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高中数学必修2圆与方程(教师用)


圆的方程知识点与题型
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围. (1) 圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r ,其中(a,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; (2) 圆 的 一 般 方 程 : x + y + Dx + Ey + F = 0 (D + E - 4F > 0) , 圆 心 坐 标 为 ( ?

r />2 2 2 2 2 2 2

D E ,? ) , 半 径 为 r = 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F 2
2. 直线与圆的位置关系的判定方法. (1) 法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x +y +Dx+Ey+F=0.
2 2

?? ? 0 ? 相 交 ? Ax ? By ? C ? 0 ? 判别式 消 元 一元二次方程 ?????? ? 0 ? 相 切 ? 2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?? ? 0 ? 相 离 ?
(2) 法 二 : 直 线 : Ax + By + C = 0 ; 圆 : (x - a) + (y - b) = r , 圆 心 (a , b) 到 直 线 的 距 离 为 d =
2 2 2

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

?d ? r ? 相 交 ? ? ?d ? r ? 相 切 . ?d ? r ? 相 离 ?

3. 两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、 O2,半径分别为 r1、 r2, |O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|>r1+r2 ? 两圆外离; |O1O2|=r1+r2 ? 两圆外切; |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2 ? 两圆相交; |O1O2|=|r1-r2| ? 两圆内切; 0<|O1O2|<|r1-r2| ? 两圆内含. 一、圆的方程 1 、以点 (2,?1) 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2 2 2 2

)
2

(B) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3 (C) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9

(D) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

解 : 已 知 圆 心 为 (2,?1) , 且 由 题 意 知 线 心 距 等 于 圆 半 径 , 即 d ?

6?4?5 32 ? 4 2

? 3 ? r ,∴所求的圆方程为

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 ,故选(C).
点评:一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 即得圆的方程.
2 2 2

2、方程 x +y -2(t+3)x+2(1-4t )y+16t +9=0(t∈R)表示圆方程,则 t 的取值范围是(

2

2

2

4



1

A.-1<t<
2

1 7
2

B.-1<t<
2

1 2

C.-

1 <t<1 7

D.1<t<2

解析:由 D +E -4F>0,得 7t -6t-1<0,即-

1 <t<1.答案:C 7

3、△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-1,5) 、B(-2,-2) 、C(5,5) ,求其外接圆的方程. 4、已知两点 P1(4,9) 、P2(6,3) ,求以 P1P2 为直径的圆的方程. 【思考与分析】 根据已知条件,我们需要求出圆的圆心位置,又由点 P1P2 的坐标已知,且 P1P2 为所求圆的直径,所 以圆的半径很容易求出,这是常规的解法,如下面解法 1 所示,另外还有一些其它的解法,我们大家一起来欣赏: 解法 1:设圆心为 C(a,b) 、半径为 r. 由中点坐标公式,得 a= =5,b= =6.

∴ C(5,6) ,再由两点间距离公式,得

∴ 所求的圆的方程为(x-5) +(y-6) =10. 解法 2:设 P(x,y)是圆上任意一点,且圆的直径的两端点为 P1(4,9) 、P2(6,3) , ∴ 圆的方程为(x-4) (x-6)+(y-9) (y-3)=0, 化简得 (x-5) +(y-6) =10,即为所求. 解法 3:设 P(x,y)是圆上任意一点. 由圆的性质有三角形 PP1P2 为直角三角形,
2 2

2

2

∴(x-4) +(y-9) +(x-6) +(y-3) =(4-6) +(9-3) , 化简得 x +y -10x-12y+51=0. ∴ (x-5) +(y-6) =10,即为所求的圆的方程. 解法 4:设 P(x,y)是圆上不同于 P1、P2 的任意一点. ∵ 直径上的圆周角为直角, ∴ PP1⊥PP2. (1)当 PP1、PP2 的斜率都存在时,
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

(2)当 PP1、PP2 的斜率有一个不存在时,PP1、PP2 的方程为 x=4 或 x=6,这时点 P 的坐标是(4,3)或(6,9) ,均 满足方程(*). 又 P1(4,9) 、P2(6,3)也满足方程(*) ,
2 2

所以,所求圆的方程为 (x-5) +(y-6) =10. 【小结】 本题我们分别采用了 4 种解法求解,其中解法 2 技巧性最强;解法 3 主要是运用了“圆中直径所对的圆周
1

