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复习


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一、绪论 1. 最优控制问题的提法 2. 最优控制与最优化方法的区别与联系 3. 最优控制问题的分类

制 ?集中参数系统的最优控 ? 制 ?分布参数系统的最优控 ?确定性最优控制 ? ?随机性最优控制

1

4. 求解最优控制问题的基本方法有 古典变分法、极小值原理、动态规划 变分法用于求解容许控制不受约束或受开集性约束 的最优控制问题,对于容许控制受闭集性约束的最优控 制问题可采用极小值原理和动态规划方法求解。 二、变分法及其在最优控制中的应用 1. 概念:泛函、泛函的变分、泛函的极值、变分问题、 变分法 2. 泛函变分的计算:
? J ? y ( x )? ?
? J ? y( x ) ? ??y( x )? ? ? 0 ??

2

3. 泛 函 极 值 的 必 要 条 件 ? : J ?0 4.求 泛 函 的 无 条 件 极 值 ? , x )dt 的 极 值 曲 线 求J ? ? F ( t , x x * ( t )的 必 要 条 件 :
t0 tf

d ( 1 ) 欧 拉 方 程 Fx ? Fx ? ? 0 dt ( 2)横 截 条 件 或 边 界 条 件 横截条件的一般形式:
T Fx ? ?x ( t ) t* f t0

? * , t ) * ? ?t f ? 0 ? F ( x* , x
tf

3

a ) t 0、t f 固 定 1 )x ( t 0 ) ? x0 , x t f自 由 时 ,Fx ? (t f ) ? 0 2) x ( t 0 )、x ( t f )都 自 由 时 ,Fx , Fx ? (t0 ) ? 0 ? (t f ) ? 0 3 )x ( t f ) ? x f , x t 0自 由 时 , Fx ? (t0 ) ? 0 4) x ( t 0 ) ? x 0 , x ( t f ) ? x f b ) x ( t 0 ) ? x0 , x ( t f ) ? ? ( t f ), t f 可 变 ?) ?F ? (?? ? x
T

Fx ?

?

tf

?0

4

c ) x ( t 0 ) ? x0 , x ( t f )、t f自 由 ?? ?F ? F x
T ? x

Fx ? (t f ) ? 0

tf

?0

d ) x ( t 0 ) ? x0 , x ( t f ) ? x f , t f自 由 ?? ?F ? F x
T ? x tf

?0

5

5.求 泛 函 的 条 件 极 值 (用 变 分 法 求 解 最 优 控 问 制题 ) 1 ) 前提条件 ?固 定 2 )t f ? , ?自 由 ?固 定 ? x ( t f ) ?自 由 ?受 等 式 约 束 ?

H ? L( x( t ), u( t ), t ) ? ?T ( t ) f ( x( t ), u( t ), t ) a )正 则 方 程 : ?? f x ?H ? ??? ?x ?H b )极 值 条 件 : =0 ?u

6

c )边 界 条 件 : 始端: x ( t 0 ) ? x0 ? ? ? ?固 定 , x(t f ) ? x f ? ? ? ?? ( x ( t f ),t f ) 末端: x ( t f )? 自 由 , ? ( t ) ? f ? ?x ( t f ) ? ? ? ?? ( x ( t f ),t f ) ?g T ( x ( t f ),t f ) ? 受g ( x ( t f ),t f ) ? 0约 束 , ? (t f ) ? + ? ? ?x ( t f ) ?x ( t f ) ? d )t f自 由 时 H (t f ) ? ? ?? ( x ( t f ),t f ) ?t f ??
T

?g ( x ( t f ),t f ) ?t f

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?连 续 极 小 值 原 理 三、极小值原理 ? ?离 散 极 小 值 原 理 H ? L( x ( t ), u( t ), t ) ? ?T ( t ) f ( x ( t ), u( t ), t ) a )正 则 方 程 : ?? f x ?H ?x b )极 值 条 件 :H ( x * ( t ), u* ( t ), ? ( t ), t ) ? m in H ( x * ( t ), u( t ), ? ( t ), t ) ??? ?
u ( t )?V

8

c )边 界 条 件 : 始端: x ( t 0 ) ? x0 ? 固 定 : x( t ) ? x f f ? ? ? ? ?? ( x ( t f ),t f ) ? ? 自 由: ? ( t f ) ? ?x ( t f ) ? ? 末端: x ( t f )? ? ? ?受g1 ( x( t f ),t f ) ? 0, g 2 ( x( t f ),t f ) ? 0约 束 : ? T T ? ? ( x ( t ) , t ) ? g ( x ( t ) , t ) ? g ( x ( t f ),t f ) f f 1 f f ? ? (t f ) ? + ?? 2 ? ? ?x ( t f ) ?x ( t f ) ?x ( t f ) ? T ? 其 中 ? ? 0 , ? g 2 ( x( t f ),t f ) ? 0 ?

9

d ) H (t ) ? H (t ) ? ? *
* f

?H ( x ( s ), ? ( s ), u( s ), s ) ds tf ?s 对定常问题, H不 显 含 t,则 上 式 变 为 H (t ) ? H (t * f )= 常 数
t

e)

t f未定时, H在 最 优 轨 线 末 端 的 取 值 H (t f ) ? ? ?? ( x( t f ),t f ) ?t f ??
T

?g1 ( x ( t f ),t f ) ?t f

-?

T

?g 2 ( x( t f ),t f ) ?t f

其 中? ? 0,? T g 2 ( x( t f ),t f ) ? 0 对定常问题, ?、g1、g 2均 不 显 含 t f, ? H ( t f ) ? 0, 而 此 时 H ( t ) ? H ( t f ), ? H ( t ) ? H ( t f )=0

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四、时间、燃料最优控 制 定理4.1~4.6 二次积分模型、无阻尼 振荡二阶系统的时间最 优控制 相平面分析法 二次积分模型的燃料最 优控制 时间燃料最优控制 五、动态规划 1.基本递推公式
u ( k )?V

J * ?x(k )? ? min L( x(k ), u (k ), k ) ? J * ?x(k ? 1)? k ? 0,1, ??, N ? 1 a. J * ?x( N )?的取法

?

?

b. 末态x( N )受约束x( N )=a或? ?x( N )? =0时,u * ( N ? 1)的确定

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c.

??? ? ?? 1) u( k )不 受 约 束 且 ? 可导,则 =0 ?u( k )
N

u ( k )?V

m in?? ? 运算:

?? 2 )u( k )受 约 束 或 ? 不可导、或 x ( k )受 约 束 , 则 要 作 数 值 算 计
J * ? x ( k )? ? m in L( x ( k ), u( k ), k ) ? J * ? x ( k ? 1)?
u ( k )?V k ?0

d. 性能指标 J ? ? L( x ( k ), u( k ), k ), 递 推 方 程 为

?

?

k ? 0,1, ?? , N e. 对 于 非 线 性 系 统 或 非 次 二型 性 能 指 标 或 控 制量 变与 状 态 变 量 受 约 束 的 最 优 控问 制题 , 可 采 用 表 格 式值 数计 算 法 。

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2. 连续动态规划 a. HJB方程要求J * ?x (t ),t ?对x (t )、t具有连续的偏导数 b. HJB方程给出最优解的充分 条件 c. HJB非线性偏微分方程求解 困难 d . HJB方程的解为u* ( x )形式,便于实现闭环控 制 六、线性二次型最优控 制问题 1.状态调节器 2.输出调节器 3.跟踪问题 4.离散状态调节器 5.按规定的衰减速度综合 最优反馈系统

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