案] [0,2)∪( 3 ,π) [解析] 由题意 f ′ (x)=a(x-1)2- 3, ∵a>0,∴f ′ (x)≥- 3,因此曲线 y=f(x)上任一点的切线斜率 k=tanα≥- 3, π 2π ∵倾斜角 α∈[0,π),∴0≤α<2或 3 <α<π. 三、解答题 15.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻 开始 10 分钟内只进水、不出水,在随后的 30 分钟内既进水又出水,得到时间 x(分)与水量
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y(升)之间的关系如图所示,若 40 分钟后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系.

20 [解析] 当 0≤x≤10 时,直线过点 O(0,0),A(10,20),∴kOA=10=2, ∴此时直线方程为 y=2x; 当 10<x≤40 时,直线过点 A(10,20),B(40,30), 30-20 1 此进 kAB= = , 40-10 3 1 ∴此时的直线方程为 y-20=3(x-10), 1 50 即 y=3x+ 3 ; 当 x>40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为 v1,放水的速度 为 v2,在 OA 段时是进水过程,∴v1=2.在 AB 段是既进水又放水的过程,由物理知识可知, 1 此时的速度为 v1+v2=3, 1 5 ∴2+v2=3.∴v2=-3. 5 ∴当 x>40 时,k=-3. 又过点 B(40,30), 5 290 ∴此时的直线方程为 y=-3x+ 3 . 令 y=0 得,x=58,此时到 C(58,0)放水完毕.

?1x+50,10<x≤40 3 综上所述:y=?3 ?-5x+290,40<x≤58. 3 3
y=2x,0≤x≤10

?1 ? (理)已知矩形 ABCD 的两条对角线交于点 M 2,0 ,AB 边所在直线的 方程为 3x-4y-4=0. ? ?
1? ? 点 N -1,3 在 AD 所在直线上. ? ? (1)求 AD 所在直线的方程及矩形 ABCD 的外接圆 C1 的方程;
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? 1 ? (2)已知点 E -2,0 ,点 F 是圆 C1 上的动点,线段 EF 的垂直平分线交 F M 于点 P,求动点 ? ?
P 的轨迹方程. [解析] (1)∵AB 所在直线的方程为 3x-4y-4=0,且 AD 与 AB 垂直, 4 ∴直线 AD 的斜率为-3. 又点 N 在直线 AD 上, 1 4 ∴直线 AD 的方程为 y-3=-3(x+1), 即 4x+3y+3=0.
? ?3x-4y-4=0 由? ,解得点 A 的坐标为(0,-1). ? ?4x+3y+3=0

又两条对角线交于点 M, ∴M 为矩形 ABCD 的外接圆的圆心. 而|MA|=

?0-1?2+? -1-0? 2= 5, 2 ? 2?

5 ? 1? ∴外接圆的方程为 x-2 2+y2=4. ? ? 5 (2)由题意得,|PE|+|PM|=|PF|+|PM|=|FM|= 2 ,又|FM|>|EM|, 5 x2 y2 ∴P 的轨迹是以 E、M 为焦点,长半轴长为 4 的椭圆,设方程为a2+b2=1(a>b>0), 1 5 5 1 1 ∵c=2, a= 4 ,∴b2=a2-c2=16-4=16. x2 y2 故动点 P 的轨迹方程是 5 + 1 =1. 16 16 2 16.已知直线 l1 过点 A(-1,0),且斜率为 k,直线 l2 过点 B(1,0),且斜率为-k,其中 k≠0, 又直线 l1 与 l2 交于点 M. (1)求动点 M 的轨迹方程;

?1 ? (2)若过点 N 2,1 的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C、D 两点,且 N 为线段 CD 的中点,求直线 ? ?
l 的方程. [解析] (1)设 M(x,y),∵点 M 为 l1 与 l2 的交点,

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y ?x+1=k ? ∴? y 2 ? ?x-1=-k 消去 k 得,

(k≠0),

y2 =-2, x2-1

∴点 M 的轨迹方程为 2x2+y2=2(x≠±1). (2)由(1)知 M 的轨迹方程为 2x2+y2=2(x≠±1), 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 则 2x12+y12=2① 2x22+y22=2② ①-②得 2(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0, y1-y2 x1+x2 即 =-2× , x1-x2 y1+y2

?1 ? ∵N 2,1 为 CD 的中点, ? ?
有 x1+x2=1,y1+y2=2, 1 ∴直线 l 的斜率 k=-2×2=-1,

? 1? ∴直线 l 的方程为 y-1=- x-2 , ? ?
整理得 2x+2y-3=0. 17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A(3 3,2)的入射光线 l1 被直线 l: 3 y= 3 x 反射,反射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1、l2 都相切,求 l2 所在直线的 方程和圆 C 的方程.

[解析] 直线 l1:y=2,设 l1 交 l 于点 D,则 D(2 3,2). ∵l 的倾斜角为 30°.∴l2 的倾斜角为 60°.∴k2= 3. ∴反射光线 l2 所在的直线方程为 y-2= 3(x-2 3),即 3x-y-4=0.
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已知 圆 C 与 l1 切于点 A,设 C(a,b). ∵⊙C 与 l1、l2 都相切, ∴圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上, ∴b=- 3a+8① 圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上, ∴a=3 3②

?a=3 3 由①②得? ,圆 C 的半径 r=3, ?b=-1
故所求圆 C 的方程为(x-3 3) 2+(y+1)2=9.

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