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北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——函数


2015 年北京市各区县高一期末试题分类汇编——函数
(2015 年 1 月·延庆期末·5.函数 y ? A. (1,3) B. [1,3]

x ? 1 ? 3 ? x 的定义域为
C.(??,1) ? (3,??) D. (1,0) ? (0,??)

(2015 年 1 月·丰台期末·2.函数 f ( x) ?

x ? lg(1 ? x) 的定义域为(
C. ?0,1? D. ?0,1?



A. ?0,1?

B. ?0,1?

(2015 年 1 月·顺义期末·3.下列各组函数中表示同一函数的是 A. y ?

x 2 和 y ? ( x )2

B. y ?| x | 和 y ?

3

x3

C. y ? loga x2 和 y ? 2loga x (a ? 0, a ? 1) D. y ? x 和 y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) (2015 年 1 月·顺义期末·7.有下列四个命题: ① y ?| x |, x ???2, ?1,0,1, 2? ,则它的值域为 ?0,1, 4? ; ② y ? x2 , x ? 2, x ? R ,则它的值域为 ? y | y ? 0, y ? 4? ,

x2 ?1 ③y? ,则它的值域为 ? y | y ? R, y ? 2? ; x ?1
④y?

x ?1 ,则它的值域为 ? y | y ? 0? .其中正确命题的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2015 年 1 月·海淀期末·4.下列函数中,既是奇函数又是 ( ?1,1) 上的增函数的是 B A. y ? 2 x B. y ? tan x C. y ? x?1 D. y ? cos x

? x ? 1, x ? 0, (2015 年 1 月·海淀期末·5.函数 y ? ? 的值域是 C ? 1 ? x, x ? 0

A. R

B. [0, ??)

C. [?1, ??)

D. (?1, ??)

(2015 年 1 月·丰台期末·3.下列函数中是偶函数且在区间 (0, ??) 内为单调递增函

数的是( A. y ? cos x

) B. y ? x 2
1

C. y ? ? x 2

D. y ? log3 x

2

(2015 年 1 月·东城期末·3. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是

-1-

A. y ?

1 x

B.y=(x-1)2

C.y=2

-x

D. y ? log2 ( x ? 1)

(2015 年 1 月·房山期末·9)心理学家发现,在特定条件下,学生对概念的接受能力 y 与提 出概念所用的时间 t (单位:分)满足 函数关系 y ? at 2 ? bt ? c ( a , b , c 是常数) ,下表记录了三次实验的数据, 提出概念所用时间 t 对概念的接受能力 y

2 47.8

3 49.9

4 51.8

根据上述函数模型和实验数据,若要学生达到最强接受能力,提出概念所用的时间为 (A) 10 分钟 (B) 12 分钟 (C) 13 分钟 (D) 14 分钟

? x , x ? x2 , max( x1 , x2 ) ? ? 1 1 (2015 年 1 月· 东城期末· 16. 对于任意两个实数 x1 ,x2 ,定义 ? x2 , x1 ? x2 . 若

f ( x) ? x2 ? 2, g ( x) ? ? x ,则 max( f ( x), g ( x)) 的最小值为________. ?1

( 2015 年 1 月·昌平期末· 13 )已知函数 f ( x ) ? ?

?3x , x ? 1, ?? x, x ? 1,

则 f ( f (1)) ? _______ ;若

f ( x) ? 2 ,则 x ?

.

1 , log3 2 3

(2015 年 1 月·昌平期末·15)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3 , 最小值 2 ,则 m 的取值范围是 __________ . [1, 2] (2015 年 1 月·西城期末·4.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ) 在 [0, ??) 上是减函 数.若 f (m) ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是_____. (?2, 2) (2015 年 1 月·海淀期末·13. 函数 y ? x 2 ? 2x 在区间 [ ?1, 2) 上的值域为__ [ ?1,3] _. (2015 年 1 月·顺义期末·13.已知二次函数 f ( x ) 满足 f (0) ? ?3 , f (1) ? f (?3) ? 0 , 那么 f ( x ) =

x2 ? 2 x ? 3



(2015 年 1 月·顺义期末·14.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ? 则实数 a 、 b 、 c 的大小关系是____ b ? c ? a __

ax ? b 的图象如图所示, x2 ? c

______ .

-2-

(2015 年 1 月·海淀期末·14. 方程 x 3 ? 2 x ? 21 的解的个数为_____,若有解,则将其解按四 舍五入精确到个位,得到的近似解为____ 1 , 3 __.

