当前位置:首页 >> 数学 >>

2015高考数学填空题解法


高考数学填空题,你准备好了吗
填空题,作为数学高考的三大题型之一,具有如下特点:形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查 目标集中,形式灵活,答案简短、明确、具体,评分客观、公正、准确等.解答填空题时考生务必要做到: 快 ——运算要快,力戒小题大作;稳 ——变形要稳,不可操之过急;全 ——答案要全,力避残缺不齐;活 ——解题要活,不要生搬硬套;细 ——审题要细,不能粗心

大意,那么,解答数学填空题,我们应该“储备” 哪些基本方法呢? 一、直接法: 这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识, 通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果, 例 1、在等差数列 {an } 中,已知 a3 ? a8 ? 10, 则 3a5 ? a7 ? _______. 解析:依题意 2a1 ? 9d ? 10, 所以 3a5 ? a7 ? 3(a1 ? 4d ) ? a1 ? 6d ? 4a1 ? 18d ? 20. 或: 3a5 ? a7 ? 2(a3 ? a8 ) ? 20. 点评:这类填空题其实是个小型解答题,故一般仍采用解答题的方法求之. 二、特殊化法:当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的不 定量用特殊值代替,即可以得到正确结果. 例 2.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x), 且在区间 [0,2] 上是增函数, 若方程 f ( x) ? m(m ? 0) 在区间 [?8,8] 上有四个不同的根: x1 , x2 , x3 , x4 , 则 x1 ? ? x2 ? x3 ? x4 ? _______. 解析:此题考查抽象函数的奇偶性,周期性,单调性 和对称轴方程,条件多,将各种特殊条件结合的 最有效方法是把抽象函数具体化,根据函数 特点取 f ( x ) ? sin

?
4

x, 再根据图像可得 ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ? [(?6 ? 2) ? (2 ? 2)]? 2 ? ?8

点评:特殊化法,就是将题中的某个条件“特殊化”,其目的是在“特殊化”的条件下快速算出结果,至于如何 将条件“特殊化”,应具体问题具体分析,便于计算即可. 三、赋值法:特殊值代入法,即赋值法,是解填空题题的常用方法.填空题因其题目的特殊性,在有些问题 中不要求有严密的推理证明,而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可,故其应用相当普遍.
2 2 例 3、定义在 R 上的 f ( x), 满足 f (m ? n ) ? f (m) ? 2[ f (n)] , m, n ? R, 且 f (1) ? ? 0, 则 f (2014) 的值为 ____.

解析:利用赋值法知 f (0) ? 0, f (1) ?

1 1 , 再令 n ? 1, 于是有 f (m ? 1) ? f (m) ? , 把原问题转化为“已知首 2 2 1 1 n 项为 , 公差为 的等差数列,求它的第 2014 项”.不难求得 an ? , 故 a2014 ? 1007 . 2 2 2

点评:赋值法对抽象函数问题和二项式定理问题十分有效. 四、构造法:根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些熟悉的数学模型,并借助于它认识和解决问题的一 种方法, 例 4.设 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,且满足 f ( x) ? xf ' ( x) ? 0, 则不等式 f ( x ? 1 ?

x ? 1 f ( x 2 ? 1) 的解集为____.
? g ( x) 为增函数,不等式 f ( x ? 1 ? x ? 1 f ( x 2 ? 1)

解析:令 g ( x) ? xf ( x), 则 g ' ( x) ? f ( x) ? xf ' ( x) ? 0,

可化为 x ? 1 f ( x ? 1) ? x 2 ? 1 f ( x 2 ? 1), 即 g ( x ? 1) ? g x 2 ? 1, 由 ?

? ? x ? 1 ? x2 ?1 ? 1 ? x ? 2, ? ?x ?1 ? 0

∴不等式 f ( x ? 1) ? x ? 1 f ( x 2 ? 1) 的解集为 {x | 1 ? x ? 2} 点评:根据已知条件所提供的信息,适当的有目的的去构造函数、数列、方程或几何图形等, 往往能使问题获解. 五、解析法:通过建立直角坐标系,把原问题转化为解析几何问题求解. 例 5.三角形 ?ABC 中, BC ? 20, tan B ? tan C ?

1 , AC ? 4 4

2, 则 cos A ? ____.

1

y2 x2 1 ? ? 1, tan B ? tan C ? ? 解析: 如图建立直角坐标系. 设点 A( x, y), 则 B(?10,0), C (10,0), 于是由 得 4 100 25 ?x ? 6 又由 AC ? 4 2, 得 ( x ? 10) 2 ? y 2 ? 32, 联立方程组解得 ? ,于是 AB ? (?16,4), BC ? (?16,?4), ?y ? 4 3 34 ? 48 ?? ? AC ? (4,?4), cos A ? 34 2 ? 4 17 ? 4 2
点评:本题通过建立直角坐标系,利用平面向坐标的数量积来解.不仅揭示了问题的本质,而且也锻炼了我 们思维的变通性,本例也可用先算出 BC 边上的高,再用余弦定理解,同学们不妨一试, 六、数形结合法:通过以数示形,以形示数,借助图形的直观性(函数图像、几何意义等)来求解.

