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2015-2016高中数学 1.6 微积分基本定理课时作业 新人教A版选修2-2


课时作业(十二)
1.?π (cosx+1)dx 等于(

微积分基本定理

A 组 基础巩固

?0

)

A.1 B.0 C.π +1 D.π π 解析:?π (cosx+1)dx=(sinx+x)|0 =sinπ +π -0=π .

?0

r />
答案:D
? ?x ,x≥0, 2.设 f(x)=? x ?2 ,x<0, ?
2

则?1-1f(x)dx 的值是(

?

)

A. ?1 x2dx

?-1 ?-1 ?-1
0

B. ?1 2 dx

x

C. ?0 x2dx+?12xdx

?0 ?0

D. ? 2 dx+?1x dx

x

2

?-1

解析:?1 f(x)dx=?0 2 dx+?1x dx.

x

2

?-1

?-1

?0

答案:D 1? ? 3.若?a?2x+ ?dx=3+ln2,则 a 的值是( x? ? ?
1

)

A.6 B.4 C.3 D.2
1? ? 2 a 解析:?a?2x+ ?dx=(x +lnx)|1 x ? ??
1

=(a +lna)-(1+ln1) 2 =(a -1)+lna =3+ln2. a -1=3, ? ? ∴?a>1, ? ?a=2,
2

2

∴a=2.

答案:D m 4.若函数 f(x)=x +nx 的导函数是 f′(x)=2x+1,则?2f(-x)dx=(

?1

)

5 1 B. 6 2 2 1 C. D. 3 6 m 解析:∵f(x)=x +nx 的导函数是 f′(x)=2x+1, 2 ∴f(x)=x +x, 2 2 ∴? f(-x)dx=?2(x -x)dx

A.

?1

?1

?1 3 1 2? 2 5 =? x - x ?|1= . 2 ? 6 ?3
-1-

答案:A

5.若 f(x)= 则 f(2 012)等于( ) A.1 B.2 4 5 C. D. 3 3 解析:当 x>0 时,f(x)=f(x-4),即 f(x+4)=f(x),所以 f(x)的周期为 4,所以 f(2 0 1 1? π ? 4 0 012)=f(0)=2 + sin3x| ? =1+ ?sin -0?= .故选 C. 2 3 3? ? 3
6

答案:C 2 6.已知?2f(x)dx=?19x dx,则?2[f(x)+6]dx=(

?0

?0

?0

)

A.9 B.12 C.15 D.18
解析:根据定积分的性质,得?2[f(x)+6]dx=

?0

? f(x)dx+? 6dx. ?0 ?0
∵?2f(x)dx=?19x dx=3x |0=3,
2 3 1

2

2

?0 ?0

?0

∴? [f(x)+6]dx=3+6×2=15. 答案:C 7.已知 t>0,若?t(2x-2)dx=3,则 t=__________.

2

?0
2

解析:由题意知 t -2t=3,解得 t=-1 或 3,又 t>0,所以 t=3. 答案:3 ? π? 8.已知 α ∈?0, ?,则当?α (cosx- 3sinx)dx 取得最大值时,α =__________. 2? ? ?
0

解 析 : ? (cosx -

α

?0

3 sinx)dx = (sinx +

3 cosx) | 0 = sinα + 3 cosα -

α

3=

π? π ? ? π? α 2sin?α + ?- 3, 由 α ∈?0, ?知当 α = 时, ? (cosx- 3sinx)dx 取得最大值 2- 3. 3? 2? 6 ? ? ?
0

π 答案: 6 2 9.已知 t>1,若?t(2x+1)dx=t ,则 t=________.

