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三视图作业(教师版)(经典)


335 班《三视图》的高考准备
一、高考对三视图的三个考查角度 1.由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别 解答此类问题的关键是:一要掌握各种基本几何体的三视图,注意简单组合体的构成;二 要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则. 例题1. [2012 年福建高考理科]一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体 不可以是( A.球 ). B.

三棱锥 C.正方体 D.圆柱 【答案】D

例题2. [2014·福建卷] 某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 【答案】A

)

例题3. 如图所示,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧 棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( )

[解析]

结合三视图的画法规则可知 B 正确.

[答案] B

例题4. [2014·湖北卷] 在如图 1?1 所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中, 一个四面体的顶点坐标 分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的 四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

图 1?1 A.①和② B.①和③ C.③和② D.④和② 【答案】 D 例题5. [2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图 1?3,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

A.6 C.4

2 2

B.6 D.4

【答案】B

图 1?3 2.由三视图还原几何体,考查对空间几何体的认识及空间想象能力. 由几何体的三视图还原几何体,一般如下处理: 首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状,然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱 与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,确定几何体的形状. 例题6. 三视图如图所示的几何体是( A.三棱锥 C.四棱台 [解析] B.四棱锥 D.三棱台 )

由三视图知该几何体为一四棱锥,

其中有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形. [答案] B

3.借助于三视图研究几何体的表面积、体积 解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系 其中,正视图、侧视图的高就是空间几何体的高,正视图、俯视图中的长就是空间几何体 的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度. 例题7. 如图是某几何体的三视图,其中正视图是斜边长 为 2a 的直角三角形,侧视图是半径为 a 的半圆, 则该几何体的体积是( A. 3 3 πa 6 )
3

B. 3πa

C.

3 3 πa 4

D.2 3πa

3

[解析]

由侧视图为半圆可知,该几何体与圆柱、圆锥、球有关,

结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆 锥,将剖面放置在桌面上,如图,由条件知,半圆锥的母线长为 2a, 底面半径为 a,故半圆锥的高为 ?2a? -a = 3a,几何体的体积 V 1 ?1 3 3 2 ? = ×? ×πa × 3a?= πa . 2 ?3 ? 6 [答案] A
2 2

[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图 1?2 所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半 径等于( A.1 ) B.2 C.3 D.4

【答案】B 图 1?2

例题8. [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图 如图 1?2 所示,则该多面体的表面积为( A.21+ 3 B.8+ 2 C.21 D.18 图 1?2 )

【答案】A

例题9. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图 1?1,网格纸上正方 形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm, 高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的 体积与原来毛坯体积的比值为( A. 17 27 B. 5 9 10 C. 27 ) D. 1 3 图 1?1

【答案】 C

例题10. [2014·四川卷] 三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图如图 1?4 所示.设 M,N 分别为 线段 AD,AB 的中点,P 为线段 BC 上的点,且 MN⊥NP. (1)证明:P 是线段 BC 的中点; (2)求二面角 A ? NP ? M 的余弦值. 解:(1)如图所示,取 BD 的中点 O, 连接 AO,CO. 图 1?4

由侧视图及俯视图知, △ABD,△BCD 为正三角形, 所以 AO⊥BD,OC⊥BD. 因为 AO,OC?平面 AOC,且 AO∩OC=O, 所以 BD⊥平面 AOC. 又因为 AC?平面 AOC,所以 BD⊥AC. 取 BO 的中点 H,连接 NH,PH. 又 M,N,H 分别为线段 AD,AB,BO 的中点,所以 MN∥BD,NH∥AO, 因为 AO⊥BD,所以 NH⊥BD. 因为 MN⊥NP,所以 NP⊥BD. 因为 NH,NP?平面 NHP,且 NH∩NP=N,所以 BD⊥平面 NHP. 又因为 HP?平面 NHP,所以 BD⊥HP. 又 OC⊥BD,HP?平面 BCD,OC?平面 BCD,所以 HP∥OC. 因为 H 为 BO 的中点,所以 P 为 BC 的中点. (2)方法一:如图所示,作 NQ⊥AC 于 Q,连接 MQ. 由(1)知,NP∥AC, 所以 NQ⊥NP. 因为 MN⊥NP, 所以∠MNQ 为二面角 A ? NP ? M 的一个平面角. 由(1)知,△ABD,△BCD 为边长为 2 的正三角形, 所以 AO=OC= 3. 由俯视图可知,AO⊥平面 BCD. 因为 OC?平面 BCD,所以 AO⊥OC,因此在等腰直角△AOC 中,AC= 6. 作 BR⊥AC 于 R 因为在△ABC 中,AB=BC,所以 R 为 AC 的中点, 2 10 ?AC? AB2-? ? = .

