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§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形(2015届高三数学复习)


数学

川(理)

§4.6 正弦定理、余弦定理及 解三角形
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.正弦、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理
2 2 a2= b +c -2bccos A ;
2 2 c + a -2cacos B ; b= 2 2 c2= a +b -2abcos C
2

内容

b c a = sin B = sin C sin A
=2 R

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基础知识·自主学习
要点梳理
(1)a=2Rsin A,b= 2Rsin B , c= 2Rsin C ; b b2+c2-a2 a (2)sin A= ,sin B= 2R , 2R cos A= ; 2bc (3)a∶b∶c = sin A∶sin B∶sin C ; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A

知识回顾 理清教材

c 变形 sin C= 2R ;

c2+a2-b2 cos B= ; 2ac a2+b2-c2 2ab cos C=

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1 1 1 abc 1 2.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是 2 2 2 4R 2 三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r.

3.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b 解的 个数 一解 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角或直角

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基础知识·自主学习
要点梳理
4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目 标视线在水平视线 上方 叫仰角,目标视线在水平视线 下方 叫 俯角(如图①).
知识回顾 理清教材

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(3)方位角 指从正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方 位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) √ (4) × (5) ×

解析

D
B
C

30 2

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( )

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( D. 2
思想方法 练出高分

)

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( )

(1)由 sin C=2 3sin B 利用正 弦定理得 b、c 的关系,再利用 余弦定理求 A.
(2)要求 sin B+sin C 的最大值, 显然要将角 B,C 统一成一个 角,故需先求角 A,而题目给 出了边角之间的关系,可对其 进行化边处理,然后结合余弦 定理求角 A.
思想方法 练出高分

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( D. 2 )

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题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( )

(1)∵sin C=2 3sin B,由正弦定

理得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° ∴cos A= = 2bc 2bc - 3bc+2 3bc (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 3 = = , 2bc 2 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= 又 A 为三角形的内角, ∴A=30° . (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin
B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( D. 2
思想方法 练出高分

)

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( )

(2)已知 2asin A=(2b+c)sin B+ (2c+b)sin C,

根据正弦定理, 得 2a2=(2b+c)b +(2c+b)c,

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( D. 2 )

即 a2=b2+c2+bc. 由 余 弦 定 理 得 a2 = b2 + c2 -
2bccos A,
1 故 cos A=-2, 又 A 为三角形的 内角,∴A=120° .
思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( )
故 sin B+sin C=sin B+sin(60° 3 1 -B)= cos B+ sin B=sin(60° 2 2 +B),

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( D. 2 )

故当 B=30° 时,sin B+sin C 取 得最大值 1.

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( A )
故 sin B+sin C=sin B+sin(60° 3 1 -B)= cos B+ sin B=sin(60° 2 2 +B),

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( B ) D. 2

故当 B=30° 时, sin B+sin C 取 得最大值 1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( A )

(1)在解有关三角形的题目时,要 有意识地考虑用哪个定理更适合, 或是两个定理都要用, 要抓住能够 利用某个定理的信息, 一般地, 如 果式子中含有角的余弦或边的二 次式, 要考虑用余弦定理; 如果遇 到的式子中含有角的正弦或边的 一次式时, 则考虑用正弦定理; 以 上特征都不明显时, 则要考虑两个 定理都有可能用到.
思想方法 练出高分

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( B ) D. 2

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( A )
(2) 解题中注意三角形内角和定 理的应用及角的范围限制.

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 A.0 B. 1 1 C. 2 ( B ) D. 2

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于 7 7 7 A. B.- C.± 25 25 25 ( 24 D. 25 )

(2)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1,b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________. b c 解析 (1)由正弦定理sin B=sin C, 8 5b b 将 8b=5c 及 C=2B 代入得sin B=sin 2B, 8 5 1 4 化简得 = ,则 cos B= , sin B 2sin Bcos B 5 42 7 2 所以 cos C=cos 2B=2cos B-1=2×(5) -1=25,故选 A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于 7 7 7 A. B.- C.± 25 25 25 ( A ) 24 D. 25

(2)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a

π =1,b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________ . 6
π (2)∵A+C=2B 且 A+B+C=π,∴B= . 3

asin B 1 由正弦定理知:sin A= b =2,
π 又 a<b,∴A<B,∴A=6.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个 内角 A, B, C 的对边, acos C + 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2, △ABC 的面积为 3,求 b,c.

基础知识

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练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个 内角 A, B, C 的对边, acos C + 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2, △ABC 的面积为 3,求 b,c.

利用正弦定理将边转化为 角,再利用和差公式可求 出 A;面积公式和余弦定 理相结合,可求出 b,c.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个 内角 A, B, C 的对边, acos C + 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2, △ABC 的面积为 3,求 b,c.