(2015 年 1 月·海淀期末·16.已知函数: y ? x2 , y ? log 2 x , y ? 2 x ,
y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x .从中选出两个

y

函数记为 f ( x) 和 g ( x) ,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的 图象如图所示,则 F ( x) ? __ 2 x ? sin x ___.
1 O x
第16题图 x ? sin x ? 1 的最大值为 M,最小值为 m , x ?1
2

(2015 年 1 月·昌平期末·16)已知函数 f ( x ) ? 则 M ? m =_______ . 2

(2015 年 1 月·石景山期末·5. 若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值 用二分法逐次计算, 参考数据如下表:

f (1) ? ?2 f (1.25) ? ?0.984 f (1.438) ? 0.165
A. 1.2 B. 1.3

f (1.5) ? 0.625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4065) ? ?0.052
) D. 1.5 C. 1.4

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1 )为(

(2015 年 1 月·密云期末·7.如图,点 P 在边长为1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 的中 点, 则当 P 沿着路径 A ? B ? C ? M 运动时, 点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 关系为 y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图象是 A

-3-

(2015 年 1 月·丰台期末·15.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 的图象关于原点对称.当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ,则 f (?e) ? ;

?1

(2015 年 1 月·密云期末·14.给出定义:若 m ?

1 1 < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做 2 2

x= m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x )=x ? {x} 离实数 x 最近的整数, 记作 {x} , 即 {}
的四个判断:

y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ? ①

1 1 , ]; 2 2

② 点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图象的对称中心,其中 k ? Z ; ③ 函数 y =f (x ) 的最小正周期为 1 ;

( , ] 上是增函数. ④ 函数 y =f (x ) 在
则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号) ① ③ ④

1 3 2 2

(2015 年 1 月· 丰台期末· 16. 如图, 某机器人的运动轨道是边长为 1 米的正三角形 ABC. 开 机后它从A点出发,沿轨道先逆时针运动再顺时针运动,每运动 6 米改变一次运动方向(假 设按此方式无限运动下去) .运动过程中随时记录逆时针运动的总路程 s1 和顺时针运动的总路 程 s 2 .x 为该机器人的“运动状态参数”,规定:逆时针运动时 x= s1 ,顺时针运动时 x= ? s2 .机 器人到 A 点的距离 d 与 x 满足函数关系 d= f ( x ) .现有如下结论:

-4-

① f ( x ) 的值域为[0,1]; ② f ( x ) 是以 3 为周期的函数; ③ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数; ④f ( x ) 在区间 [?3, ?2] 上单调递增. 其中正确的有 (写出所有正确结论的编号) .①②④ (2015 年 1 月·顺义期末·17. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? kx ?

1 ,且 f (1) ? 1 . x

(Ⅰ)求实数 k 的值; (Ⅱ)判断函数在 (0,??) 上的单调性,并用定义加以证明. 解: (Ⅰ)由 f (1) ? 1 得 k ? 2 ;-----------------------------------------6 分 (Ⅱ)为增函数.在 (0,??) 任取两数 x1 , x 2 .设 x 2 ? x1 ? 0 ,则
f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? (2 x 2 ? 1 1 1 ) ? (2 x 1 ? ) ? ( x 2 ? x 1 )(2 ? ) x2 x1 x1x 2

因为 x 2 ? x1 ? 0 ,所以 x 2 ? x1 ? 0 , 2 ?

1 ? 0, x 2 x1

所以 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,所以 f ( x ) 为增函数.------13 分
2 (2015 年 1 月·延庆期末·24.(本题 12 分)设函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 5 .

(Ⅰ)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x ) 的图像; (Ⅱ)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f ( x ) 图像的上方.