所以 BR=

?2?

2

因为在平面 ABC 内,NQ⊥AC,BR⊥AC,

所以 NQ∥BR. 又因为 N 为 AB 的中点,所以 Q 为 AR 的中点,

BR 10 所以 NQ= = . 4 2
同理,可得 MQ= 10 . 4

故△MNQ 为等腰三角形, 所以在等腰△MNQ 中,

MN BD
2 4 10 cos∠MNQ= = = . NQ NQ 5 故二面角 A ? NP ? M 的余弦值是 10 . 5

方法二:由俯视图及(1)可知,AO⊥平面 BCD. 因为 OC,OB?平面 BCD,所以 AO⊥OC,AO⊥OB. 又 OC⊥OB,所以直线 OA,OB,OC 两两垂直. 如图所示,以 O 为坐标原点,以 OB,OC,OA 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空 间直角坐标系 O ?xyz. 则 A(0,0, 3),B(1,0,0),C(0, 3,0),D(-1,0,0). 因为 M,N 分别为线段 AD,AB 的中点, 又由(1)知,P 为线段 BC 的中点, 3? ?1 3? 3 ? ? 1 ?1 所以 M?- ,0, ?,N? ,0, ?,P? , ,0?, 2 ? ?2 2 ? ? 2 ?2 2 ? 于是 AB=(1,0,- 3),BC=(-1, 3,0),

MN=(1,0,0),NP=?0,

? ?

3 3? ,- ?. 2 2 ?

设平面 ABC 的一个法向量 n1=(x1,y1,z1), 由?
?n1⊥AB, ? ?n1·AB=0, ? 得? 即 ?n1⊥BC, ? ?n1·BC=0, ?

?(x1,y1,z1)·(1,0,- 3)=0, ? ?(x1,y1,z1)·(-1, 3,0)=0, ?x1- 3z1=0, 从而? ?-x1+ 3y1=0.

取 z1=1,则 x1= 3,y1=1,所以 n1=( 3,1,1). 设平面 MNP 的一个法向量 n2=(x2,y2,z2),由,
?n2⊥MN, ? ?n2·MN=0, ? ? 得? ?n2⊥NP, ? ?n2·NP=0, ?

(x2,y2,z2)·(1,0,0)=0, ? ? 即? 3 3? ? (x2,y2,z2)·?0, ,- ?=0, ? 2 2 ? ? ?

x2=0, ? ? 从而? 3 3 y2- z2=0. ? 2 2 ?
取 z2=1,则 y2=1,x2=0,所以 n2=(0,1,1). 设二面角 A ? NP ? M 的大小为 θ,

? n1·n2 ?=?( 3,1,1)·(0,1,1)?= 10. 则 cos θ=? ? ? ? 5 ?|n1|·|n2|? ? 5× 2 ?
故二面角 A?NP?M 的余弦值是 10 . 5

二、与三视图相关问题的解题思想 1、直观构造思想 例题11. (2008·山东)如图是一个几何体的三视图,根据图中 数据,可得该几何体的表面积是( A.9π C.11π 解析 B.10π D.12π )

几何体为一个球与一个圆柱的组合体,
2 2

S=4π·1 +π·1 ·2+2π·1·3=12π.

2、内部构造思想 例题12. (2009·海南)一个棱锥的三视图如下图, 则该棱锥的全面积(单位:cm )为 A.48+12 2 B.48+24 2 D.36+24 2
2

(

)

C.36+12 2

解析

该几何体是一个底面为直角

三角形的三棱锥,如图,SE=5,SD=4, AC=6 ,AB=BC=6,

∴S 全=S△ABC+2S△SAB+S△ASC

1 1 1 ? ? 6? 6 ? 2? ? 5? 6 ? ? 6 2 ? 4 2 2 2

? 48 ? 12 2.

例题13. 上题如果是求体积呢?你会吗?

