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四川省成都市第七中学2015届高三理科数学上期半期考试试题答案


成都七中高 2015 届高三上学期期中数学考试题(理科)
满分 150 分,考试时间 120 分钟 出题人:江海兵 审题人:廖学军 一、选择题,本大题有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题有一个正确选项,请将正 确选项涂在答题卷上. 1 1. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 3, b ? 2.cos( A ?

B ) ? ,则 c ? ( ) 3

A. 4
答案: D

B.

15

C. 3

D.

17

1 1 解析: cos C ? ? , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 9 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2(? ) ? 17 3 3 2. 《张丘建算经》卷上第 22 题为:今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多 织相同量的布,若第 1 天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计)共织 390 尺布,则每天比前一天 多织________尺布。 (不作近似计算) ( ) 1 8 16 16 A. B. C. D. 2 15 29 31 答案:C 解析:由题可知,是等差数列,首项是 5,公差为 d ,前 30 项和为 390.根据等差数列前 n 项和公 30 ? 29 16 d ,解得 d ? 式,有 390 ? 30 ? 5 ? . 29 2 1 3.若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2) 在 (?1,??) 上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2
A.[?1, ??) B.(?1, ??) C.(??, ?1)

D.(??, ?1]

答案:D 解析:由题意可知 f ?( x) ? ? x ?
b ? 0 ,在 x ? (?1, ??) 上恒成立, x?2

即 b ? x( x ? 2) 在 x ? (?1, ??) 上恒成立, 要使 b ? x( x ? 2) ,需 b ? ?1

f ( x) ? x( x ? 2) ? x2 ? 2x 且 x ? (?1, ??) ? f ( x) ? ?1 ?

故答案为 b ? ?1 ,选 D

4.已知平面 ? , ? 和直线 m ,给出条件:① m / /? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? / / ? 能推导出 m / / ? 的是( )

D. ③⑤ A. ①④ B. ①⑤ C. ②⑤ 答案: D 解析:由两平面平行的性质可知两平面平行,在一个平面内直线必平行于另一个平面

5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 , n ? N * ,则 a2015 等于( 3an ? 1

)

A. 0

B. ? 3

C.

3

D.

3 2
1

答案:B 解析: 根据题意, 由于数列{an}满足 a1=0, an+1=

an ? 3 3an ? 1

, 那么可知∴a1=0, a2=- 3 , a3= 3 ,

a4=0,a5=- 3 ,a6= 3 ?,故可知数列的周期为 3,那么可知 a2015 ? a2 ? ? 3 ,选 B. 6.在 ?ABC 中,若 a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边,且 cos 2B ? cos B ? cos( A ? C) ? 1 ,则有 ( )

A . a, c, b 成等比数列
C . a, b, c 成等差数列

B . a, c, b 成等差数列
D . a , b, c 成等比数列

答案:D 解析:由 cos 2B ? cos B ? cos( A ? C ) ? 1 变形得: cos B ? cos( A ? C ) ? 1 ? cos 2B ,

cos B ? cos ?? ? ( A ? C)? ? ? cos( A ? C),cos 2B ? 1 ? 2sin 2 B ,
∴上式化简得: cos( A ? C) ? cos( A ? C) ? 2sin B2 ,? 2sin A sin C ? 2sin 2 B , 即 sin A sin C ? sin 2 B ,由正弦定理 a : sin A ? b : sin B ? c : sin C 得: ac ? b2 ,则 a, b, c 成等比数 列. 故选 D

MD 3 3 7.设 M 是 ?ABC 所在平面上的一点,且 MB ? MA ? MC ? 0, D 是 AC 中点,则 的值为 2 2 BM
( )

A.

1 3

B.

1 2

C. 1

D. 2

答案: A

MD 1 3 3 解析: D 为 AC 中点,? MB ? ? ( MA ? MC ) ? ? ? 2 MD ? ?3MD ? ? 2 2 MB 3
8.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax 2 ? A. ?1 或 ? 答案:A 解 析 : 由 y ? x3 求 导 得 y ' ? 3x2 设 曲 线 y ? x3 上 的 任 意 一 点 ( x0 , x03 ) 处 的 切 线 方 程 为
25 64 15 x ? 9 都相切,则 a ? 4 7 D. ? 或 7 4

(

)

B. ?1 或

21 4

7 25 C. ? 或 ? 4 64

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 ) ,将点 ?1,0 ? 代入方程得 x0 ? 0 或 x0 ?
(1)当 x0 ? 0 时:切线为 y ? 0 ,所以 ax 2 ?