解:

-5-

24.(本题 12 分) 解]: (Ⅰ)

??????????3 分

(Ⅱ)当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5) ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5)

4?k ? k 2 ? 20k ? 36 ? , ? ?x ? ? ? 2 ? 4 ?
∵ k ? 2 ,∴

2

?????????5 分

4?k ?????????6 分 ?1. 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . g ( x) min ? ? 4 4

?

?

∵ 16 ? (k ? 10) ? 64,
2

2 ,∴ (k ? 10) ? 64 ? 0 则 g ( x) min ? 0 .???9 分

② 当

4?k ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , g ( x) min = 2k ? 0 . 2

由 ①、②可知,当 k ? 2 时,在 x ?[ ? 1, 5 ] 上 g ( x) ? 0 , ∴在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方.??12 分 (2015 年 1 月·西城期末·6. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值. (Ⅰ)解法一:因为 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ,
2

所以, f ( x ) 的图象的对称轴方程为 x ?

2?a . 2

【 2 分】

-6-



2?a ? 1 ,得 a ? 0 . 2

【 4 分】

解法二:因为函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 所以必有 f (0) ? f (2) 成立, 所以 ?2a ? 0 , 得 a ? 0 . (Ⅱ)解:函数 f ( x ) 的图象的对称轴方程为 x ? ① 当 【 2 分】 【 4 分】

2?a ? 0 ,即 a ? 2 时, 2

2?a . 2

因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (0) ? ?2a . 【 6 分】

2?a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, 2 2?a 2?a ) 上单调递减,在区间 ( ,1) 上单调递增, 因为 f ( x ) 在区间 (0, 2 2 2?a 2?a 2 ) ? ?( ) . 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f ( 2 2 2?a ? 1 ,即 a ? 0 时, ③ 当 2
② 当0 ? 因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (1) ? ?(1 ? a) .

【 8 分】

【10 分】

(2015 年 1 月·顺义期末·18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

m ,且此函数图象过点 (1,5) . x

(Ⅰ)求实数 m 的值并判断 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在 ? 2, ??? 上的单调性,并用定义证明你的结论. 解: (Ⅰ) Q f ? x ? 过点 ?1,5? ? m ? 4 .————————2 分

4 定义域是 ? ??,0? U? 0, ??? , x 4 Q f ? ? x ? ? ? x ? ? ? f ? x ? ? f ? x ? 是奇函数 ;————6分 x

?f

? x? ?

x ?

-7-

(Ⅱ) f ? x ? 在 ? 2, ??? 上单调递增.———8分 证明:任取 x1, x2 ??2, ??? ,,不妨设 2 ? x1 ? x2 ,

? 4? ? 4 ? ? x ? x ?? x x ? 4 ? ;——————10 分 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? ? x1 ? ? ? 2 1 1 2 x1 x2 x2 ? ? x1 ? ?
当 2 ? x1 ? x2 时, Q x1 x2 ? 4 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ; ? f ? x ? 在 ? 2, ??? 上单调递增.————————————13分

(2015 年 1 月·顺义期末·19. (本小题共 14 分) 为了预防冬季流感,某学校对教室用药熏消毒法 进行消毒.已知药物释放过程中室内每立方米空气 中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比, 药物释放完毕后 y 与 t 的函数关系式为:

y(毫克) 1

O 0.1 t(小时) 根据图中提供的信息,回答下列问题: (Ⅰ)写出从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函

1 y ? ( )t ? a , ( a 为常数) , 4

数关系式; (Ⅱ)据测定当空气中每立方米的含药量降低到 0.5 毫克以下时,学生方可进入教室,那么 从药物释放完毕,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室. y(毫克) 19. (本小题共 14 分) (Ⅰ )由图形可设 y ? kt

1

(0 ? t ? 0.1) ,———2分
把点 (0.1,1) 分别代入 y ? kt 和 y ? ( ) 解得 k ? 10, a ? 0.1.———8分

1 4

t ?a



O 0.1

t(小时)

?10t , (0 ? t ? 0.1) ? .———10分 ? y ? ? 1 t ?0.1 ( ) , ( t ? 0.1) ? ? 4
(Ⅱ )依题意 ( )

1 4

t ? 0.1

? 0.5 ?