?x ? y ? 3 ? 例 6.已知 O 为坐标原点,点 A 的坐标是 ( 2,3), 点 P( x, y) 在不等式组 ?2 x ? y ? 6, 所确定的区域内 ?x ? 2 y ? 6 ?
(包括边界)上运动,则 OA ? OP 的范围是____, x 2 ? 2 x ? y 2 的最小值是____. 解析:先求出三条直线 x ? y ? 3, 2 x ? y ? 6, x ? 2 y ? 6 的交点, 交点分别是 A(3,0)、B(2, 2)、C (0,3), 可行域是如图所示的 ?ABC 区域 (包括边界) .因为 OA? OP ? 2x ? 3 y, 令 z ? 2 x ? 3 y, 如图平行移动直线 z ? 2 x ? 3 y, 当直线 z ? 2 x ? 3 y 过 A (3,0) 时,z 取得最小值 6;当直线 z ? 2 x ? 3 y 过 B(2,2) 时,z 取得最大值 10. 故 6 ? OA? OP ? 10.

x 2 ? 2x ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1表示点 (?1,0) 与可行域内点的距离的平方减去 1.而点 (?1,0) 到可行域最近 | ?1 ? 0 ? 3 | 3 3 7 ? , 所以 x 2 ? 2 x ? y 2 的最小值为 ( ) 2 ? 1 ? . 距离为 d ? 2 2 2 2
点评:线性规划问题离不开作图,而目标函数更应该关注它的几何意义,利用图象往往能使答案一望便知, 但作图必须力图精准,否则也难保结果准确. 七、等价转化法:通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出正 确的结果. 例 7、在面积为 2 的 ?ABC 中, E , F 分别是 AB, AC 的中点,点 P 在直线 EF 上,则 PC ? PB ? BC 的最小值是______.
2

2

解析:思路一:问题可转化为已知 ?PBC 的面积为 1.求 PC ? PB ? BC 的最小值,设 ?PBC 中点 P, B, C 所对的边分别为 p, b, c, 由题设知 bc sin P ? 2, ? PC ? PB ? BC ? bc cos P ? (b2 ? c 2 ? 2bc cos P)
2

? b 2 ? c 2 ? bc cos P ? 2bc ? bc cos P ?

2( 2 ? cos P ) 2 ? cos P ,从而进一步转化为 的最小值. (可数形结 sin P sin P 2 a

合,可用引入辅助角化一个三角函数的形式,可用万能公式转化后换元等,下略) 思路二:建立坐标系,立即得目标函数.由题设知, ?PBC 的面积为 1.以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴, 过点 B 与直线 BC 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设 C (a,0), P(t , )( a ? 0),
2 2 2 4 2 2 4 3a 2 2 ? 0 ? 2 3, 则 PB ? ( ?t ,? ), PC ? (a ? t,? ), ? PC ? PB ? BC ? ?t (a ? t ) ? 2 ? a ? (t ? ) ? 2 ? 4 a a a a a 2 a 16 当且仅当 t ? , a ? 4 时取等号,? PC ? PB ? BC 的最小值是 2 3. 2 3

思路三:设 BC 的中点为 D,由 PB ? PC ? BC ? ( PD ? DB ) ? ( PD ? DC ) ? BC
2 2 2 2 1 3 1 ? PD ? ( BC ) 2 ? BC ? PD ? BC ? PD ? BC ? sin ?PDC ? 1, 2 4 2 2 2 3 3 ? PC ? PB ? BC ? 2 PD2 . BC2 ? 3PD ? BC ? sin ?PDC ? 2 3 4

2

2

点评:等价转化是数学解题的“主旋律”,本例先将向量问题的三种转化,体现了数学知识的内在联系,只有
2

把握了这种联系.我们的思维才会流畅. 八、合情推理法:关于合情推理题在全国各地的高考试卷中频频亮相,与此同时,关于合情推理的有关内容 也出现在新课标的选修课程中,可预见以考查考生数学能力的合情推理题将成为创新形填空题的“试验田”. 例 8、如果复数 z ? cos? ? i sin ? , ? ? (0,
n

?

