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数学(文)答案2013年大连市高三双基测试


2013 年大连市高三双基测试

数学(文科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应

得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.A;2.B;3.C;4.B;5.A;6.B;7.D;8.C;9.B;10.C;11.A;12.D. 二、填空题 13. 24? ;14.242.8;15. 三.解答题 17.解: (Ⅰ)依题意得 sin 2 A ? sin 2 B = 2 sin Asin C ? sin 2 C , ···············2 分 ··········· ···· ·········· ····· 由正弦定理得: a ? b ?
2 2

x2 ? y 2 ? 1;16. 3n . 4

··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· 2ac ? c2 . ·······················4 分

∴ a ?c ?b ?
2 2 2

2ac .

由余弦定理知: cos B ?

? a 2 ? c 2 ? b2 2 ,∴ B ? . ··············· 分 ··········· ···· ·········· ···· 6 ? 4 2ac 2

(Ⅱ)∵ sin A ? 又B ?

3 2 ,∴ sin A ? ,∴ A ? B . ···················· 8 分 ··········· ········· ·········· ·········· 5 2

?
4

,∴ A ?

?
4

,∴ cos A ?

4 , ··········· ··········· ··· 分 ··········· ·········· ···· ························ 10 5

∴ cos C ? cos(

3? 3? 3? 2 ? A) ? cos cos A ? sin sin A ? ? . ·········· 12 分 ·········· ·········· 4 4 4 10

第 1 页 共 5 页

18.解: (Ⅰ)由频率分布表可知,样本容量为 n ,由

2 =0.04,得 n =50. ···· 2 分 n 25 y 14 ? 0.5 , y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ? ? ? 0.28 .······· 分 ∴x? ······· ······ 4 50 n 50

(Ⅱ)记样本中视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a, b, c ,在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e . 由题意, 5 人中随机抽取两人, 从 所有可能的结果有: a, b? , a, c? , a, d? , a, e? , ? ? ? ? ········7 ········ ?b, c? , ?b, d? , ?b, e? , ?c, d? , ?c, e? , ?d , e? ,共 10 种. ················· 分 设事件 A 表示“两人的视力差的绝对值低于 0.5”,则事件 A 包含的可能的结果有: ················ ················ ?a, b? , ?a, c? , ?b, c? , ?d , e? ,共 4 种. ································9 分 ∴ P( A) ?

4 2 2 ? .故两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 . ······· 12 分 ······· ······· 10 5 5
0 0

19.解:(Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ?ACB ? 90 ,∴ ?DAC ? 90 . ∵ PA ? 平面 ABCD , DA ? 平面ABCD ,∴ PA ? DA , 又 AC ? DA , AC I PA ? A , ∴ DA ? 平面 PAC . ·································6 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· · (Ⅱ)设 PD 的中点为 G ,在平面 PAD 内作 GH ? PA 于 H , 则 GH 平行且等于

1 AD . ······························· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 8 2

连接 FH ,则四边形 FCGH 为平行四边形, ∴ GC ∥ FH ,∵ FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ∴ CG ∥平面 PAE ,∴ G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE . ··········· 10 分 ··········· ·········· · 设 S 为 AD 的中点,连结 GS ,则 GS 平行且等于 ∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ GS ? 平面 ABCD ,

1 1 PA ? , 2 2

1 1 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· ? VA?CDG ? VG ? ACD ? SV ACD GS ? .······················· 12 分 3 12
20.解: (Ⅰ)函数

f ( x) ? ln x ? ax2 的定义域为 (0,??) ,

? f ?( x) ?

1 ? 2ax2 ? 1 ? 2ax ? , ··········· ··········· ····· 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 1 x x 2 ∴①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) ? ln x ? ax 的增区间为 (0,??) , ··· 分 ·· 3 ··
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2a 2a , 若 f ?( x) ? 0 有 x ? , 2a 2a 2a 2a 所以函数 f ( x) ? ln x ? ax2 的减区间为 ( ,??) ,增区间为 (0, ), 2a 2a 由①②得当 a ? 0 时,函数 f (x) 的增区间为 (0,??) ,当 a ? 0 时,函数 f (x) 的减区
②当 a ? 0 时,若 f ?( x) ? 0 有 0 ? x ?

2a 2a ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ,??) ,增区间为 (0, ) . ··········· ··········· ·· 6 分 2a 2a 1 ? x2 ? 4 证明(Ⅱ)当 a ? 时, f ?( x) ? , 8 4x ∴ x ? (0,2) 时函数 f (x) 是增函数, x ? (2,??) 时函数 f (x) 是减函数, ·······8 分 ······· ······· 1 ∴函数 f (x) 的最大值为 f (2) ? ln 2 ? , 2 1 ? f (1) ? ? , 8 4 在 (2,??) 取 x ? e ,
间为 (

e8 28 ? 4 ? ? ?28 ? f (1) , ··················· 10 分 计算得 f (e ) ? 4 ? ··········· ········ ·········· ········· 8 8
4