角是 90°”这一结论;解法 4 是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路 5、求过两点 A(1,4) 、B(3,2) ,且圆心在直线 y=0 上的圆的标准方程,并判断点 M1(2,3) ,M2(2,4)与圆的位 置关系. 解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过 A、B 两点,所以圆心在线段 AB 的垂直平分线 上.由 kAB=

4?2 =-1,AB 的中点为(2,3) ,故 AB 的垂直平分线的方程为 y-3=x-2,即 x-y+1=0.又圆心在直线 y=0 上, 1? 3

因此圆心坐标是方程组

x-y+1=0, y=0
的解,即圆心坐标为(-1,0).
2 2

半径 r= (?1 ? 1) 2 ? (0 ? 4) 2 = 20 ,所以得所求圆的标准方程为(x+1) +y =20. 因为 M1 到圆心 C(-1,0)的距离为 (2 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 = 18 ,|M1C|<r,所以 M1 在圆 C 内;而点 M2 到圆心 C 的距离 |M2C|= (2 ? 1) 2 ? (4 ? 0) 2 = 25 > 20 ,所以 M2 在圆 C 外. 6、 已知一个圆经过两点 A(2,-3)和 B(-2,-5) ,且圆心在直线 l:x-2y-3=0 上,求此圆的方程. 【思考与分析】 求圆的方程,需要确定圆心和半径,我们可以先设定圆心的坐标,再利用它到 A、B 两点的距离相等来确 定,从而求得圆的方程. 解: 设点 C 为圆心,∵ 点 C 在直线 l:x-2y-3=0 上, ∴ 可设点 C 的坐标为(2a+3,a). 又∵ 该圆经过 A、B 两点,∴ |CA|=|CB|.

解得 a=-2, ∴ 圆心坐标为 C(-1,-2) ,半径 r= 故所求圆的方程为(x+1) +(y+2) =10.
2 2

.

【小结】 通过这部分知识的学习,我们要掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,从圆的 标准方程熟练地求出它的圆心和半径;掌握圆的一般方程及圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程, 从而求出圆心和半径 7、已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ (O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标
2 2

及半径长. 解:将 x ? 3 ? 2 y 代入方程 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ,得 5 y ? 20 y ? 12 ? m ? 0 .
2 2
2

设 P ? x1 , y1 ,Q ? x2 , y2 ,则 y1 , y2 满足条件: y1 ? y2 ? 4,

?

?

y1 y2 ?

m ? 12 . 5

∵ OP⊥OQ, ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 而 x1 ? 3 ? 2 y1 , x2 ? 3 ? 2 y2 ,∴ x1x2 ? 9 ? 6 ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 .
1

∴ m ? 3 ,此时Δ ? 0 ,圆心坐标为(-

1 5 ,3),半径 r ? . 2 2

二、位置关系问题(点、直线、圆与圆的位置关系) 1、点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部,则 a 的取值范围是( D ) A.|a|<1 B.a<
2 2 2

1 1 C.|a|< 13 5
2

D.|a|<
2

1 13
2

解析:点 P 在圆(x-1) +y =1 内部 ? (5a+1-1) +(12a) <1 ?

|a|<

1 .答案:D 13
A ) (D) (0, 2 ? 1)

2、直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 ( a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是( (A) (0, 2 ? 1) 解
2

(B) ( 2 ? 1, 2 ? 1)
2 2

(C) (? 2 ? 1, 2 ? 1)

化为标准方程 x ? ( y ? a) ? a ,即得圆心 C (0, a ) 和半径 r ? a .

∵ 直 线 x ? y ? 1 与 已 知 圆 没 有 公共 点 , ∴ 线 心 距 d ?

a ?1 2

? r ? a , 平 方去 分 母 得 a 2 ? 2a ? 1 ? 2a 2 , 解 得

? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1,注意到 a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 2 ? 1,故选(A).
点评:一般通过比较线心距 d 与圆半径 r 的大小来处理直线与圆的位置关系: d ? r ? 线圆相离; d ? r ? 线圆相 切; d ? r ? 线圆相交. 3、 直线 2x-y+1=0 与圆 O∶x +y +2x-6y-26=0 的位置关系是( A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离
2 2

).