2

), 记 n(n ? N *) 个 z 的积为 z n , 通过验证 n ? 2, n ? 3, n ? 4,?,

的结果 z n , 推测 z ? ___(结果用 ? , n, i 表示) .当 z ? cos 为________. 解析:由条件知, z1 ? cos? ? i sin ? ,

? ? ? i sin 时,由此推测复数 z 2013 的实部与虚部的和 4 4

z 2 ? (cos? ? i sin ? )2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2i sin ? cos? ? cos2? ? i sin 2? z 3 ? (cos? ? i sin ? )3 ? (cos2? ? i sin 2? )(cos? ? i sin ? ) ? (cos2? cos? ? sin 2? sin ? ) ? i(sin 2? cos? ? cos2? sin ? ) ? cos 3? ? i sin 3? ……….. 推测 z n ? c o n s? ? i s i n n? . 2 2013 ? 2013 ? 5? 5? 2 z 2013 ? cos ? i sin ? cos ? i sin ?? ? 2 i, 2 4 4 4 4 2013 故复数 z 的实部与虚部的和为 ? 2.
点评:合情推理型填空题是近几年高考的热点问题,这类要求我们由此及彼,发散思维,快速找到一些问题 的“共同语言”,这类填空题主要涉及归纳推理和类比推理. 其实,解答填空题的方法,何止上文提到的八种! 而能够多角度思考问题,灵活选择方法,才是快速准确地解数学填空题的关键! 练练手:

x2 y2 1、B 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上在第一象限的任意一点,A 为双曲线的左顶点,F 为右焦点, a b ?BFA ? 2 ?BAF, 则双曲线 C 的离心率为____. 2.若 0 ? a1 ? a2 , 0 ? b1 ? b2 , 且 a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 1, 则下列四个代数式 a1b1 ? a2b2 , 1 a1b2 ? a2b1, a1a2 ? b1b2 , 中最大的是____. 2 cos A b 3 ? ? .若 c ? 10, 则 3.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c, 且 cos B a 4 ?ABC 的面积是____. x 4.函数 f ( x) ? xe ? a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为____. 5.设 f ( x) 是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x、y ? R, 都有 f ( x) ? f ( y) ? 1 f ( x ? y), 若 a1 ? , an ? f (n)(n ? N*), 则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 为____. 2 1 3 1 2 6.设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2bx ? c, 若当 x ? (0,1) 时, f ( x) 可取得极大值,当 x ? (1,2) 时, f ( x) 可取 3 2 b?2 得极小值,则 的取值范围是____. a ?1 2 2 2 7.若不论 k 为何实数,直线 y ? kx ? 1 与圆 c ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 4 ? 0 恒有交点,则实数 a 的取值范围
是____. 8.如果 (1 ? sin
4

? ) sin ? ? (1 ? cos4 ? ) cos? (? ? (0,2? )), 那么角 ? 的取值范围是____.
a c 1 ? ? 来计 b d e

9.某校对文明班的评选设计了 a, b, c, d , e 五个方面的多元评价指标.并通过经验公式样 S ?

算各班的综合得分,S 的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出 0 ? c ? d ? e ? b ? a, 则下阶段要把其中一个指标的值增加 1 个单位,而使得 S 的值增加最多,那么该指 标应为____. (填入 a, b, c, d , e 中的某个字母) 10.将函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 3( x ?[0,2]) 的图像绕坐标原点逆时针旋转 ?( ? 为锐角).若所得曲线仍 是一个函数的图像,则 ? 的最大值为____.

3

参考答案
1. (特殊值法)设 BF ? x 轴,则 ?BFA ? 90? , ? ?BAF ? 45? , ? a ? c ? a , 可得双曲线的离心率 e ? 2. 2.由题意可取 a1 ? b1 ? 0.2, a2 ? b2 ? 0.8, 则 a1b1 ? a2b2 ? 0.68, a1b2 ? a2b1 ? 0.32, a1a2 ? b1b2 ? 0.32, 其最 大的值为 a1b1 ? a2b2 .

b2

cos A b cos A 3 ? , 得 a cos A ? b cos B, 由正弦定理得 sin 2 A ? sin 2 B, 由 ? cos B a cos B 4 ? b 3 1 ? 知A? ? B, ? 2 A ? ? ? 2B, ? A ? B ? , ? C ? , 又 ? , c ? 10, ?b ? 6, a ? 8, S ? ab ? 24 . 2 2 a 4 2 x x x 4.构造函数 y ? xe , 则 y' ? e ( x ? 1), 因为 e ? 0, 令 y' ? 0, 解得 x ? ?1. 当 x ? ?1 时, y' ? 0, 函数为增函数, 1 ?1 当 x ? ?1 时, y' ? 0, 函数为减函数,所以当 x ? ?1 时函数有最小值, y最小 ? ?e ? ? 画出函数 y ? xex 的 e 1 图像如图所示,显然当 ? ? a ? 0 时,函数 f ( x) ? xex ? a 有两个零点. e 1 2 1 2 5.由已知可得 a1 ? f (1) ? , a2 ? f ( 2) ? [ f (1)] ? ( ) , 2 2 1 1 a3 ? f (3) ? f (2) ? f (1) ? [ f (1)]3 ? ( ) 3 ,?, an ? f (n) ? [ f (1)] n ? ( ) n , 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 2 1 3 1 n 2 2 ? 1 ? ( 1 )n . ? Sn ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? 1 2 2 2 2 2 1? 2 6. f ' ( x) ? x 2 ? ax ? 2b, 由条件知 f ' ( x) ? 0 的一个根在 (0,1) 上,另一个根在 (1,2) 上,
3、由