(也可以选取其它有效值) . ∴ f (e 4 ) ? f (1) ? f (2) , ? x ? (0,2) 时函数 f (x) 是增函数, x ? (2,??) 时函数 f (x) 是减函数, ∴存在 x0 ? (2, e 4 ) ,使 f ( x0 ) ? f (1) , ∴存在 x0 ? (2,??) ,使 f ( x0 ) ? f (1) . ······················· 12 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··
21.解(Ⅰ)设 A( x1 , y1 ) ,由对称性可得 B(? x1 ,? y1 )

将 A( x1 , y1 ) 带入椭圆可得

x12 y12 ? ? 1, a 2 b2
b 2 (1 ?

x12 ) 2 y1 ? y1 y12 a 2 ? ? b . ····· 分 ? ? 2 ? 2 直线 PA 和 PB 斜率乘积 ····· ···· 2 x1 ? a ? x1 ? a x1 ? a 2 x1 ? a 2 a2
由直线 PA 和 PB 斜率乘积为 ?

1 b2 1 c2 1 ,所以 2 ? ,所以 2 ? , 2 2 2 a a

所以椭圆 M 离心率为
2

2 . ··········· ··········· ········ 5 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 2
2 2

(Ⅱ)椭圆方程可化为 x ? 2 y ? a ,
第 3 页 共 5 页

联立 ?

?x 2 ? 2 y2 ? a 2 a2 k 2a 2 2 2 ,可得 x ? ,y ? ,············7 分 ··········· · ·········· ·· y ? kx 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?
2

设 O 为坐标原点,则 | OA | ?

a (1 ? k ) ,同理可得 | OC | 2 ? 1 ? 2k 2
2 2

a 2 (1 ?

1 ) k2 . 2 1? 2 k

1 a 2 (1 ? 2 ) a 2 (1 ? k 2 ) k 所以 | AC | ? ? 2 1 ? 2k 2 1? 2 k
2

3k 4 ? 6k 2 ? 3 ?a ? 4 ? a2 ? 2 2k ? 5k ? 2 2?
2

3 1 1 k2 ? 2 ? 2 k

4 ··········· ····· ·········· ······ ? a 2 . ················ 10 分 3

当且仅当 k ? ?1 时取等号,所以

4a 2 8 ? , 3 3

x2 ? y 2 ? 1. ··················· 12 分 即 a ? 2 ,所以椭圆 M 的方程为 ··········· ········ ·········· ········· 2
2

1 a 2 (1 ? 2 ) a 2 (1 ? k 2 ) k (另解:所以 | AC |2 ? ? 2 1 ? 2k 2 1? 2 k

? a2 ?

3(k 2 ? 1) 2 3(k 2 ? 1)2 4 ? a2 ? ? a2 ) 2 2 2 2 2k ? 1 ? k ? 2 2 3 (2k ? 1)(k ? 2) ( ) 2

22.解: (Ⅰ) 连结 OC ,因为 OA ? OB, CA ? CB ,则 OC ? AB . ··········· 2 分 ·········· ·········· 所以直线 AB 是⊙ O 的切线. ···························· 分 ··········· ·········· ······ 4 ·········· ··········· ······ (Ⅱ)因为 AB 是⊙ O 的切线,所以 ?BCD ? ?E ,又 ?B ? ?B , 所以△ BCD ∽△ BCE ,所以 所以

BC BE CE ? ? , BD BC CD

BE EC 2 ?( ) ,···································8 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· BD CD
第 4 页 共 5 页

1 BE ? 4 ,因为⊙ O 的半径为 3, ,所以 2 BD 所以 BD ? 2 ,所以 OA ? 5 . ··························· 10 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ 23.解: (Ⅰ)射线 l 的直角坐标方程: y ? x( x ? 0) ,
因为 tan ?CED ?

? 2 t, ?x ? ? 2 (t ? 0, t为参数 ) ·················2 分 则射线 l 的参数方程: ? ··········· ······ ·········· ······· 2 ?y ? t, ? 2 ? 曲线 C 的直角坐标系方程: y ? ( x ? 2) 2 . ·······················4 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··

? x ? 1, ? x ? 4, y ? x, 得? , 和? 2 ? y ? ( x ? 2) , ? y ? 1, ? y ? 4, ∴ A(1,1), B(4,4), ······································ 分 ··········· ·········· ··········· ····· 6 ·········· ··········· ··········· ····· 5 5 ∴线段 AB 的中点直角坐标为 ( , ), 2 2 5 2 ? ∴线段 AB 的中点极坐标为 ( ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· , ) . ·························· 10 分 2 4 5 ? ? ?t ? 4, t ? 2 ? 5 1 ? 24.解:∵ t ? [ ,3] ,∴ | t ? 1| ? | 2t ? 5 |? ?3t ? 6,1 ? t ? ,·············· 分 ··········· ··· ·········· ··· 4 2 2 ? ? t ? 4, t ? 1 ? ? 3 可得其最大值为 .··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 6 ·········· ··········· ··········· ·· 2 3 9 解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? ,当 x ? 2 可得 2 ? x ? ,当 1 ? x ? 2 可得恒成立, 2 4 3 3 9 当 x ? 1 可得 ? x ? 1 ,综上可得解集为 [ , ] . ··················· 分 ·················· 10 ·········· ········ 4 4 4
(Ⅱ)联立 ?

?

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