D. 相交不过圆心

【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系,我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为 标准形式为:圆 O∶(x+1) +(y-3) =36.圆心为(-1,3) ,半径为 r=6,
2 2

圆心到直线的距离为 d= 从而知 0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为 D 4、如果曲线 C:x +(y+1) =1 与直线 x+y+a=0 有公共点,那么实数 a 的取值范围是
2 2
2 2


新疆 源头学子小屋
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5、已知圆 C 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) ,求圆 C 的方程 设圆 C 的圆心为 ( a, b) ,

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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?b ? 3 ? 3 ? ? a ?3 a ? 4或?a ? 0 则? ?? ? r ? 2或r ? 6 ? ? a ? 3b ?b ? 0 ?b ? ?4 3 ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? 1 ? ? 2 ?
所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4或x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36 6、已知两圆 C1:x +y +4x+4y-2=0,C2:x +y -2x-8y-8=0,判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系. 【思考与分析】 要判断两圆的位置关系,我们通常有两种方法:一种是判断两圆的交点个数,如果它们有两个交点,
1
2 2 2 2

则相交;有一个交点则外切或内切;没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和或两半径差的绝 对值的大小关系,来判断两圆的位置关系. 解法一: 将两圆的方程联立得,

由(1)-(2)得 x+2y+1=0

(3)

由(3)得 x=-2y-1,把此式代入(1) , 并整理得 y -1=0
2 2

(4)

方程(4)的判别式Δ =0 -4?1?(-1)=4>0, 所以,方程(4)有两个不同的实数根 y1,y2,把 y1,y2 分别代入方程(3) ,得到 x ,x . 因此圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点,即两圆是相交的位置关系. 解法二: 把圆 C1 的方程化为标准方程形式为(x+2) +(y+2) =10,圆 C1 的圆心坐标为(-2,-2) ,半径长 r1 = . 把圆 C2 的方程化为标准方程形式为(x-1) +(y-4) =25.圆 C2 的圆心坐标为(1,4) ,半径长 r2=5. 圆 C1 和圆 C2 的连心线的长为: 圆 C1 与圆 C2 的两半径之和是 r1+r2=5+ 而 5- <3 <5+ .即 r2-r1<3 ,两半径之差 r2-r1=5- <r1+r2. .
2 2 2 2 1 2

【小结】 在解法 1 中,我们只要判断出圆 C1 与圆 C2 有几个公共点即可,不需要求出公共点的具体坐标,也就是说只 需要判断出方程(4)的判别式大于 0,而不需要求解方程 三、切线问题 1、过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

5 ? 0 相切的直线方程为( 2
1 x 3

)

(A) y ? ?3x 或 y ?

1 x 3
2

(B) y ? 3x 或 y ? ?

(C) y ? ?3x 或 y ? ?

1 x 3

(D) y ? 3x 或 y ?

1 x 3



化为标准方程 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2

5 ,即得圆心 C (2,?1) 和半径 r ? 2

5 . 2

设 过 坐 标 原 点 的 切 线 方 程 为 y ? kx , 即 kx ? y ? 0 , ∴ 线 心 距 d ?

2k ? 1 k 2 ?1

?r?

5 ,平方去分母得 2

1 1 (3k ? 1)(k ? 3) ? 0 ,解得 k ? ?3 或 ,∴所求的切线方程为 y ? ?3x 或 y ? x ,故选(A). 3 3
点评:一般通过线心距 d 与圆半径 r 相等和待定系数法,或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题. 2、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有( A.1 条 B.2 条 C.3 条
1



D.4 条

解析:分别以 A、B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案:B 3、求由下列条件所决定圆 x 2 ? y 2 ? 4 的圆的切线方程:(1)经过点 P( 3,1) ,(2)经过点 Q(3,0) ,(3)斜率为 ?1 解:(1) ? ( 3) 2 ? 12 ? 4 ∴点 P( 3,1) 在圆上,故所求切线方程为 3x ? y ? 4 。 (2)? 3 ? 0 ? 4 ∴点 Q 在圆外。
2 2

设切线方程为 y ? k ( x ? 3) 即 kx ? y ? 3k ? 0

? 直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,∴
∴所求切线方程为 y ? ?

? 3k 1? k 2

? 2 ,∴ k ? ?