1 ,解得 t ? 0.6 ,又 0.6 ? 0.1 ? 0.5 2

? 药物释放完毕 0.5 小时后学生才能回到教室.———14分

-8-

(2015 年 1 月·石景山期末·19. (本题满分 7 分) (Ⅰ )证明:函数 f ( x) ? x ? (Ⅱ ) 已知函数 f ( x) ? x ? 在 [ a , ??) 上是增函数. 设常数 a ? (1, 9) ,求函数 f ( x) ? x ?

4 在 (0, 2] 上是减函数; x

a 有如下性质: 如果常数 a ? 0 , 那么该函数在 (0, a ] 上是减函数, x

a 在 x ? [1 ,3] 上的最大值和最小值. x

(Ⅰ )证明:设 x1 , x2 是 (0, 2] 内的任意两个不相等的实数,且 x1 ? x2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ?

4 4 4 4 ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? ( ? ) x2 x1 x2 x1

4( x1 ? x2 ) ( x x ? 4) 4 ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) ? ?x ? 1 2 x2 x1 x2 x1 x2 x1

0 ? x1 ? x2 ? 2 ,?0 ? x1 x2 ? 4 ,? x1 x2 ? 4 ? 0 ,
??y ? 0 .
因此,函数 f ( x) ? x ?

4 在 (0, 2] 是减函数. x

…………3 分

(Ⅱ )

a ? (1,9) ,?1 ? a ? 3
a 在 [1, a ] 上是减函数,在 [ a ,3] 上是增函数. x

…………4 分

所以,函数 f ( x) ? x ?

?当x ? a 时,函数 f ( x) 有最小值 2 a ;
又 f (1) ? 1 ? a, f (3) ? 3 ?

…………5 分

a , 3

最大值进行如下分类讨论: (ⅰ )当 f (1) ? f (3) 时,即 3 ? a ? 9 时,当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 有最大值 1 ? a ;……6 分 (ⅱ )当 f (1) ? f (3) 时,即 1 ? a ? 3 时,当 x ? 3 时,函数 f ( x ) 有最大值 3 ? (2015 年 1 月·密云期末·19. (本小题满分 13 分)
2 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c a ? 0, x ? R 满足条件:

a . ……7 分 3

x ? f ( x) ? ①

1 (1 ? x 2 ) , 2

②f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ; ③f ( x ) 在 R 上的最小值为 0 .

-9-

(I)求 f (1) 的值; (II)求 f ( x ) 的解析式; (III)求最大值 m(m ? 1) ,使得存在 t ? R ,只要 x ? ?1, m? ,都有 f ( x ? t ) ? x 成立.

x ? f ( x) ? 解:(I) ∵

1 (1 ? x 2 ) 在 R 上恒成立, 2

1 ? f (1) ? ∴
即 f (1) ? 1 .

1 (1 ? 12 ) ? 1 2
---------------------------2 分

(II)∵f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,∴ 函数图象关于直线 x ? ?1 对称,

? ∴

b ? ?1, b ? 2a. 2a
---------------------------4 分

a ?b ? c ?1 ∵f (1) ? 1 ,∴

又∵f ( x) 在 R 上的最小值为 0 ,∴f (?1) ? 0 ,即 a ? b ? c ? 0 ,
1 ? ? b ? 2a a?c? ? ? ? 4, 由 ?a ? b ? c ? 1 解得 ? ?a ? b ? c ? 0 ? b?1 ? ? ? 2

∴f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? ; 4 2 4

-------------7 分

(III)∵ 当 x ? [1, m] 时, f ( x ? t ) ? x 恒成立,∴f (1 ? t ) ? 1且 f (m ? t ) ? m ,
2 由 f (1 ? t ) ? 1得 t ? 4t ? 0 ,解得 ?4 ? t ? 0

---------------9 分

由 f (m ? t ) ? m 得: m ? 2(1 ? t )m ? t ? 2t ? 1 ? 0 ,
2 2

解得 1 ? t ? ?4t ? m ? 1 ? t ? ?4t ,……………(10 分)

?4 ? t ? 0 ,∴ ∵ m ? 1 ? t ? ?4t ? 1? (?4) ? ?4(?4) ? 9 ,---------------11 分
当 t ? ?4 时,对于任意 x ? [1,9] ,恒有 f ( x ? 4) ? x ? ∴ m 的最大值为 9 .

