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高中数学人教版A选修2-1教学设计《命题及其关系》学案2


2010 届高三数学一轮复习强化训练精品――命题及其关 系、充分条件与必要条件

基础自测
1.(2009· 成化高级中学高三期中考试)若命题 “对 ? x ? R, x +4cx+1>0”是真命题, 则实数 c 的取值范围是
2

.

答案

1 1 (? , ) 2 2

/>
2.(2008·湖北理,2)若非空集合 A、B、C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则下列说法中正确的是 序号) ? ? ? ①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件? ② “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件? ③ “x∈C”是“x∈A”的充要条件? ④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案?②? 3.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,则 s 是 p 的逆命题 t 的 答案 答案 否
2 2

.(填

命题. 条件.

4.(2008·浙江理,3)已知 a,b 都是实数,那么“a >b ”是“a>b”的 既不充分也不必要 5.设集合 A、B,有下列四个命题:?

①AB ? 对任意 x∈A 都有 x ? B;?②AB ? A∩B= ? ;③AB ? BA;?④AB ? 存在 x∈A,使得 x ? B. 其中真命题的序号是 答案 ④? .(把符合要求的命题序号都填上)?

例1

把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.?

(1)正三角形的三内角相等;? (2)全等三角形的面积相等;? (3)已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.? 解 (1)原命题即是“若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等”.? 逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是正三角形(或写成:三个内角相等的三角形是正三角 形).? 否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等.? 逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形(或写成:三个内角不全相等的三 角形不是正三角形).? (2)原命题即是“若两个三角形全等,则它们的面积相等.”? 逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成:面积相等的三角形全等).? 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成:不全等的三角形面积不相等).? 逆否命题:若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等.? (3)原命题即是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d”.其中“已知 a,b,c,d 是实数”是大前提, “a

与 b,c 与 d 都相等”是条件 p, “a+c=b+d”是结论 q,所以? 逆命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c=b+d,则 a 与 b,c 与 d 都相等.? 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a 与 b,c 与 d 不都相等,则 a+c≠b+d.? 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a 与 b,c 与 d 不都相等.? 例 2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分也 不必要条件”中选出一种作答).? (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;? (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6;? (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p: (x-1) +(y-2) =0,q: (x-1) (y-2)=0.??? 解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B ? sinA=sinB,反之,若 sinA=sinB,因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三个内 角和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件.? (2)易知:
2 2

? p:x+y=8, ? q:x=2

且 y=6,显然 ? q ? ? p.但 ? p

? q,即 ? q

是 ? p 的充分不必要条件,根据

原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.? (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件.? (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,所以 p ? q 但 q p,故 p 是 q 的充分不必要条件.? 例 3(14 分)已知 ab≠0,? 求证:a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.? 证明(必要性)? ∵a+b=1,∴a+b-1=0, ∴a +b +ab-a -b =(a+b) (a -ab+b )-(a -ab+b ) =(a+b-1) (a -ab+b )=0. (充分性)? ∵a +b +ab-a -b =0,? 即(a+b-1) (a -ab+b )=0, 又 ab≠0,∴a≠0 且 b≠0,?
b 3 2 2 2 ∴a -ab+b =(a- ) 2 ? b >0,? 2 4
2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2

2 分? 5 分? 7 分?

9 分?

∴a+b-1=0,即 a+b=1, 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是? a +b +ab-a -b =0.
3 3 2 2

12 分 14 分

1.写出下列命题的否命题,并判断原命题及否命题的真假:? (1)如果一个三角形的三条边都相等,那么这个三角形的三个角都相等;? (2)矩形的对角线互相平分且相等;? (3)相似三角形一定是全等三角形.? 解 (1)否命题是: “如果一个三角形的三条边不都相等,那么这个三角形的三个角也不都相等”.? 原命题为真命题,否命题也为真命题.? (2)否命题是: “如果四边形不是矩形,那么对角线不互相平分或不相等”? 原命题是真命题,否命题是假命题.? (3)否命题是: “不相似的三角形一定不是全等三角形”.? 原命题是假命题,否命题是真命题.