2 5 5

2 5 ( x ? 3) 。 5
2 2

(3)设圆的切线方程为 y ? ? x ? b ,代入圆的方程。整理得, 2 x ? 2bx ? b ? 4 ? 0 ,∵直线与圆相切 ∴

? ? (?2b) 2 ? 4 ? 2(b 2 ? 4) ? 0 ,解得 b ? ?2 2 。
∴所求切线方程为 x ? y ? 2 2 ? 0 。 小结:利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线,当然对 于圆也适用。 4、已知点 P( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的外部,过 P 作圆的切线,切点为 M ,求证:
2 2 PM ? x0 ? y0 ? Dx 0 ? Ey 0 ? F 。

证明:如图 ,由勾股定理得 PM ?

CP ? CM

2

2

? ( x0 ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y0 ? ) 2 ? 2 2 4

2 2 ? x0 ? y0 ? Dx 0 ? Ey 0 ? F

y

N

C

M P O x

图 7 - 5 3- 1

小结:(1)此题的证明,给出了切线长公式,即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端,再取算术平方根即为切线长。 (2)以 CP 为直径的圆与圆 C 相交于 M 、 N 两点,则 M 、 N 为切点。若圆 C 的方程为 x ? y ? r ,则两切点连线所
2 2 2

在的直线方程为 x0 x ? y0 y ? r 。
2

1

四、弦长问题 1、设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ? 解 由已知圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,即得圆心 C (1,2) 和半径 r ? 2 . .

∵线心距 d ?

a ?1 a2 ?1

,且 d ? (
2

a ?1 2 AB 2 ) ? r 2 ,∴ ( ) ? ( 3 ) 2 ? 2 2 ,即 (a ? 1) 2 ? a 2 ? 1 ,解得 a ? 0 . 2 2 a ?1
2

点评:一般在线心距 d 、弦长 AB 的一半和圆半径 r 所组成的直角三角形中处理弦长问题: d ? ( 2、 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程. 剖析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上,故设圆方程为(x-3b) +(y-b) =9b . 又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 ,则有(
2 2 2 2 2 2 2

AB 2 ) ? r2 . 2

| 3b ? b | 2

) +( 7 ) =9b ,解得 b=±1.故所求圆方程为

2

2

2

(x-3) +(y-1) =9 或(x+3) +(y+1) =9. 3、 已知直线 l∶x+2y-2=0 与圆 C∶x +y =2 相交于 A、B 两点,求弦长 AB. 【思考与分析】 一条直线和圆相交,直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长 AB.
2 2

解法一:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 A、B 坐标即方程组 从方程组中消去 x 可得:5y -8y+2=0,
2

的解,

又 A、B 在直线 l∶x+2y-2=0 上,即 x1+2y1-2=0,x2+2y2-2=0,A

解法二: 作 CM⊥AB 于 M, M 为 AB 中点, 在 Rt△CMA 中, ∣AM∣= 的距离,即∣CM∣= ,

∣AB∣, ∣CA∣=

, ∣CM∣为原点到直线 l∶x+2y-2=0

【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于 A、B 两点,求∣AB∣的一般办法,设已知直线为 l∶y=kx+b,
1

与已知曲线 C 的交点为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则有 y1=kx 1+b,y2=kx2+b,即 y1-y2=k(x1-x2) ,

这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式,显然这个公式只与已知直线的斜率 k 及交点的坐标(x1,y1) 、 (x2,y2)有关,而与曲线 C 本身是什么曲线无关,因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用. 解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法,由于解析几何本身解决的是几何图形的问题,因此对于图形本身的特点 给予充分的挖掘和运用(例如凡有关圆的弦的问题,应该注意弦心距)往往会找到解题的捷径 圆的方程例析 4、已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距 离为

5 ,求该圆的方程..解:设所求圆的圆心为 P(a,b) ,半径为 r,则 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|. 5
2 r,故 r2=2b2,
2 2 2 2

由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90°,圆 P 截 x 轴所得弦长为 又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2,所以有 r =a +1,从而有 2b -a =1 又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 距离为 d=
2 2 2 2 2

| a ? 2b | , 5
2 2 2 2 2

所以 5d =|a-2b| =a +4b -4ab≥a +4b -2(a +b )=2b -a =1 当且仅当 a=b 时上式等号成立,此时 5d =1,从而 d 取得最小值, 由此有 ?
2

?a ? b
2 2 ?2b ? a ? 1

解方程得 ?
2

?a ? 1 ? a ? ?1 2 2 或? 由于 r =2b ,知 r= 2 , b ? ? 1 ?b ? 1 ?
2 2 2

于是所求圆的方程为(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y+1) =2 ⑴设圆心 P(a,b) ,半径为 r,则 |b|=

r
2

,2b =r .又|a| +1=r ,所以 a +1=r ,所以 2b =a +1;