1 2 1 ( x ? 10 x ? 9) ? ( x ? 9)( x ? 1) ? 0 , 4 4

-------------------12 分
2

另解: (酌情给分) f ( x ? t ) ? x ? ( x ? t ? 1) ? 4x 且 x ? [1, m]
- 10 -

?t ? (? x ? 2 x ? 1) max ?t ? ? x ? 2 x ? 1 在 [1, m] 上恒成立 ? ? ?? ? ? ?t ? ? x ? 2 x ? 1 ? ? ?t ? (? x ? 2 x ? 1) min

∵ y ? ?x ? 2 x ?1在 [1, m] 上递减,∴ (?x ? 2 x ?1)max ? ?4 , ∵ y ? ?x ? 2 x ?1在 [1, m] 上递减, ∴ (?x ? 2 x ?1)min ? ?m ? 2 m ?1 ? ?( m ?1)
2

∴ ?4 ? t ? ?( m ?1)2 ,∴ ?( m ?1)2 ? ?4 , ( m ?1)2 ? 4 ,

m ? 1 ,∴ m ? 1 ? 2 , ∵ m ? 9 ,∴ ∴ m 的最大值为 9
(2015 年 1 月·石景山期末·20. (本题满分 7 分) 对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) ,如果存在实数 a, b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) ,那么称

h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.
(Ⅰ )下面给出两组函数, h( x) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x, h( x) ? sin( x ?

?
3

);

第二组: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 ; (Ⅱ )设

f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ? 1,生成函数 h( x) .
2

若不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围.
2

1 3 ? 解: (Ⅰ )①设 a sin x ? b cos x ? sin( x ? ) ,即 a sin x ? b cos x ? sin x ? cos x , 3 2 2 1 3 取a ? , b ? ,所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. 2 2
…………2 分

②设 a( x2 ? x) ? b( x2 ? x ? 1) ? x2 ? x ? 1,即 (a ? b) x2 ? (a ? b) x ? b ? x2 ? x ? 1,
?a ? b ? 1 ? 则 ? ? a ? b ? ?1,该方程组无解.所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. ?b ? 1 ?

…4 分

(Ⅱ ) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2

- 11 -

若不等式 3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,即 t ? ?3h2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log2 2 x ? 2log 2 x
2 设 s ? log2 x ,则 s ? [1, 2] , y ? ?3log2 2 x ? 2log2 x ? ?3s ? 2s ,

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 .

………7 分

(2015 年 1 月·昌平期末·19)(本小题共 15 分) 已知函数 f ( x) ? x x ? 2x . (I)判断函数 f ( x ) 的奇偶性并求函数 f ( x ) 的零点; (II)写出 f ( x ) 的单调区间; (只需写出结果) (III)试讨论方程 f ( x) ? m 的根的情况. 解: (Ⅰ )因为 f (?x) ? (?x) ?x ? 2(? x)

? ? x x ? 2x ? ?( x x ? 2x)
? ? f ( x) ,
所以 f ( x ) 为奇函数. 令 f ( x) ? 0 ,即 x x ? 2x ? 0 , x( x ? 2) ? 0 . 解得: x ? 0,x=2,x ? ?2. 所以函数的零点为 ?2, 0, 2 . (Ⅱ )函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1), (1, ??) ; 单调递减区间为 (?1,1) . (Ⅲ )当 m ? ?1或m>1 时,方程 f ( x) ? m 有一个根; 当 m ? ?1 时,方程 f ( x) ? m 有两个根; 当 ?1 ? m ? 1 时,方程 f ( x) ? m 有三个根. …………………9 分 …………………11 分 …………………13 分 …………………15 分 …………………6 分 …………………2 分 …………………3 分