3 . 2

15 25 x ? 9 ? 0 仅有一解,得 a ? ? 4 64
2

27 27 ? y ? x ? ? 3 27 27 4 ? 4 4 x? (2)当 x0 ? 时:切线为 y ? ,由 ? 得 ax 2 ? 3 x ? ? 0 仅有一解,得 2 4 4 9 ? y ? ax 2 ? 15 x ? 9 ? ? 4
a ? ?1 .
25 . 64

综上知 a ? ?1 或 a ? ?

? x ? y ?1 ? 0 9.已知 x , y 满足约束条件 ? ,当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在约束条件下取到 2 x ? y ? 3 ? 0 ?
最小值 2 5 时, a 2 ? b 2 的最小值为( )

A. 1
答案:D

B. 2

C. 3

D. 4

10.我们把具有以下性质的函数 f ( x) 称为“好函数”:对于在 f ( x) 定义域内的任意三个数
a, b, c ,若这三个数能作为三角形的三边长,则 f (a), f (b), f (c) 也能作为三角形的三边长.现

有如下一些函数: ① f ( x) ? x ③ f ( x) ? e x , x ? (0,1)
1 ② f ( x) ? 1 ? x, x ? (0, ) 2

④ f ( x) ? sin x , x ? (0, ? ) .

其中是“好函数”的序号有( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④ 答案:B 解 析 :①任给三角形,设它的三边长分别为 a,b,c,则 a+b>c,不妨假设 a≤c,b≤c,由 于

a ? b ? a ?b ? c ? 0

,















.②



a ? b ? c, 则1 ? a ? 1 ? b ? 1 ? c,?(1 ? b ? 1 ? c) ? (1 ? a) ? 1 ? (b ? c) ? a ? 0, 所以②为好函数.
③设 a ? b ? c, 则ea ? eb ? ec , ? (ea ? eb ) ? ec ? 2 ea ? eb ? ec ? 2e
a ?b 2

? ec ? 2e 2 ? ec ? ec (2 ? ec )

c

因为 c ? (0,1) ,所以 2 ? ec ? 0,?(ea ? eb ) ? ec ? 0 ,所以③为好函数.
5? 9999? 999? 5? 2? ,c ? ,sin ? sin ? sin 显然不是好函数. 3 6 10000 1000 6 3 二、填空题,本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填在答题卷上. 1 11. 已知指数函数 y ? f ( x) ,对数函数 y ? g ( x) 和幂函数 y ? h( x) 的图像都过 P( , 2) ,如果 2

④不是好函数.如 a ?

?

,b ?

,那么 x1 ? x2 ? x3 ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? h( x 3 )? 4 答案:
3 2
3

1 1 1 1 解析:令 f ( x) ? a , g ( x) ? logb x, h( x) ? x 则 f ( ) ? a 2 ? 2, g ( ) ? log b ? ? log b 2 ? 2 , 2 2 2

x

c

1 1 3 2 1 1 h( ) ? ( ) c ? 2 ? a ? 4, b ? , c ? ?1? f ( x1 ) ? 4 x1 ? 4 ? x1 ? 1, x2 ? , x3 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? 2 2 2 2 4 4

12.已知 a ? 6, b ? 6 2, 若ta ? b与ta ? b 的夹角为钝角,则t的取值范围为 答 案 : (? 2,0) (0, 2) 解析:

ta ? b与ta ? b 的夹角为钝角,
2 2

? (ta ? b)( ? ta ? b) ? 0,?t 2 a ? b ? 0,?36t 2 ? 72 ? 0,?? 2 ? t ? 2 ,

又 因 为 ta ? b 与 ta ? b 不 共 线 , 所 以 t ? 0 , 所 以 t ? (? 2,0) (0, 2) 13.定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 满足 f (3) ? 0 ,且不等式 f ( x) ? ? xf ?( x) 在 (0, ??) 上恒成立, 则函数 g ( x) ? xf ( x) ? lg x ?1 的零点个数为 答案: 3 解析:
? f ( x) ? ? x f? ( x)? x ) ? 0 ? x f( 在 x ) (0, ??) 单 增 , 又 ? x f( ?