2

2

2

2

2

2

2

2

|a-2b| 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)点 P 到直线 x-2y=0 的距离 d= ,5d =a -4ab+4b ≥a +4b -2(a +b )=2b -a =1. 5 所以?
? ? a=1, ? a=-1, a=b, 所以? 或? 2 2 2 b = a + 1 , b = 1 , ? ? ? b=-1.
2 2 2 2

所以(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y+1) =2.
2 2 5、求过点 P(6,-4)且被圆 x ? y ? 20 截得长为 6 2 的弦所在的直线方程.解:设弦所在的直线方程为

y ? 4 ? k ( x ? 6) ,即 kx ? y ? 6k ? 4 ? 0 ①

1

则圆心(0,0)到此直线的距离为 d ? | 6k ? 4 | . 2
1? k

y

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成 Rt△, 所以 ( | 6k ? 4 | )2 ? (3 2) 2 ? 20 . 1? k2 由此解得 k ? ?
O x

7 或 k ? ?1 . 17
17 17

P

代入①得切线方程 ? 7 x ? y ? 6 ? (? 7 ) ? 4 ? 0 或

? x ? y ? 6 ? (?1) ? 4 ? 0 ,即 7 x ? 17 y ? 26 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .
6、 已知圆 C:x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 , 是否存在斜率为 1 的直线 L, 使以 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点, 若存在求出直线 L 的方程,若不存在说明理由. 解:圆 C 化成标准方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 32 由于 CM⊥L,∴kCM?kL=-1
a ?1

假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) ①

∴kCM= b ? 2 ? ?1 ,即 a+b+1=0,得 b= -a-1

直线 L 的方程为 y-b=x--,即 x-y+b-a=0
2 2 2

∴ CM= b ? a ? 3 ∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM
2

MB ? CB ? CM

?9?

(b ? a ? 3) 2 , OM 2

2

? a2 ? b2

∴9 ?

(b ? a ? 3) 2 ? a2 ? b2 2
2 2



把①代入②得

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ? 3 或a ? ?1
2

当 a ? 3 ,时b ? ? 5 此时直线 L 的方程为:x-y-4=0;当 a ? ?1,时b ? 0 此时直线 L 的方程为:x-y+1=0 故这样的直线 L 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 7、已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25 及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 . ?m ? R? (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程..解:(1)直线方程 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 , 可以改写为 m?2 x ? y ? 7 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,所以直线必经过直线 2 x ? y ? 7 ? 0和x ? y ? 4 ? 0 的交点.由方程组 ? 解得 ?
?2 x ? y ? 7 ? 0, ?x ? y ? 4 ? 0

? x ? 3, 即两直线的交点为 A (3,1) 又因为点 A?3,1? 与圆心 C ?1,2 ? 的距离 d ? 5 ? 5 ,所以该点在 C 内,故不论 m 取什么 ?y ? 1

实数,直线 l 与圆 C 恒相交. (2)连接 AC ,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此 时, AC ? 5, BC ? 5, 所以 BD ? 2 25 ? 5 ? 4 5 .即最短弦长为 4 5 . 又直线 AC 的斜率 k AC ? ? 1 ,所以直线 BD 的斜率为 2.此时直线方程为: y ? 1 ? 2?x ? 3?, 即2 x ? y ? 5 ? 0.
2
1

8、已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数 m 的值.
?x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 解:由 ? ? 5 y 2 ? 20 y ? 12 ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

2

2

? y1 ? y 2 ? 4 ? ?? 12 ? m y1 y 2 ? ? 5 ?
5

y

又 OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0,而 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= 4m ? 27 ∴

P Q O x

4m ? 27 12 ? m ? ?0 5 5

解得 m=3. 五、轴对称问题

轴对称是解析几何的一个重要内容,利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题,而且还可以解决诸如 最值、光线反射、角平分线等问题,并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。 1、方程 x + y + Dx+ Ey+ F= 0( D + E - 4F> 0)表示的曲线关于 x+y=0 成轴对称图形,则( A.D+E=0 B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0
2 2 2 2



解析:曲线关于 x+y=0 成轴对称图形,即圆心在 x+y=0 上.答案:A 2、圆 x +y +x-6y+3=0 上两点 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称,则 k=____________. 解析:圆心(-
2 2