2.( 2008·湖南理,2) “|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的 答案?必要不充分

条件.

3.证明一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.? 证明 充分性:若 ac<0,则 b2-4ac>0,且

c a

<0,?

∴方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负根.? 必要性:若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根,则Δ=b2-4ac>0,x1x2= 综上所述,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.
c <0,∴ac<0.? a

一、填空题 1.下列命题:①5>4 或 4>5;②9≥3;③命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题;④命题“矩形的两条对角线相 等”的逆命题.其中假命题的个数为 答案 答案 答案 1 条件. 充分不必要
2

.

2.(2008·重庆理,2)设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 3. “x>1”是“x >x”的 充分不必要 条件.

4.(2009·成化高级中学高三期中考试)已知函数 f(x)=ax+b(0≤x≤1),则“a+2b>0”是“f(x)>0”恒成立的 条件.(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要” 、 “既不充分也不必要”之一) 答案 必要不充分

5.在△ABC 中, “sin2A= 答案 必要不充分性

3 ”是“A=30°”的 2
2

条件.

6.(2008·安徽理,7)a<0 方程 ax +2x+1=0 至少有一个负数根的 答案 充分不必要

条件.

7.设集合 A= ?x || x |? 4?, B ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , 则集合 ?x | x ? A且x ? A ? B? = 答案

?

?

.

?x | 1 ? x ? 3?

8.设 A= ( x, y) | x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , B ? ?( x, y ) | x ? y ? m ? 0?, 则使 A ? B 成立的实数 m 的取值范围是 答案 二、解答题 9. 求关于 x 的方程 x -mx+3m-2=0 的两根均大于 1 的充要条件.? 解 设方程的两根分别为 x1、x2,则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是?
2

?

?

.

m?

2 ?1

?? ? m 2 ? 4(3m ? 2) ? 0, ?? ? m 2 ? 12m ? 8 ? 0, ? ? ? ? ?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0, ?即 ?( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 0, ? ? x x ? ( x ? x ) ? 1 ? 0. (x ? 1)(x2 ? 1) ? 0, 1 2 ? ? ? 1 ? 1 2

? ? m ? 6 ? 2 7 或m ? 6 ? 2 7 , ? 又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,?∴ ?m ? 2, 故所求的充要条件为 m≥6+2 7 . ? 1 ?m ? . 2 ?

10. 已知 x,y∈R.? 求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0.? 证明(充分性)? 若 xy≥0,则 x,y 至少有一个为 0 或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.? (必要性)?若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y) =(|x|+|y|) ,? x +2xy+y =x +2|xy|+y ,? ∴xy=|xy|,∴xy≥0.?综上,命题得证. 11. a,b,c 为实数, 且 a=b+c+1.证明: 两个一元二次方程 x +x+b=0,x +ax+c=0 中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根,则?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?Δ1=1-4b≤0,Δ2=a -4c≤0,?∴Δ1+Δ2=1-4b+a -4c≤0.? ∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.?∴1-4(a-1)+a ≤0,? 即 a -4a+5≤0.?但是 a -4a+5=(a-2) +1>0,故矛盾.? 所以假设不成立,原命题正确,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 12.设 ? 、 ? 是方程 x -ax+b=0 的两个根,试分析 a>2 且 b>1 是两根 ? 、 ? 均大于 1 的什么条件??
2 2 2 2



令 p:a>2,且 b>1;q: ? >1,且 ? >1,易知 ? + ? =a, ? ? =b.?

?? ? ? ? 2 ①若 a>2,且 b>1,即 ? 不能推出 ? >1 且 ? >1.? , ??? ? 1
1 ? ?? ? 6 ?? ? ? ? 6 ? 可举反例:若 ? 2 ,则? 1 所以由 p 推不出 q ? ??? ? 3 ?? ? 2 , ? ?

②若 ? >1,且 ? >1,则 ? + ? >1+1=2, ? ? >1.所以由 q 可推出 p.综合知 p 是 q 的必要不充分条件,也即 a>2, 且 b>1 是两根 ? 、 ? 均大于 1 的必要不充分条件.


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