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数学理卷·2014届河北省衡水中学高三上学期四调考试(2013.12)


河北省衡水中学 2013~2014 学年度上学期四调考试 高三年级数学(理科)试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知命

题 p : "x ? R, cos x ? 1, 则 A. ? p : $x ? R , cos x ? 1; C. ?p : "x ? R , cos x > 1; B. ? p : " x ? R , cos x ? 1; D. ? p : $ x ? R , cos x > 1; ) ( )

2.数列 {an } 中,若 a1 = 1, a n +1 = 2a n - 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an = ( A. 2 n - 3 B.

2n - 1

C. 3 - 2 n

D. 2

n -1

3.在 DABC 中,若 sin( A - B ) = 1 + 2 cos( B + C ) sin( A + C ) ,则 DABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.钝角三角形 B. 直角三角形 D.不含 60° 角的等腰三角形



4.已知 f ( x ) =| x + 2 | + | x - 4 | 的最小值是 n ,则二项式 ( x - ) n 展开式中 x 2 项的系数为( A. 15 B.

1 x



-15

C. 30

D. -30

5. 高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不 连排,则不同排法的种数是( A.1800 B.3600 ) C.4320 D.5040

6. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形, 则该几何体的侧面积是( A. 24p C. 18p ) B. 6p D. 12p
正视图 侧视图

俯视图

7. 6 张卡片上分别写有数字 1,1,2,3,4,5,从中取 4 张排成一排,可以组成不同的 4 位奇数的个数 为( ) A.180 B.126 C.93
第 1 页 共 11 页

D.60

8.已知 OA = 1, OB =

uuur

uuu r

3, ?AOB =

uuu uuu r r 5p , C 在∠AOB 外且 OB · OC = 0. 设实数 m , n 满足 点 6


uuu r uuur uuu r m OC = mOA + nOB 则 等于( , n
A.2
2 2

B. 3

C.-2

D.- 3 :Z§

9.能够把圆 O : x + y = 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和 谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是( .. A. f ( x) = 4 x + x
3



B. f ( x ) = 1n
x

5- x 5+ x
-x

C. f ( x ) = tan

x 2

D. f ( x ) = e + e

10. P 是双曲线 点

x2 y2 = 1( a > 0, b > 0) 左支上的一点, 其右焦点为 F ( c,0) , M 为线段 FP 的中点, 若 a 2 b2
c ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是 8
C. ( , ) ( )

且 M 到坐标原点的距离为 A. (1,8] 11.已知函数 f (x ) =

B. ? 1,

? 4ù è 3ú ?

4 5 3 3

D. ( 2,3]

x 3 mx 2 + (m + n )x + 1 + 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , x2 ? (1, + ? ) ,点 3 2

p (m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 y = log a ( x + 4)(a > 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范 围是( ) B. ( 1,3] C. 3, ) ( +? +? D. [3, )

1,3 A. ( )

若满足: f ( x ) 在 D 内是单调函数;②存在 [ a, b ] ? D (b > a ) ,使得 f ( x ) ① 12. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 在 [ a, b] 上 的 值 域 为 [ a, b] , 那 么 就 称 y = f ( x ) 是 定 义 域 为 D 的 “ 成 功 函 数 ”. 若 函 数

g ( x) = log a (a 2 x + t )(a > 0, a ? 1) 是定义域为 R 的“成功函数”,则 t 的取值范围为 ( )
1 A. (-?, ) 4 1 B. ( ,1) 4 1 C. (0, ) 4 1 D. (0, ] 4

Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置) 13.对一个各边不等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相 邻的边有相同的颜色,则不同的染色方法共有________种(用数字作答) .

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14.已知 ΔABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a = 1, 2cosC + c = 2b,则 ΔABC 的周长的取值范围是__________. 15.已知定义在 R 上的偶函数 y = f ( x) 满足: f ( x + 4) = f ( x ) + f (2) ,且当 x ? [0, 2] 时, y = f ( x) 单调递减,给出以下四个命题: ① f (2) = 0 ; ② x = -4 为函数 y = f ( x) 图像的一条对称轴;③函数 y = f ( x) 在 [8,10] 单调递增; D A D · O B C C

④若关于 x 的方程 f ( x ) = m 在 [ -6, -2] 上的两根 x1 , x2 ,则 x1 + x2 = -8 . 以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.