1 ,3)在直线上,代入 kx-y+4=0,得 k=2.答案:2 2
2 2

3、设 O 为坐标原点,曲线 x +y +2x-6y+1=0 上有两点 P、Q,满足关于直线 x+my+4=0 对称,又满足 OP ? OQ =0. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. 解: (1)曲线方程为(x+1) +(y-3) =9 表示圆心为(-1,3) ,半径为 3 的圆. ∵点 P、Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得 m=-1. (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直, ∴设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,PQ 方程为 y=-x+b.将直线 y=-x+b 代入圆方程,得 2x +2(4-b)x+b -6b+1=0. Δ =4(4-b) -4?2?(b -6b+1)>0,得 2-3 2 <b<2+3 2 .由韦达定理得 x1+x2=-(4-b) ,x1?x2=
2 2 2 2 2 2

b 2 ? 6b ? 1 . 2

y1?y2=b2-b(x1+x2)+x1?x2=

b 2 ? 6b ? 1 2 +4b.∵ OP ? OQ =0,∴x1x2+y1y2=0,即 b -6b+1+4b=0. 2

解得 b=1∈(2-3 2 ,2+3 2 ).∴所求的直线方程为 y=-x+1. 4、已知点 A(4,1),B(0,4),在直线 L:y=3x-1 上找一点 P,求使|PA|-|PB|最大时 P 的坐标。 分析:本题的常规方法是: (1)设点(2)列出相应的函数关系式(3)求解。 但本题若这样做,则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。 解:如图,设点 C(x,y)是点 B 关于直线 L 的对称点,则由 kl ? 3 ,得: k BC ? ? ∴直线 BC 的方程为: y ? ?

1 , 3

1 ?3 7? x ? 4 ,将其与直线 y=3x-1 联立,解得:D ? , ? ,其中 D 为 BC 中点,利用中点坐标公式, 3 ?2 2?
1

得 C(3,3) 。 显然: |PA|-|PB|=|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当 A、 C、 P 三点共线时, |PA|-|PB|最大。 可求得: 直线 AC 方程为: 2x ? y ? 9 ? 0 , 与 L 方程联立解得 P 的坐标为(2,5) 。 5、光线由点 C(3,3)出发射到直线 L:y=3x-1 上,已知其被直线 L 反射后经过点 A(4,1),求反射光线方程。 解:设点 B 是点 C 关于 L 的对称点,则由光线反射的知识易知:点 B 在反射光线上,故所求的反射光线的方程 即为直线 AB 所在的直线方程。 由例 1 知点 C 关于 L 的对称点为 B(0,4) , 故直线 AB 的方程易求得为: y ? ?

3 x ? 4 。它即为反射光线方程。 4

6、已知Δ ABC 的顶点 A 的坐标为(1,4),∠B、∠C 平分线的分别方程为 x ? 2 y ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 ,求 BC 的所在的直 线方程。 析:本题的常规思路是利用 L1 到 L2 的角的有关知识解决问题,但较繁,若能注意到角平分线的有关性质,则可简捷求 解。 解:设∠B、∠C 的平分线分别为 L1、L2,则由角平分线的知识可知:AB 与 CB 关于 L1 对称,AC 与 BC 关于 L2 对称,故点 A 关于 L1、L2 的对称点 A1、A2 都应该在直线 BC 上,故 BC 所在的直线方程即为 A1A2 所在的直线方程。 利用对称性可求得: A1 (

19 8 ,? ), A2 (?3,0) (过程略) 5 5

于是 BC 方程可求得为: 4 x ? 17 y ? 12 ? 0 7、自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,
2 2

求光线 L 所在直线方程. 解:已知圆的标准方程是(x-2) +(y-2) =1,它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2) +(y+2) =1。 设光线 L 所在直线方程是:y-3=k(x+3)。 由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线的距离等于 1,即 d ?
2 2 2 2

| 5k ? 5 | 1? k 2

? 1.

整理得 12k ? 25k ? 12 ? 0,
2

解得 k ? ?

3 4 3 4 或k ? ? .故所求的直线方程是 y ? 3 ? ? ( x ? 3) ,或 y ? 3 ? ? ( x ? 3) , 4 3 4 3

即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0. 六、最值问题
2 2 1、圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是(

)

(A) 30 解

(B) 18

(C) 6 2

(D) 5 2

2 2 已知圆化为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 18 ,即得圆心 C (2,2) 和半径 r ? 3 2 .