令 g () xf ( x) 为偶函数且有一个零点为 3, x0 ? 得 xf ( x) ? ? lg x ?1 , 如图可知 g ( x) 有 3 个零点 14. 已 知 命 题 p : 函 数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 在 [?1,1] 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 . 命 题 q :

1 3 x2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题,实数 a 的取值范围 2 2
是 答案: a ? ? .
5 2 提示:先确定 p 且 q 为真命题的 a 的取值范围,然后取补集可得结果.

1 1? ? 15.给出定义:若 x ? ? m ? , m ? ? , (m ? Z ) ,则 m 叫做实数 x 的“亲密函数” ,记作 ?x? ? m , 2 2? ?

在此基础上给出下列函数 f ( x) ? x ? ? x? 的四个命题: ①函数 y ? f ( x) 在 x ? (0,1) 上是增函数;②函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; ③函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?
k (k ? Z ) 对称; 2
4

④当 x ? ? 0, 2? 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个零点. 其中正确命题的序号是 答案:②③④
? 1 1? ? 1 3? 解析: x ? ? ? , ? 时, f ( x ) ? x ? ? x? ? x ? 0 ,当 x ? ? , ? 时, f ( x) ? x ?1 ? 2 2? ? 2 2? ? 3 5? 当 x ? ? , ? 时, f ( x) ? x ? 2 ,作出函数的图像可知①错,②,③对,再作出 y ? ln x 的图像 ? 2 2?

可判断有两个交点,④对 三、解答题,本大题共 6 个小题,共 75 分,请将答案及过程写在答题卷上. ? 16.(12 分)已知函数 f ( x) ? 3 cos 4 x ? 2 cos 2 (2 x ? ) ? 1 4
? ? ?? (1)求 f ( x) 得最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的取值范围. ? 6 4?

? ? ? 解析: (1) f ( x) ? 3 cos 4 x ? cos(4 x ? ) ? 3 cos 4 x ? sin 4 x ? 2sin(4 x ? ),?T ? 2 3 3
(2) ?

?
6

?x?

?
4

,??

?
3

? 4x ?

?
3

?

4? 3 ? ? ,?? ? sin(4 x ? ) ? 1 ? f ( x) 的取值范围为 ? ? ? 3, 2 ? 3 2 3

17. (12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ?

2n ?1 an (n ? N *) . an ? 2 n

? 2n ? (Ⅰ)证明数列 ? ? 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; ? an ?

(Ⅲ)设 bn ? n(n ? 1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 解析:(Ⅰ)由已知可得
? 2n ? ? an ?
an ?1 an ? n ?1 2 an ? 2 n

,所以

2n ?1 2n 2 n ?1 2 n ? ? 1, ? ? 1 ,即 an ?1 an an ?1 an

∴数列 ? ? 是公差为 1 的等差数列.
2n 2 2n ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ an ? .. an a1 n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,bn ? n ? 2n ,所以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? n ? 2n ,2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? n ? 2n?1 , 相减得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ,∴ Sn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 18.(12 分) ?ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 AC 的长为 3(百米) ,底 AB 的长为 4 (百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF (宽度不计) ,将该空地分成一个四边形和一 个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为 S1 和 S2 .
5

(1)若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; (2)若小路的端点 E , F 两点分别在两腰上,求
S1 得最小值. S2

3 3 3 ? 3 ? ? 4 ,? F 不在 BC 上,故 F 在 AB 上,可 解: (1) E 为 AC 中点,? AE ? EC ? , 2 2 2 7 得 AF ? , 2

在 ?ABC 中, cos A ?