A B 16.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 _________ 三、解答题(本题 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 角 且满足 cos 2 A - cos 2 B = 2 cos? 17.在 DABC 中, A、B、C 所对的边为 a、b、c , (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b =

?p ? ?p ? - A ÷ cos? + A ÷ è6 ? è6 ?

1 3 且 b ? a ,求 a - c 的取值范围. 2

18、已知数列{an}满足: a1 = 20 , a2 = 7 (Ⅰ)求 a3 ,

, an + 2 - an = -2 (n ? N * )

a4 ,并求数列{an}通项公式;

(Ⅱ)记数列{an}前 2n 项和为 S 2n ,当 S 2n 取最大值时,求 n 的值.

19. 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AD ^ CD, AB / / CD , AB = AD = 点 M 在线段 EC 上且不与 E , C 重合。

1 CD = 2 , 2

(Ⅰ)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (Ⅱ)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 锥 M - BDE 的体积.

6 时,求三棱 6

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20、如图,已知抛物线 C : y 2 = 2 px 和⊙ M : ( x - 4) 2 + y 2 = 1 ,过抛物线 C 上一点

H ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心
点 M 到抛物线准线的距离为

17 . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率;

(Ⅲ)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

21. 设 f ( x) =

a + x ln x , x

g ( x) = x3 - x 2 - 3 .

(Ⅰ)当 a = 2 时,求曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线的方程; (Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) - g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ;

(Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

第 4 页 共 11 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定题目。如果多做,则按所做的第一个 题目计分。 22. 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD= AE=

1 AC 3

2 AB,BD,CE 相交于点 F. 3

(Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求 A,E,F,D 所在圆的半径.

23. 设 f ( x ) =| x - a |, a ? R. (Ⅰ)当 a = 5 ,解不等式 f ( x ) ? 3 ; (Ⅱ)当 a = 1 时,若 $ x ? R ,使得不等式 f ( x - 1) + f (2x ) ? 1 - 2m 成立,求实数 m 的取值范围.

24. 已知曲线 C 的极坐标方程是 r = 2 , 以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程为 í

ìx = 1 + t ? y = 2 + 3t

( t 为参数).

(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

ìx ' = x ? ( Ⅱ ) 设 曲 线 C 经 过 伸 缩 变 换 í ' 1 得 到 曲 线 C ? , 设 M ( x, y ) 为 曲 线 C ? 上 任 一 点 , 求 ?y = y 2 ?

x 2 - 3xy + 2 y 2 的最小值,并求相应点 M 的坐标。

第 5 页 共 11 页

2013~2014 学年度上学期四调考试
高三年级数学(理科)答案
一、选择题 1-5 DCBAB 6-10 DBADB 11-12 AC

11.试题分析: f ?( x) = x 2 + mx +

m+n = 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , 2

ìm + n > 0, ? ì f ?(0) > 0, ? x2 ? (1, + ? ) ,故有 í ?í 2 ? f ?(1) < 0 ?1 + m + m + n < 0, ? ? 2

ìm + n > 0, 即í 作出区域 D,如图阴影部分, ?3m + n + 2 < 0, 可得 log a (-1 + 4) > 1 ,∴1 < a < 3 ,故选 B. 12.试题分析:无论 0 < a < 1 ,还是 a > 1 ,都有 g ( x ) 是增函数, 故 g ( a ) = a ,

g ( b ) = b ,所以方程 g ( x ) = x 有两个根,
即a = a
x 2x

2 + t 有两个根,设 m = a x ,则直线 y = t 与函数 y = -m + m(m > 0) 有两个交点,

1 画出这两个图象可以看出 t 的取值范围是 (0, ) ,显然此时函数定义域为 R ,选 C. 4 二、填空题

13、30 三、解答题

14、 (2, 3]

15、①②④

16.

p 6

17、解: (1)由已知 cos 2 A - cos 2 B = 2 cos?

?p ? ?p ? - A ÷ cos? + A ÷ 得 è6 ? è6 ?

3 1 2 sin 2 B - 2 sin 2 A = 2? cos 2 A - sin 2 A ? ,----------4 分 ? ÷ è4 4 ?