设 线 心 距 为 d , 则 圆 上 的 点 到 直 线 x ? y ? 14 ? 0 的 最 大 距 离 为 d ? r , 最 小 距 离 为 d ? r , ∴
1

(d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 ,故选(C).
点评:圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距 d 与圆半径 r 的关系解决:圆上的点到该直线的最大距离 为 d ? r ,最小距离为 d ? r . 2、设 P 为圆 x +y =1 上的动点,则点 P 到直线 3x-4y-10=0 的距离的最小值为____________. 解析:圆心(0,0)到直线 3x-4y-10=0 的距离 d=
2 2 2 2

| ?10 | =2.再由 d-r=2-1=1,知最小距离为 1.答案:1 5
..答案:2

3、圆 x +y -2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 解析:圆心到直线的距离 d= 圆系及应用 4、已知实数 x、y 满足方程 x +y -4x+1=0.求(1)
2 2 2 2

|3? 4?8| =3∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2 经过两已知圆的交点的 5
y 2 2 的最大值和最小值; (2)y-x 的最小值; (3)x +y 的最大值和 x

最小值.解: (1)如图,方程 x +y -4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 3 为半径的圆.
y P O C (2,0) x



| 2k ? 0 | y =k,即 y=kx,由圆心(2,0)到 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由 = 3, x k 2 ?1
2

解得 k =3.所以 kmax= 3 ,kmin=- 3 . (2)设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,纵轴截距 b 取最小值.由点到直线的距离公式,得

|2?0?b| 2

= 3 ,即 b=-2± 6 ,故(y-x)min=-2- 6 .
2 2 2 2

(3)x +y 是圆上点与原点距离之平方,故连结 OC,与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,则(x +y )max=|OC′|=2+ 3 , (x +y )min=|OB|=2- 3 . 七、轨迹方程问题 1、从圆外一点 P (a, b) 向圆 x ? y ? r 引割线,交该圆于 A 、 B 两点,求弦 AB 的中点轨迹方程。
2 2 2
2 2

解:如图7-53-2,设 AB 的中点 M ( x, y ) ,连接 OM , OM ? ( x, y) , PM ? ( x ? a, y ? b) , ∵ OM ? PM ,∴ OM ? PM ? 0 , 即 ( x, y)(x ? a, y ? b) ? 0 ∴ x( x ? a) ? y( y ? b) ? 0
2 2 ∴ x ? y ? ax ? by ? 0 , (?r ? x ? r )

1

P

y

A O M x

B

图 7 - 5 3- 2

八、经过两已知圆的交点的圆系 “求经过两圆 x ? y ? 6 x ? 4 ? 0 和 x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程。 ”同学们
2 2 2 2

普遍使用下面两种方法求解: 方法—:先求出两已知圆交点 A1 ?? 1,3?, A2 ?? 6,?2?,再设圆心坐标为 B(b ? 4, b) ,根据 A 1B ? A2 B ? r ,可求出圆 心坐标及半径 r,于是可得所求圆方程。 方法二:先求出两已知圆交点 A1 ?? 1,3?, A2 ?? 6,?2? ,再设所求圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 其圆心为
2 2

E ?? D 2 ,? 2 ? ,代入 x ? y ? 4 ? 0 ,再将 A ,A 两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于 D,E,F 的三元一次方程组,求出
1 2

D,E,F 的值,这样便可得所求圆的方程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。 设圆 C1 与 C2 的方程为: C1: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 并且两圆相交于两点。引进一个参数 ? ,并令: C2: x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 .

x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F1 + ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 )=0 ——①
引进两个参数 ?1 和 ?2 ,并令:

其中 ? ? -1。

?1 ( x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F1 )+ ?2 ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 )=0 ——② 其中 ?1 + ?2 ? 0
不论参数取何值,方程①与②中的 x 项和 y 项的系数相等,方程没有 xy 项,而且两已知圆的两个交点的坐标适合方 程①与②,所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系,但是①与②稍有不同: ⑴ 当 ? =0 时,方程①的曲线就是圆 C1;不论 ? 为何值,方程①的曲线都不会是圆 C2。所以方程①表示经过两已知圆 的交点的一切圆,包括圆 C1 在内,但不包括圆 C2。 ⑵ 当 ?1 =0 时,方程②的曲线就是圆 C2;当 ?2 =0 时,方程②的曲线就是圆 C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆 C1 和圆 C2 在内。 下面应用圆系来解本文前面的问题: 设经过已知两圆的交点的圆的方程为:
2 2

1

x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 . ( ? ? -1)则其圆心坐标为 ( ?
∵ 所求圆的圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上∴ ?