? f ' (1) ? 0 ?a ? 2b ? 1 ? 0 ? ? , 如图所示,在平面直角坐标系中作出上述区域,得点 P(a, b) 在图中的阴 ∴ ? f ' (0) ? 0 ,即 ?b ? 0 ? f ' ( 2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?
b?2 1 b?2 ? k PA ? ( ,1) . 的几何意义是过两点 P (a, b) 与 A(1,2) 的直线的斜率,易知 a ?1 4 a ?1 7.题设条件等价于直线上的定点 (0,1) 在圆内或圆上,或等价于点 (0,1) 到圆心 ( a,0) 的距离小于或等到于圆
影区域内,而 的半径 2a ? 4 , 所以 ? 1 ? a ? 3.
4 4 8. 设函数 f ( x) ? (1 ? x) x, 则 f ' ( x) ? 1 ? 5x ? 0, 所以 f ( x) 是增函数, 由题设得出 f (sin? ) ? f (cos? ),

得 sin ? ? cos? , 所以 ? ? (

? 5?
4 , 4

).

9.因 a, b, c, d , e 都为正数,故分子越大或分母越小时,S 的值越大,而在分子都增加 1 的前提下,分母越小 时,S 的值增长越多,? 0 ? c ? d ? e ? b ? a, 所以 c 增大 1 个单位会使得 S 的值增加最多. 10. (数形结合)作出函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 3( x ?[0,2]) 的图像(圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的一部分, 落在 x 轴及其上方) .考虑圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3)2 ? 4 在点 (0,0) 处的切线 y ? kx, 由

|k ? 3| k ?1
2

?2?k ?

3 , ? 的最大值为切线 y ? kx 逆时针旋转到与 y 轴重合时所转过的角, 3

? ? 的最大值为

? . 3

4


相关文章:
2015高考数学选择填空题技巧
2015高考数学选择填空题技巧_高考_高中教育_教育专区。1 高考数学选择填空题技巧...3.充分应用已知结论:因为填空题不必写出解答过程,要提高解题速度,可以应用一些...
2015高考数学填空题解法讲析
2015高考数学填空题解法讲析_高考_高中教育_教育专区。2015 高考数学填空题解法讲析填空题是数学高考的三种基本题型之一,其求解方法分为:直接运算推理法、赋值计算法...
高考数学填空题的解法技巧
高考数学填空题解法技巧_高三数学_数学_高中教育_教育专区。题型概述 填空题是...sin2A (2)(2015· 北京)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则=___. sinC 解...
2015年高考数学填空题创新解法集萃
2015高考数学填空题创新解法集萃_高考_高中教育_教育专区。课标 2 卷 x ? y + 1 ≥ 0, 理科第 14 题:若 x、y 满足约束条件 x ? 2y ≤ 0, 则 z...
2015高考数学专题十二:解填空题技巧、方法(教师版含13...
2015高考数学专题十二:解填空题技巧、方法(教师版含13、14高考题)_高三数学_数学...注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化 从而得到结果,这是快速...
2015年高考文科数学二轮复习选择题填空题的解法(含解析)
2015高考文科数学二轮复习选择题填空题解法(含解析)_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2015高考文科数学二轮复习选择题填空题解法(含解析...
2015届高考数学(理)二轮练习:填空题的解法(含答案)
2015高考数学(理)二轮练习:填空题解法(含答案)_高考_高中教育_教育专区。...5 理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本...
2015年高考学习冲刺 填空题的解法
2015高考学习冲刺 填空题解法_高考_高中教育_教育专区。2015高考学习冲刺 ...5 22+?-1?2 -3- 理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决,它来源...
2015年高考数学试题及答案
2015高考数学试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学试题2015...考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法1:(1)连AC, 设AC BD ? O, AP...
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:填空题的解法(含...
2015高考数学(理)二轮专题配套练习:填空题解法(含答案)_高考_高中教育_教育专区。→→例 2 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,...
更多相关标签:
高考数学填空题 | 高考数学选择填空题 | 高考数学填空题技巧 | 高考数学填空题训练 | 江苏高考数学填空题 | 高考数学数列填空题 | 高考数学填空题没化简 | 高考数学投机取巧解法 |