化简得 sin B = (2)由正弦定理

p 2p 3 ,故 B = 或 .----------6 分 3 3 2

a c b = = = 2 ,得 a = 2 sin A, c = 2 sin C , sin A sin C sin B

3 1 ? 2p ? 3 故 a - c = 2 sin A - sin C = 2 sin A - sin ? - A ÷ = sin A cos A 2 2 è 3 ? 2
p? ? = 3 sin ? A - ÷ 6? è

----------8 分
第 6 页 共 11 页

因为 b ? a ,所以

p 2p p p p , ? A - < ,----------10 分 ? A< 3 3 6 6 2

? 1 p? é 3 ? 所以 a - c = 3 sin ? A - ÷ ? ê , 3 ÷ . ÷ 2 6? ? 2 è ?
18 解: (I)∵a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2 ∴a3=18,a4=5

----------12 分

由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2 为公差的等差数列 当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时, =21﹣n =9﹣n

∴an= ---------------------------------------------6 分 (II)s2n=a1+a2+…+a2n

=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+…+a2n)
=

=﹣2n2+29n
结合二次函数的性质可知,当 n=7 时最大----------------------------------12 分 19. 试题解析: (Ⅰ)以 DA、DC、DE 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 则 A(2, 0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 4, 0), E (0, 0, 2), M (0, 2,1)

uuuu r uuur \ BM = (-2, 0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC = (0, 4, 0)

uuuu uuur r uuuu uuur r Q BM × DC = 0 ,\ BM ^ DC 。即 BM / / 面ADEF --------------------4 分 uu r t (Ⅱ)依题意设 M (0, t , 2 - )(0 < t < 4) ,设面 BDM 的法向量 n1 = ( x, y , z ) 2 uuu r r uuuu r r t 则 DB × n = 2 x + 2 y = 0 , DM × n = ty + (2 - ) z = 0 2 uu r uu r 2t 令 y = -1 ,则 n1 = (1, -1, ) ,面 ABF 的法向量 n2 = (1, 0, 0). 4-t uu uu r r uu uu r r | n × n2 | 1 6 r r Q| cos < n1 , n2 >|= uu 1 uu = = ,解得 t = 2 ---------------------10 分 6 4+2 | n1 | × | n2 | 2+ (4 - t ) 2
\ M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S DDEM =

1 S DCDE = 2 , B 到面 DEM 的距离 h = 2 2

第 7 页 共 11 页

1 4 \VM - BDE = × S DDEM × h = ------------------------------------------12 分 3 3 p 17 20、解(1)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 + , = 2 4 1 ∴ p = ,即抛物线 C 的方程为 y 2 = x .----------------------------------------------2 分 2
(2)法一:∵当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H ( 4,2) ,∴ k HE = - k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y 2 ) , ∴

y H - y1 y - y2 , =- H xH - x1 x H - x2



y H - y1 y - y2 , =- H 2 2 2 2 y H - y1 y H - y2

∴ y1 + y2 = -2 y H = -4 .

k EF =

1 1 y2 - y1 y 2 - y1 = 2 = = - .---------------------------6 分 2 4 x2 - x1 y 2 - y1 y 2 + y1
3 ,k HB = - 3 ,

法二:∵当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H ( 4,2) ,∴ ?AHB = 60 o ,可得 k HA =

∴直线 HA 的方程为 y = 联立方程组 í

3x - 4 3 + 2 ,

ì y = 3x - 4 3 + 2 ?
3 3

y =x
2

,得 3 y 2 - y - 4 3 + 2 = 0 ,

∵ yE + 2 =

∴ yE =

3-6 13 - 4 3 . , xE = 3 3

同理可得 y F =

1 - 3-6 13 + 4 3 , xF = ,∴ k EF = - .---------------------------6 分 4 3 3

(3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA =

4 - x1 y1 ,∴ k HA = , x1 - 4 y1

可得,直线 HA 的方程为 (4 - x1 ) x - y1 y + 4 x1 - 15 = 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 - x 2 ) x - y 2 y + 4 x 2 - 15 = 0 , ∴ ( 4 - x1 ) y 0 - y1 y 0 + 4 x1 - 15 = 0 , ( 4 - x 2 ) y 0 - y 2 y 0 + 4 x 2 - 15 = 0 ,
2 2 ∴直线 AB 的方程为 (4 - y 0 ) x - y0 y + 4 y0 - 15 = 0 ,

2

2

令 x = 0 ,可得 t = 4 y 0 -

15 ( y 0 ? 1) , y0
∴ t min = -11 .------------------------------12 分

∵ t 关于 y0 的函数在 [1, +? ) 单调递增,

法二:设点 H ( m 2 , m )( m ? 1) , HM 2 = m 4 - 7 m 2 + 16 , HA 2 = m 4 - 7 m 2 + 15 .