- 12 -

(2015 年 1 月·昌平期末·21)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) 对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a ? b) ? 2 f (a) ? f (b) ,且 f (0) ? 0 . (I) 求 f (0) ; (II)证明:函数 f ( x ) 为偶函数; (Ⅲ ) 存在正数 m ,使得 f (m) ? 0 ,求满足 f ( x ? T ) ? f ( x) 的 1 个 T 值 (T ? 0) . 解: (Ⅰ )令 a ? b ? 0 . 则 f (0) ? f (0) ? 2 f (0) ? f (0) . 因为 f (0) ? 0 , 所以 f (0) ? 1 . (Ⅱ )令 a ? 0, b ? x . 则 f ( x) ? f (? x) ? 2 f (0) ? f ( x) ? 2 f ( x) . 所以 f (? x) ? f ( x) . 所以函数 f ( x ) 为偶函数. (Ⅲ )令 a ? x, b ? m . 因为 f (m) ? 0 , 所以 f ( x ? m) ? f ( x ? m) ? 2 f ( x) ? f (m) ? 0 . 即 ………………9 分 ………………10 分 ………………11 分 ………………7 分 ………………3 分

f ( x? m ) ? ? f( x? m .)

所以 f ( x ? 2m) ? ? f ( x) . 所以 f ( x ? 4m) ? ? f ( x ? 2m) ? f ( x) . 所以满足 f ( x+T ) ? f ( x) 的一个 T 值为 4 m . (2015 年 1 月·东城期末·21.(本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3 , a ? R .
2

………………13 分

(Ⅰ )若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴无交点,求 a 的取值范围; (Ⅱ )若函数 y ? f ( x) 在 [?1,1] 上存在零点,求

a 的取值范围;

b ? R .当 a ? 0 时, (Ⅲ ) 设函数 g ( x) ? bx ? 5 ? 2b , 若对任意的 x1 ? [1,4] , 总存在 x2 ?[1,4] ,

- 13 -

使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 b 的取值范围. 21. (本题满分 8 分) 解: (Ⅰ )若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴无交点,则方程 f ( x) ? 0 的判别式 ? ? 0 , 即 16 ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得 a ? 1 . (Ⅱ ) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a ? 3 的对称轴是 x ? 2 ,所以 y ? f ( x) 在 [?1,1] 上是减函数,

y ? f ( x) 在 [?1,1] 上存在零点,则必有:

? f (1) ? 0 ?a ? 0 ,即 ? , ? ? f ( ?1) ? 0 ?a ? 8 ? 0
解得: ?8 ? a ? 0 ,故实数 的取值范围为 ?8 ? a ? 0 ;

(Ⅲ )若对任意的 x1 ? [1,4] ,总存在 x2 ?[1,4] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,只需函数 y ? f ( x) 的 值域为函数 y ? g ( x ) 值域的子集. 当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 的对称轴是 x ? 2 ,所以 y ? f ( x) 的值域为 [?1,3] . 下面求 g ( x) ? bx ? 5 ? 2b , x ? [1, 4] 的值域. ① b ? 0 时, g ( x ) ? 5 ,不合题意,舍去. ② b ? 0 时, g ( x) ? bx ? 5 ? 2b 的值域为 [5 ? b,5 ? 2b] ,只需要 ?

?5 ? b ? ?1, 解得 b ? 6 . 5 ? 2 b ? 3. ? 5 ? 2b ? ?1,
解得 b ? ?3 .

? ③ b ? 0 时, g ( x) ? bx ? 5 ? 2b 的值域为 [5 ? 2b,5 ? b] ,只需要 ?
综上:实数 b 的取值范围 b ? 6 或 b ? ?3 . (2015 年 1 月·房山期末·22) (本小题满分 12 分)

?5 ? b ? 3.