3 3? ,? ) 1? ? 1? ?

3 3? + -4=0, 1? ? 1? ?

解得 ? =-7

∴ 所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 -7 ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 即: x 2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0 1、求经过两已知圆: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 的交点且圆心的横坐标为 3 的圆的方程。 解: 设经过两已知圆交点的圆系的方程为:

x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 4 y ? 6) ? 0
其圆心的横坐标为: x ?
2

( ? ? -1) 得

2 1? ?
2

,令

2 =3 1? ?

???

1 3

∴ 所求圆的方程为: x ? y ? 4 x ? 6 ?

1 2 ( x ? y 2 ? 4 y ? 6) ? 0 即 3

x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 6 ? 0

2 2 2、求圆心在直线 x ? y ? 0 上,且过两圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 , x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 交点的圆的方程.

解法一:(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 ? 2 2 ? x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 ,
解这个方程组求得两圆的交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) . 因所求圆心在直线 x ? y ? 0 上,故设所求圆心坐标为 ( x, ? x) ,则它到上面的两上交点 (-4,0)和(0,2)的距离相等,故有 (?4 ? x) 2 ? (0 ? x) 2 ? x 2 ? (2 ? x) 2 , 即 4 x ? ?12 ,∴ x ? ?3 , y ? ? x ? 3 ,从而圆心坐标是(-3,3) . 又 r ? (?4 ? 3) 2 ? 32 ? 10 , 故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 10 .
2 2

解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) ,弦 AB 的中垂线为 2 x ? y ? 3 ? 0 , 它与直线 x ? y ? 0 交点(-3,3)就是圆心,又半径 r ? 10 , 故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 10 .
2 2

解法三:(用待定系数法求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标为 A(-4,0) ,B(0,2) .
2 2 2 设所求圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,因两点在此圆上,且圆心在 x ? y ? 0 上,所以得方

? a ? ?3 ? ( ?4 ? a ) 2 ? b 2 ? r 2 ? 程组 ? a 2 ? (3 ? b) 2 ? r 2 ,解之得 ? ? b?3 , ? ? a?b?0 ? ? r ? 10
1

故所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 10 . 解法四:(用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么?) 设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? ? ( x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8) ? 0 (? ? ?1) , 即

x2 ? y 2 ?

2(1 ? ? ) 2(5 ? ? ) 8(3 ? ? ) x? y? ?0. 1? ? 1? ? 1? ?

可知圆心坐标为 (

1? ? 5 ? ? ,? ). 1? ? 1? ?

因圆心在直线 x ? y ? 0 上,所以 的方程 x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 8 ? 0 九、夹角问题

1? ? 5 ? ? ? ? 0 ,解得 ? ? ?2 . 1? ? 1? ?

将 ? ? ?2 代入所设方程并化简,求圆

例 5 、 从圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( (A) 解

)

1 2

(B)

3 5

(C)
2

3 2
2

(D) 0

已知圆化为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1,即得圆心 C (1,1) 和半径 r ? 1 .

设由 P(3,2) 向这个圆作的两条切线的夹角为 ? ,则在切线长、半径 r 和 PC 构成的直角三角形中, cos

?
2

?

2 5

,∴

cos ? ? 2 cos 2

?
2

?1 ?

3 ,故选(B). 5

点评:处理两切线夹角 ? 问题的方法是:先在切线长、半径 r 和 PC 所构成的直角三角形中求得 用二倍角公式解决夹角 ? 问题. 十、圆心角问题

? 的三角函数值,再 2

2 2 例 6 、 过点 (1, 2 ) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧, 当劣弧所对的圆心角最小时, 直线 l 的斜率 k ?

.



由已知圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ,即得圆心 C (2,0) 和半径 r ? 2 .
2 2

设 P(1, 2 ) , 则 k PC ? ? 2 ; ∵ PC ? 直线 l 时弦最短, 从而劣弧所对的圆心角最小, ∴直线 l 的斜率 k ? ?

1 k PC

?

2 . 2

点评:一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题:在同圆中,若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也 最短,若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.

1


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