第 8 页 共 11 页

以 H 为圆心, H A 为半径的圆方程为 ( x - m 2 ) 2 + ( y - m ) 2 = m 4 - 7 m 2 + 15 , ................ ① ⊙ M 方程: ( x - 4) 2 + y 2 = 1 .............................................................................................. ② ①-②得: 直线 A B 的方程为 (2 x - m 2 - 4)(4 - m 2 ) - (2 y - m ) m = m 4 - 7 m 2 + 14 . 当 x = 0 时,直线 A B 在 y 轴上的截距 t = 4m ∵ t 关于 m 的函数在 [1, +? ) 单调递增,
21. 【答案】(1)当 a = 2 时, f ( x) =

15 ( m ? 1) , m

∴ t min = -11 . ------------------------12 分

2 2 + x ln x , f '( x) = - 2 + ln x + 1 , f (1) = 2 , f '(1) = -1 , x x
LLLL
2分

所以曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线方程为 y = - x + 3 ; (2)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) - g ( x2 ) ? M 成立
2

等价于: [ g ( x1 ) - g ( x2 )]max ? M ,

3 2 考察 g ( x) = x - x - 3 , g '( x) = 3x - 2 x = 3x( x - ) ,

2 3

x

0

2 (0, ) 3
递减

2 3
0
极小值 -

2 ( , 2] 3
+

2

g '( x) g ( x)

0 -3

85 27

递增

1

由上表可知: g ( x) min = g ( ) = -

2 3

85 , g ( x)max = g (2) = 1 , 27 112 , 27
LLLL 7 分

[ g ( x1 ) - g ( x2 )]max = g ( x)max - g ( x)min =
所以满足条件的最大整数 M = 4 ; (3)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) =

1 2

a + x ln x ? 1 恒成立等价于 a ? x - x 2 ln x 恒成立, x

第 9 页 共 11 页

22. 【答案】(Ⅰ)证明:∵AE= AB,

∴BE= AB,

∵在正△ABC 中,AD= AC, ∴AD=BE, 又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC, 即∠ADF+∠AEF=π,所以 A,E,F,D 四点共圆. ---------------------------5 分 (Ⅱ)解:如图, 取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=GE= AE, ∵AE= AB, ∴AG=GE= AB= , ∵AD= AC= ,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形, ∴GD=AG=AD= ,即 GA=GE=GD= , 所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 由于 A,E,F,D 四点共圆,即 A,E,F,D 四点共圆 G,其半径为 . -------------------10 分 23. (I) a = 5 时原不等式等价于 x - 5 ? 3 即 -3 ? x - 5 ? 3, 2 ? x ? 8 , 所以解集为 x 2 ? x ? 8 .---------------5 分

{

}

1 ì ? -3x + 3( x ? 2 ) ? 1 ? (II)当 a = 1 时, f ( x ) =| x - 1 | ,令 g ( x) = f ( x - 1) + f (2 x) = x - 2 + 2 x - 1 = í x + 1( < x < 2) , 2 ? ? 3x - 3( x ? 2) ? ?
由图像知:当 x =

1 3 3 时, g ( x ) 取得最小值 ,由题意知: ? 1 - 2m , 2 2 2
第 10 页 共 11 页

所以实数 m 的取值范围为 m ? -

1 .-------------------10 分 4

24. 试题解析: (1) 3 x - y - 3 + 2 = 0

x 2 + y 2 = 4 ------------------------ 4 分
(2) C ' :

x2 + y2 = 1 4

设 M 为: x = 2 cos q , y = sin q

x 2 - 3 xy + 2 y 2 = 3 + 2 cos( 2q +
所以当 M 为( 1,

p ) 3

---------------- 7 分

3 3 )或 ( -1,) 2 2
----------------10 分

x 2 - 3 xy + 2 y 2 的最小值为 1

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