设 f ( x) 和 g ( x) 都 是 定 义 在 集 合 M 上 的 函 数 , 对 于 任 意 的 x ? M , 都 有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f ( x) 与 g ( x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(Ⅰ)若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? 3x ? 2 ,判断 f ( x) 与 g ( x) 在 R 上是否互为“ H 函数” ; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? 2 x 与 g ( x) ? sin x 在 M 上互为“ H 函数” ,求集合 M ;
x (Ⅲ)若函数 f ( x) ? a ( a ? 0 , a ? 1 )与 g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数” ,求 a

- 14 -

的取值范围. 解: (Ⅰ) f ( x) 与 g ( x) 在 R 上互为“ H 函数” 分 ?x ? R ,由 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? 3x ? 2 ,则 -----------------1

f ( g ( x)) ? 2(3x ? 2) ? 1 , g ( f ( x)) ? 3(2 x ? 1) ? 2 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 所以 f ( x) 与 g ( x) 互为“ H 函数” (Ⅱ)由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 2 sin x ? sin 2 x 化简得, 2 sin x(1 ? cos x) ? 0 , sin x ? 0 或 cos x ? 1 解得 x ? k? 或 x ? 2k? , k ? Z , 即集合 M ? {x | x ? k ?, k ? Z }
(Ⅲ)由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 a 变形得, a x (a ? 1) ? 1 ,
x 由于 a ? 0 且 a ? 1 , a ?

-----------------1 分 -----------------1 分 -----------------1 分 -----------------1 分 -----------------1 分 -----------------1 分 -----------------1 分 -----------------2 分

x ?1

? ax ?1 ( a ? 0 且 a ? 1)

1 , a ?1
-----------------2 分

因为 a ? 0 ,所以
x

1 ? 0 ,即 a ? 1 a ?1

(2015 年 1 月·西城期末·8. (本小题满分 10 分) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 同时满足下列两个条件: ① 对任意 x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ;② 对任意 x ? R ,有 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 . 设 g ( x) ? f ( x) ? x . (Ⅰ)证明: g ( x ? 3) ? g ( x) ? g ( x ? 2) ; (Ⅱ)若 f (4) ? 5 ,求 f (2014) 的值. (Ⅰ)证明:因为 g ( x) ? f ( x) ? x , 所以 g ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? x ? 2 , g ( x ? 3) ? f ( x ? 3) ? x ? 3 . 由条件①,②可得

g ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? x ? 2 ? f ( x) ? 2 ? x ? 2 ? f ( x) ? x ? g ( x) ; ③ g ( x ? 3) ? f ( x ? 3) ? x ? 3 ? f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? f ( x) ? x ? g ( x) . ④
所以 g ( x ? 3) ? g ( x) ? g ( x ? 2) . (Ⅱ)解:由③得 g ( x ? 2) ? g ( x) ,

【 2 分】 【 4 分】

- 15 -

所以 g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) . 由④得 g ( x ? 3) ? g ( x) , 所以 g ( x ? 6) ? g ( x ? 3) ? g ( x) . 所以必有 g ( x ? 6) ? g ( x) , 即 g ( x) 是以 6 为周期的周期函数. 所以 g (2014) ? g (335 ? 6 ? 4) ? g (4) ? f (4) ? 4 ? 1 . 所以 f (2014) ? g (2014) ? 2014 ? 2015 . (2015 年 1 月·密云期末·20.(本小题满分 13 分)

【 6 分】

【 7 分】

【 8 分】 【 9 分】 【10 分】

若函数 f ( x) 对任意的 x ? R ,均有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,则称函数 f ( x) 具有性 质P. (Ⅰ )判断下面两个函数是否具有性质 P ,并说明理由. ① y?2 ;
x

② y?x .
3

* (Ⅱ )若函数 f ( x) 具有性质 P ,且 f (0) ? f (n) ? 0 ( n ? 2, n ? N ) ,

求证:对任意 i ?{1, 2,3,

, n ? 1}有 f ( i ) ? 0 ;

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,是否对任意 x ? [0, n] 均有 f ( x) ? 0 .若成立给出证明,若不成立 给出反例. (Ⅰ )证明:① 函数 f ( x) ? 2 x 具有性质 P .

f ( x ?1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? 2x?1 ? 2x?1 ? 2 ? 2x ? 2x ? 0 ,……………1 分
即 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 此函数为具有性质 P .……………2 分 ② 函数 f ( x) ? x 3 不具有性质 P . ……………3 分

例如,当 x ? ?1 时, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (?2) ? f (0) ? ?8 ,