(1)由 acos C+ 3asin C-b -c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C -sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,
所以 3sin Asin C-cos Asin C -sin C=0.
由于 sin C≠0, 所以
? π? ? ? 1 sin?A-6?= . ? ? 2

π 又 0<A<π,故 A=3.
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题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个 内角 A, B, C 的对边, acos C + 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2, △ABC 的面积为 3,求 b,c.

(2)△ABC 的面积 S= 1 bcsin A= 3,故 bc=4. 2

而 a2=b2+c2-2bccos A, 故 b2+c2=8.

解得 b=c=2.

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题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个 内角 A, B, C 的对边, acos C + 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2, △ABC 的面积为 3,求 b,c.

有关三角形面积问题的求 解方法: (1)灵活运用正、 余弦定理实 现边角转化. (2)合理运用三角函数公式,
如同角三角函数的基本关 系、二倍角公式等.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. π 解 (1)∵c=2,C=3, ∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4.
1 又∵△ABC 的面积为 3,∴2absin C= 3,ab=4. 2 2 ? a + b -ab=4, ? 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ?ab=4, ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A, 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· (sin A-sin B)=0,
∴cos A=0 或 sin A-sin B=0, 当 cos A=0 时,∵0<A<π, π ∴A=2,△ABC 为直角三角形; 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.
由正弦定理得 a=b,

即△ABC 为等腰三角形.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处 获悉后,立即测出该渔轮在方位角 为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小 岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处 获悉后,立即测出该渔轮在方位角 为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小 岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间.
基础知识 题型分类

本题中所涉及的路程在不 断变化,但舰艇和渔轮相遇 时所用时间相等,先设出所 用时间 t,找出等量关系, 然后解三角形.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处 获悉后,立即测出该渔轮在方位角 为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小 岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间.
基础知识 题型分类

如图所示,根据题 意可知 AC = 10 , ∠ACB = 120° ,设 舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h, 并在 B 处与渔轮相遇,则 AB= 21t,BC=9t,在△ABC 中,根 据余弦定理得 AB2=AC2+BC2 -2AC· BC· cos 120° ,

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处 获悉后,立即测出该渔轮在方位角 为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小 岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间.
基础知识 题型分类

212t2 = 102 + 92t2 + 1 2×10×9t× ,即 360t2 - 90t - 2 2 5 100=0,解得 t= 或 t=- (舍 3 12 所 以 去).所以舰艇靠近渔轮所需的时 2 间为 h.此时 AB=14,BC=6. 3 在 △ABC 中,根据正弦定理得 BC AB = , sin∠CAB sin 120° 3 6× 2 3 3 所以 sin∠CAB= 14 = 14 ,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处 获悉后,立即测出该渔轮在方位角 为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小 岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间.
基础知识 题型分类

即∠CAB≈21.8° 或∠CAB≈ 158.2° (舍去).
即 舰 艇 航 行 的 方 位 角 为 45° + 21.8° =66.8° .

所以舰艇以 66.8° 的方位角航行, 2 需 h 才能靠近渔轮. 3

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处 获悉后,立即测出该渔轮在方位角 为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小 岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间.
基础知识 题型分类

求解测量问题的关键是把测量 目标纳入到一个可解三角形中, 三角形可解,则至少要知道这个 三角形的一条边长.解题中注意 各个角的含义,根据这些角把需 要的三角形的内角表示出来,注 意不要把角的含义弄错,不要把 这些角与要求解的三角形的内 角之间的关系弄错.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶 上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15° ,如图所示, 向山顶前进 100 m 后,又从 B 点测得斜度为 45° ,设 建筑物的高为 50 m.求此山对于地平面的斜度 θ 的 余弦值.
解 在△ABC 中,∠BAC=15° ,∠CBA=180° -45° =135° , AB=100 m, 所以∠ACB=30° . 100 BC 100sin 15° 由正弦定理,得sin 30° =sin 15° ,即 BC= sin 30° . 100sin 15° 在△BCD 中,因为 CD=50,BC= sin 30° ,∠CBD=45° ,
∠CDB=90° +θ,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶 上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15° ,如图所示, 向山顶前进 100 m 后,又从 B 点测得斜度为 45° ,设 建筑物的高为 50 m.求此山对于地平面的斜度 θ 的 余弦值.

100sin 15° sin 30° 50 由正弦定理,得 = , sin 45° sin?90° +θ?
解得 cos θ= 3-1.

因此,山对地面的斜度的余弦值为 3-1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
审 易题 错路 分线 析图 规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补 情形;

(2)代数运算中两边同除一个可能为 0 的式子,导致漏解;
(3)结论表述不规范.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

解 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],
∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. 方法一 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sin A· sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B.
基础知识 题型分类 思想方法
4分

8分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, π ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B=2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.