?1

解析:? (2x+1)dx=(x +x)1=t +t-2,从而 t +t-2=t ,解得 t=2.

t

2

t

2

2

2

?1

答案:2 2 10.已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2,求 a、

?0

b、c 的值. 解析:由 f(-1)=2 得 a-b+c=2,① 又 f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 2 而?1f(x)dx=?1(ax +bx+c)dx

?0

?0

-2-

?1 3 1 2 ? 1 =? ax + bx +cx?|0 2 ?3 ? 1 1 = a+ b+c, 3 2 1 1 ∴ a+ b+c=-2,③ 3 2 由①②③式得 a=6,b=0,c=-4.
B 组 能力提升

? ?π ?? 11.已知函数 f(a)=?asinxdx,则 f?f? ??=( ? ? 2 ?? ?
0

)

A.1 B.1-cos1 C.0 D.cos1-1
π? π π ?π ? ? 解析:∵f? ?=∫ 0sinxdx=-cosx| 0=?-cos ?-(-cos0)=1, 2? 2 2 ?2? ? ? ?π ?? 1 ∴f?f? ??=f(1)=?1sinxdx=-cosx|0=1-cos1. ? ? 2 ?? ?
0

答案:B 2 12.?3|x -4|dx=(

?0

)

21 3 23 C. 3

A.

22 3 25 D. 3

B.

?x -4(2≤x≤3), ? 解析:∵|x -4|=? 2 ?4-x (0≤x≤2), ?
2

2

∴?3|x -4|dx=?3(x -4)dx+?2(4-x )dx=?
2 2 2

?0

?2

?0

? ?

1 3 ? ? x -4x? ??3 2+?4x- 3 ?? ?

1 3??2 x ?0= 3 ? ??

?(9-12)-?8-8??+??8-8?-0?=-3-8+8+8-8=23. ? ?3 ?? ?? 3? ? 3 3 3 ? ? ?? ?? ? ?
答案:C 2 2 13.求函数 f(a)=?1(6x +4ax+a )dx 的最小值.

?0

解析:∵? (6x +4ax+a )dx=(2x +2ax +a x)|0=2+2a+a ,即 f(a)=a +2a+2=(a

1

2

2

3

2

2

1

2

2

?0

+1) +1,∴当 a=-1 时,f(a)有最小值 1. 14.计算定积分?3 |2x+3|+|3-2x|)dx.

2

?-3

3 解析:方法一:令 2x+3=0,解得 x=- ; 2 3 令 3-2x=0,解得 x= . 2
3

3 3 ? ? ? (|2x+3|+|3-2x|)dx=? 2 (-2x-3+3-2x)dx+ 2 (2x+3+3-2x)dx+ ? ?-3 ?-3 ?? 3 2

-3-

? (2x+3-3+2x)dx ? 3 ?2
3 3 3 =? (-4x)dx+? 2 6dx+? 4xdx ?2 ?3 ? ?-3 ? 3 ?? 2 2 3 3 ? 3 2 2 2 2 x x 3 =-4· | ?3 +6x| ? 3 +4· | 2 2 2 2
=45.

3

? ? 3 3 方法二:设 f(x)=|2x+3|+|3-2x|=?6,- ≤x≤ , 2 2 3 ? ?4x,2<x≤3.
分等于阴影部分面积,

3 -4x,-3≤x<- , 2 如图,所求积

1 3 即?3 (|2x+3|+|3-2x|)dx=S=2× ×(6+12)× +3×6=45. 2 2 ?
-3

15.(1)已知 f(x)是一次函数,其图象过点(1,4),且?1f(x)dx=1,求 f(x)的解析式;

?0

(2)设 f(x)=ax+b,且?

1

?-1

[f(x)] dx=1,求 f(a)的取值范围.

2

解析:(1)设 f(x)=kx+b(k≠0),因为函数的图象过点(1,4),所以 k+b=4.① ?k 2 ? 1 k 又?1f(x)dx=?1(kx+b)dx=? x +bx?|0= +b, 2 2 ? ? ? ?
0 0

k 所以 +b=1.② 2 由①②得 k=6,b=-2,所以 f(x)=6x-2. 2 (2)由?1 [f(x)] dx=1 可知,

?-1

-4-

2 1 1-1(a2x2+2abx+b2)dx ? (ax+b) dx=? ? ?-1 2 2 ? 1 ?a 3 =? x +abx +b x?|-1=1, ?3 ? 2

2 2 ≤b≤ . 2 2 3 ? 1?2 19 2 2 于是 f(a)=a +b=-3b +b+ =-3?b- ? + , 2 ? 6? 12 即 2a +6b =3 且-
2 2

所以-

2 19 ≤f(a)≤ . 2 12

-5-


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