2 f ( x) ? ?2 ,
所以, f (?2) ? f (0) ? f (?1) ,……………4 分 此函数不具有性质 P . (Ⅱ )假设 f (i) 为 f (1), f (2), 则 f (i) ? f (i ? 1) ? 0 , 因为函数 f ( x ) 具有性质 P , 所以,对于任意 n ? N ,均有 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) ? f (n ?1) ,
*

, f (n ?1) 中第一个大于 0 的值,

- 16 -

所以 f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (i) ? f (i ? 1) ? 0 , 所以 f (n) ? [ f (n) ? f (n ? 1)] ? 与 f (n) ? 0 矛盾, 所以,对任意的 i ?{1, 2,3, (Ⅲ )不成立. 例如 f ( x) ? ?

? [ f (i ? 1) ? f (i)] ? f (i) ? 0 ,
……………9 分

, n ?1} 有 f (i) ? 0 .
……………10 分

? x( x ? n) x为有理数, ?x
2

x为无理数.

证明:当 x 为有理数时, x ? 1, x ? 1 均为有理数,

f ( x ?1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? ( x ?1)2 ? ( x ? 1)2 ? 2x2 ? n( x ?1 ? x ? 1 ? 2x) ? 2 ,
当 x 为无理数时, x ? 1, x ? 1 均为无理数,

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2x 2 ? 2
所以,函数 f ( x) 对任意的 x ? R ,均有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 即函数 f ( x) 具有性质 P . 而当 x ? [0, n] ( n ? 2 )且当 x 为无理数时, f ( x) ? 0 . 所以,在(Ⅱ )的条件下,“对任意 x ? [0, n] 均有 f ( x) ? 0 ”不成立.……………13 分 (其他反例仿此给分, 如 f ( x) ? ? ……………12 分

?0,x为有理数, ?0, f ( x) ? ? ?1,x为无理数, ?1,

?0, f ( x) ? ? 2 x为非整数, ?x ,
x为整数,

x为整数, x为非整数,

等.)

(2015 年 1 月·海淀期末·19.本题满分 12 分 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足: “对于区间 (0, ??) 上的任意 a , b , 都有 f (a ? b) ? f (b) 成立”. (Ⅰ )求 f (0) 的值,并指出 f ( x) 在区间 (0, ??) 上的单调性; (Ⅱ )用增函数的定义证明:函数 f ( x) 是 (??,0) 上的增函数; (Ⅲ )判断 f ( x) 是否为 R 上的增函数,如果是,请给出证明;如果不是,请举出反例.

y

1

O

1

x

- 17 -

19.本题满分 12 分 解: (Ⅰ )因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 f (0) ? ? f ( ?0) ,即 f (0) ? 0 .----------------------------------------------------2 分
f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ )法 1: 任取 x1 , x2 ? (??,0) ,且 ?x ? x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? 0, ? x2 ? 0 ,----------------5 分 因为对于区间 (0, ??) 上的任意 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (b) 成立, 所以 f ( ? x2 ) ? f ( ? x1 ? ?x ) ? f (? x1 ) ,即 f ( ? x2 ) ? f ( ? x1 ) ? 0 .-------------------7 分 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 ?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( ? x2 ) ? f ( ? x1 ) ? 0 ---------------------------------------8 分 所以函数 f ( x) 是 (??,0) 上的增函数.--------------------------------------------------9 分 法 2: 任取 x1 , x2 ? (??,0) ,且 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 ,且 x2 ? x1 ? 0 ,------5 分 因为对于区间 (0, ??) 上的任意 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (b) 成立, 所以 f [? x2 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( ? x2 ) ,即 f ( ? x1 ) ? f ( ? x2 ) .-----------------------------7 分 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,--------------------------------------------8 分 所以函数 f ( x) 是 (??,0) 上的增函数. --------------------------------------------------9 分 (Ⅲ ) f ( x) 不一定是 R 上的增函数. 反例如下:
? x ? 1, x ? 0, ? 1 ? ?? , x ? 0, 令 f ( x) ? ? x 或者 f ( x ) ? ? 0 , x ? 0, -----------------------------------------12 分 ? x ? 1, x ? 0. ? ? 0, x ? 0. ?

---------------------------------------------10 分

- 18 -


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