12分

方法二 由正弦定理、余弦定理得: 2 2 2 2 2 2 b + c - a a + c - b a2b =b2a , 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

即 a=b 或 a2+b2=c2.

∴△ABC 为等腰或直角三角形.

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变 为只含边或只含角的式子然后判断; 注意不要轻易两边同除以 一个式子. (2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一, 并注重挖掘隐 含条件.另外,在变形过程中要注意角 A,B,C 的范围对三 角函数值的影响.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
A 1.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π,2 B C π + 2 + 2 =2中互补和互余的情况,结合诱导公式 可以减少角的种数.
2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、 余弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin B· sin C· cos A,可以进行化简或证明.

方 法 与 技 巧

3.合理利用换元法、代入法解决实际问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的

失 误 与 防 范

对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时, 有时可能出现一解、两解,所以要进行分类讨论.

2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角 和定理对角的范围的限制.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.在△ABC,已知∠A=45° ,AB= 2,BC=2,则∠C 等于 A.30° B.60° C.120° ( A ) D.30° 或 150°

AB BC 2 2 解析 在△ABC 中,sin C=sin A,∴sin C=sin 45° , 1 ∴sin C=2,又 AB<BC,∴∠C<∠A,故∠C=30° .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

c 2.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若b <cos A,则△ABC 为 A.钝角三角形 C.锐角三角形 ( A ) B.直角三角形 D.等边三角形

sin C 解析 依题意得sin B<cos A,sin C<sin Bcos A, 所以 sin(A+B)<sin Bcos A, 即 sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A<0, 所以 cos Bsin A<0. 又 sin A>0,于是有 cos B<0,B 为钝角,△ABC 是 钝角三角形.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.(2012· 湖南)△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于 3 A. 2 3+ 6 C. 2 ( B ) 3 3 B. 2 3+ 39 D. 4

解析 设 AB=a,则由 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B 知 7=a2+4-2a,即 a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).
3 3 3 ∴BC 边上的高为 AB· sin B=3× = . 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.(2013· 辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 1 c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b, 且 a>b, 则∠B 等于( A ) 2 π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 a c 1 解析 由条件得 sin Bcos C+ sin Bcos A= , b b 2 1 依正弦定理,得 sin Acos C+sin Ccos A= , 2

1 1 ∴sin(A+C)= ,从而 sin B= , 2 2 π 又 a>b,且 B∈(0,π),因此 B= . 6
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 b2 7 =c(b+2c), 若 a= 6, cos A= , 则△ABC 的面积等于( C ) 8 15 A. 17 B. 15 C. D. 3 2
解析 ∵b2=c(b+2c),∴b2-bc-2c2=0,

即(b+c)· (b-2c)=0,∴b=2c.
b2+c2-a2 7 又 a= 6,cos A= = ,解得 c=2,b=4. 2bc 8
1 1 ∴S△ABC= bcsin A= ×4×2× 2 2
基础知识 题型分类

72 15 1-? ? = . 8 2
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.(2013· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别 为 a , b , c. 若 b + c = 2a,3sin A = 5sin B ,则角 C =
2π ________. 3

解析 由已知条件和正弦定理得:3a=5b,且 b+c =2a, 5b 7b 则 a= 3 ,c=2a-b= 3 , a2+b2-c2 1 2π cos C= 2ab =-2,又 0<C<π,因此角 C= 3 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 2 10 7. 在△ABC 中, 若 b=5, ∠B= , tan A=2, 则 a=______. 4 解析 由 tan A=2 得 sin A=2cos A. 2 5 2 2 又 sin A+cos A=1 得 sin A= 5 . π ∵b=5,∠B=4, a b 根据正弦定理,有sin A=sin B,
bsin A 2 5 ∴a= sin B = =2 10. 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 点 A 的同侧的河岸边选定一点 C,测出 AC 的 距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° ,则

50 2 m . A,B 两点的距离为________

AB AC 解析 由正弦定理得 =sin B, sin∠ACB
2 AC· sin∠ACB 50× 2 所以 AB= = 1 =50 2. sin B 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9. (2013· 北京)在△ABC 中, a=3, b=2 6, ∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.