解析

通过对三视图的观察,三视图

对应几何体为正四棱锥 P—ABCD.在 正四棱锥 P—ABCD 中间构筑底面的垂 面△PEF 为投影面,侧视图即为△PEF, 从而求出该几何体的高度 PO=

3

1 4 故VP ? ABCD ? ? 4 ? 3 ? 3. 3 3
【说明】上两例在几何体内部构造投影面,通过该投影面观察几何体的侧视图,就将问题 化繁为简.投影面的构造需要垂直于几何体的下底面和后投影面.

3、外部补形思想 例题14. (2008·海南,12)某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这条棱的投

影是长为 6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为 A.2 2 解析 B.2 3 C.4 D.2 5 ( )

由题意可构造长方体如图,

长方体的对角线 A1C 为题中要求的几何体的棱长, 长方体的三个面分别作为三视图中的三个投影面. 设长方体的三棱长分别为 x,y,z, 将平面 DD1C1C 作为正视图投影面, 则 x +y +z =7,x +z =6, ∴y =1. 侧视图中棱的投影长为 a= z +1, 俯视图中棱的投影长为 b= x +1.
2 2 2 2 2 2 2 2

∴a+b= x +1+ z +1≤2

2

2

x +1+1+z =4. 2

2

2

∴a+b 的最大值为 4(当 x=z 时取等号).

例题15. 直三棱柱 A1B1C1-ABC 的三视图 如下图所示,D,E 分别是棱 CC1 和 棱 B1C1 的中点,求图中三棱锥 E—ABD 的侧视图的面积. 解析 通过三视图可知直三棱柱 A1B1C1

—ABC 的前侧面是边长为 2 的正方形, 左侧面与前侧面互相垂直.将直三棱柱 补形成正方体的方法,找到正方体右侧 面作为几何体侧视图的投影面,可知三棱 锥 E—ABD 的侧视图为正方体右侧阴影部分.故有: 三棱锥 E—ABD 的侧视图的面积 点评 上例通过外部补形成长方体得到斜线的三个投影

面,例 5 通过外部补形成正方体得到三棱锥 E—ABD 的侧 视图的面积,体现了空间几何问题中由局部到整体的全局 观察. 总之,空间几何体中几何体和三视图问题虚实相间, 该问题较能体现学生空间想象能力和学生对空间几何体 的认知水平.

《三视图》作业
1. 如图是正方体截去阴影部分所得的几何体,则该几何体的侧视图是( )

解析:此几何体侧视图是从左边向右边看,故 C 符合题意. 2.

答案:C )

下列四个几何体中,每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是(

A.①②

B.①③

C.③④

D.②④

解析:图①的三种视图均相同;图②的正视图与侧视图相同;图③的三种视图均不相同; 图④的正视图与侧视图相同.故选 D. 3. 答案:D

一个锥体的主(正)视图和左(侧)视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的 是( )

解析:俯视图是选项 C 的锥体的正视图不可能是直角三角形.另外直观图如图 1 的三棱锥(OP⊥ 面 OEF,OE⊥EF,OP=OE=EF=1)的俯视图是选项 A,直观图如图 2 的三棱锥(其中 OP,OE,OF 两两垂直,且长度都是 1)的俯视图是选项 B,直观图如图 3 的四棱锥(其中 OP⊥平面 OEGF,底 面是边长为 1 的正方形,OP=1)的俯视图是选项 D.

答案:C

4.

在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(

)

解析:由题目所给的几何体的正视图和俯视图,可知该几何体为半圆 锥和三棱锥的组合体,如图所示,可知左视图为等腰三角形,且轮廓线为 实线,故选 D. 答案:D 5. 如图所示,正方形 O′A′B′C′的边长为 1,它是水平放置 的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( A.6 C.2+3 2 B.8 D.2+2 3 )

解析:如图,OB=2 2,OA=1, 则 AB=3. ∴周长为 8.

答案:B 6. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 2, 则正(主)视图的面积等于( A.2 C. 3 2 9 B. 2 D.3 )

解析:由三视图可知该几何体是一个四棱锥,其底面积 1 其高就是正(主)视图 就是俯视图的面积 S= (1+2)×2=3, 2 1 以及侧(左)视图的高 x,因此有 ×3×x=2,解得 x=2, 3 1 于是正(主)视图的面积 S= ×2×2=2. 2 答案:A

7.