解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理 a b 3 2 6 2 6 = ? = = , sin A sin B sin A sin 2A 2sin Acos A
6 ∴cos A= 3 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9. (2013· 北京)在△ABC 中, a=3, b=2 6, ∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. (2)由余弦定理, a2=b2+c2-2bccos A?32=(2 6)2 6 2 +c -2×2 6c× 3 2 则 c -8c+15=0. ∴c=5 或 c=3. 当 c=3 时,a=c,∴A=C. π 由 A+B+C=π,知 B=2,与 a2+c2≠b2 矛盾. ∴c=3 舍去.故 c 的值为 5.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.(2013· 江西)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解析 (1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B- 3sin Acos B=0 即有 sin Asin B- 3sin Acos B=0, 因为 sin A≠0,所以 sin B- 3cos B=0, 即 3cos B=sin B. 因为 0<B<π, 所以 sin B>0,所以 cos B>0, π 所以 tan B= 3, 即 B=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.(2013· 江西)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. (2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 1 因为 a+c=1,cos B=2,
所以 b =(a+c) -3ac≥(a+c)
2 2 2

1 又 a+c>b,∴b<1,∴ ≤b<1. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

1 ∴b≥ . 2

?a+c? 1 ? ?2 1 2 -3? ? =4(a+c) =4, 2 ? ?

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, b 2 asin Asin B+bcos A= 2a,则a等于 ( D ) A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2

解析 ∵asin Asin B+bcos2A= 2a,
∴sin Asin Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,
b sin B ∴sin B= 2sin A,∴a=sin A= 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变, 将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为 A.1 C.2cos 10° 解析 如图,∠ABC=20° , AB=1,∠ADC=10° , ∴∠ABD=160° . D.cos 20° ( C ) B.2sin 10°

AD AB 在△ABD 中,由正弦定理得sin 160° =sin 10° , sin 160° sin 20° ∴AD=AB· = = 2cos 10° . sin 10° sin 10°
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3. (2013· 浙江)在△ABC 中, ∠C=90° , M 是 BC 的中点. 若 1 sin∠BAM= ,则 sin∠BAC=________. 3
1 2 2 解析 因为 sin∠BAM= , 所以 cos∠BAM= . 3 3 BM 如图, 在△ABM 中, 利用正弦定理, 得 sin∠BAM AM BM sin∠BAM 1 1 = ,所以 = = = . sin B AM sin B 3sin B 3cos∠BAC CM 在 Rt△ACM 中 , 有 = sin∠CAM = sin(∠BAC - AM
∠BAM).由题意知 BM=CM,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3. (2013· 浙江)在△ABC 中, ∠C=90° , M 是 BC 的中点. 若 6 1 sin∠BAM= ,则 sin∠BAC=________. 3 3
1 所以 =sin(∠BAC-∠BAM). 3cos∠BAC 化简,得 2 2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1.
2 2tan∠BAC-1 所以 =1,解得 tan∠BAC= 2. 2 tan ∠BAC+1

再结合 sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,∠BAC 为锐角可解 6 得 sin∠BAC= . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.(2012· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. ?π ? ?π ? π 已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
?π ? ?π ? (1)证明 由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理, ? ? ? ? ?π ? ?π ? 得 sin Bsin?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A, ? ? ? ?

sin

? B? ? ?

? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? -sin C? sin B+ cos B?= 2 , 2 sin C+ 2 cos C? 2 ? ? 2 ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.(2012· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. ?π ? ?π ? π 已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1.
3 π 由于 0<B,C<4π,从而 B-C=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.(2012· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. ?π ? ?π ? π 已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 3π 5π π (2)解 B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π 由 a= 2,A=4, asin B 5π asin C π 得 b= sin A =2sin 8 ,c= sin A =2sin 8, 1 5π π 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin 2 8 8 π π 1 = 2cos 8sin 8=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b = 3,且函数 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3在 x=A 处取得 最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积.
解析 (1)因为 A,B,C 成等差数列,

所以 2B=A+C,又 A+B+C=π, π 2π 所以 B= ,即 A+C= . 3 3 因为 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3
= 3(2sin x-1)+sin 2x=sin 2x- 3cos
基础知识 题型分类
2

? π? 2x=2sin?2x-3?, ? ?

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b = 3,且函数 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3在 x=A 处取得 最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积.
2π 所以 T= =π. 2 ? π? 又因为 sin?2x-3?∈[ -1,1] , ? ?

所以 f(x)的值域为[ -2,2] .
(2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b = 3,且函数 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3在 x=A 处取得 最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积.
所以
? π? sin?2A-3 ?=1. ? ?

2 π π 因为 0<A< π,所以- <2A- <π, 3 3 3 π π 5 π 故当 2A- = 时,f(x)取到最大值,所以 A= π,所以 C= . 3 2 12 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b = 3,且函数 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3在 x=A 处取得 最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积.

由正弦定理,知 = ?c= 2. π π sin sin 3 4
又因为 sin
?π π ? A=sin?4+6?= ? ?

3

c

2+ 6 , 4

3+ 3 1 所以 S△ABC= bcsin A= . 2 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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