已知某几何体的三视图如图所示, 其中正(主)视图中半圆的半径为 1, 则该几何体的体积为( )

3π A.24- 2 C.24-π

π B.24- 3 π D.24- 2

解析:本题主要考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积,意在考查考生的空间想象 能力以及运算求解能力. 由三视图知该几何体是一个长方体截去一个半圆柱,长方体的长,宽,高分别是 4,3,2,∴ 1 长方体的体积是 4×3×2=24,截去的半圆柱的底面圆的半径是 1,高是 3,∴半圆柱的体积是 2 3π 3π ×π×1×3= ,∴所求的几何体的体积是 24- ,故选 A. 2 2 答案:A 8. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为( )

解析:依题意可知 该几何体的直观图如图所示, 故其俯视图应为 C. 答案:C 9. 一个几何体的三视图如图所示,

且其侧视图是一个等边三角形, 则这个几何体的体积为( A. ?4+π? 3 3 )

B.(4+π) 3 C. ?8+π? 3 2 ?8+π? 3 6

D.

解析:由三视图可得,该几何体由一个半圆锥和一个四棱锥组成,半圆锥的底面半径为 1,

1 1 侧视图是一个边长为 2 的等边三角形, 故圆锥的高为 3, 则此半圆锥的体积为 × ×π×1× 3 3 2 = 3π 1 4 3 4 3 3π ?8+π? 3 , 四棱锥的体积为 ×2×2× 3= , 这个几何体的体积为 + = . 6 3 3 3 6 6 答案:D 10. 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的外接球的体积为________.

解析:几何体外接球的直径为四棱锥底面的对角线 2, 4 2 3 球体积 V= π( ) . 3 2 答案: 2π 3

11. 如图,一个封闭的三棱柱容器中盛有水, 且侧棱长 AA1=8.若侧面 AA1B1B 水平放置时, 液面恰好经过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点. 当底面 ABC 水平放置时,液面高度为________. 解析:利用水的体积相等建立方程求解. 3 图中水的体积是 S△ABC×8=6S△ABC, 4 当底面 ABC 水平放置时,水的体积不变, 设液面高度为 h,则 6S△ABC=S△ABCh, 解得 h=6,即液面高度为 6. 答案:6 12. 如图, 点 O 为正方体 ABCD-A′B′C′D′的中心, 点 E 为平面 B′BCC′的中心, 点 F 为 B′

C′的中点,则空间四边形 D′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(写出所有可
能的图的序号).

解析:图①为空间四边形 D′OEF 在前面(或后面)上的投影.图②为空间四边形 D′OEF 在 左面(或右面)上的投影.图③为空间四边形 D′OEF 在上面(或下面)上的投影.图④不可能. 答案:①②③

13. 一个几何体的三视图如图所示, 若该几何体的表面积为 92, 则 h=________. 解析:由三视图可知该几何体是一个底面 是直角梯形的直四棱柱, 几何体的表面积

S=

?2+5?×4 2 2 ×2+(2+4+5+ 3 +4 )h = 2

92,

即 16h=64,解得 h=4. 答案:4

14. 如图,在斜二测画法下,四边形 A′B′C′D′是下底 角为 45°的等腰梯形,其下底长为 5,一腰长为 2,则原 四 边形的面积是多少? 解:如图(1)作 D′E′⊥A′B′于 E′,

C′F′⊥A′B′于 F′,
则 A′E′=B′F′=A′D′cos45°=1, ∴C′D′=E′F′=3. 将原图复原(如图(2)), 则原四边形应为直角梯形, ∠A=90°,AB=5,CD=3,AD=2 2, 1 ∴S 四边形 ABCD= ×(5+3)×2 2=8 2. 2 15. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形, 正视图是一个底边长为 8, 高为 4 的等腰三角形, 侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

解:本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积,由正视图和侧视图的三角形结合俯视图

可知该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥,如图. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)四棱锥的两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,取 BC 的中点 E,连接 OE,VE,则△

VOE 为直角三角形,VE 为△VBC 边上的高,VE= VO2+OE2=4 2.
同理侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三角形,

AB 边上的高 h=

6 2 2 4 +? ? =5. 2

1 1 ∴S 侧=2×( ×6×4 2+ ×8×5)=40+24 2. 2 2 16. 已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积. 解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3, ∴侧视图中 VA= 2 3 2 2 4 -? × ×2 3? 3 2

1 = 12=2 3,∴S△VBC= ×2 3×2 3=6. 2


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