2 15 30 ,在 ?AEF 中, EF 2 ? AE 2 ? AF 2 ? 2 AE ? AF cos A ? ,? EF ? 3 2 2

(2)若小路的端点 E , F 两点分别在两腰上,如图所示,设 CE ? x, CF ? y ,则 x ? y ? 5
S1 S ?ABC ? S ?CEF S ?ABC ? ? S2 S ?CEF S ?CEF 1 CA ? CB sin C 9 9 11 ?1 ? 2 ?1 ? ?1 ? ?1 ? 2 1 xy 25 ? x? y? CE ? CF sin C E ? ? 2 ? 2 ?
A C

F B

当且仅当 x ? y ?

5 11 S 时取等号,故 1 的最小值为 . 2 25 S2

19.(12 分)如图分别是正三棱台 ABC ? A1B1C1 的直观图和正视图, O, O1 分别是上下底面的中 心, E 是 BC 中点.

1 (1)求正三棱台 ABC ? A1B1C1 的体积;(注:棱台体积公式:V ? ( S上 ? S上 ? S下 ? S下 )h ,其 3

中 S上 为棱台上底面面积, S下 为棱台下底面面积, h 为棱台高) (2)求平面 EA1B1 与平面 A1B1C1 的夹角的余弦; (3) 若 P 是棱 AC 1 1 上一点,求 CP ? PB 1 的最小值. 解析: (1)由题意 AC ? 2 3, A1C1 ? 4 3 ,正三棱台高为 3

S ?ABC ? 3 3, S ?A1B1C1 ? 12 3,VABC? A1B1C1 ? 21
(2)设 O, O1 分别是上下底面的中心, E 是 BC 中点, F 是 B1C1 中点.以 O1 为原点,过 O1 平

6

行 B1C1 的线为 x 轴建立空间直角坐标系 O1 ? xyz . C1 (?2 3,2,0) , C(? 3,1, 3) , E(0,1, 3) ,

A1 (0,?4,0) , B1 (2 3,2,0) , A1 E ? (0,1, 3) , A1 B1 ? (2 3,6,0) ,
? ? ?n ? A1 E ? 0 ?5 y ? 3 z ? 0 设平面 EA1 B1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ? 即? ? ?n ? A1 B1 ? 0 ? ? 3x ? 3 y ? 0

取 n ? (?3, 3,?5) ,取平面 A1 B1C1 的一个法向 量 m ? (0,0,1) ,设所求角为 ? 则 cos? ?

m?n m?n

?

5 37 37

( 3 ) 将 梯 形 A1 ACC1 绕 A1C1 旋 转 到 A1 A' C ' C1 , 使 其 与 ?A1 B1C1 成 平 角
cos ?C ' C1 A1 ? cos ?CC1 A1 ? C1C ? C1 A1 C1C ? C1 A1 ? 21 2 7 , sin ?CC1 A1 ? 7 7

? cos?CC1 B1 ? cos(?CC1 A1 ?

?
3

)??

21 14

?C 'C1 B1中, C 'C1 ? 3, C1 B1 ? 4 3 ,

由余弦定理得? C ' B1 ? 67

即 CP ? PB1 的最小值为 67

1 20.(13 分)已知函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ? f ?( x) ? sin x ,其中函数 g ( x) 在 ??1,1? 上是减函数. 2

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 g ( x) ? ? ? 3sin1 在 x ???1,1? 上恒成立,求 ? 得取值范围.
?1 ? (3)关于 x 的方程 ln f ( x ? 1) ? 2 x ? m , x ? ? ? 1.e ? 1? 有两个实根,求 m 的取值范围. ?e ?

解析: (1)

f ( x) ? x2 ,? f ?( x) ? 2x, f ?(1) ? 2 ,? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,

即 2x ? y ?1 ? 0 (2) g ( x) ? ? x ? sin x,? g ?( x) ? ? ? cos x, g ( x) 在 ??1,1? 上单减? g ?( x) ? 0 在 ??1,1? 上恒成立,
? ? ? ?1 , 即 ? ? ? cos x 在 ??1,1? 上恒成立, 又
g ( x) 在 ??1,1? 单减, ?? g ( x)?max ? g(?1) ? ?? sin1

g ( x) ? ? ? 3sin1 在 x ???1,1? 上恒成立,? 只需 ?? ? sin1 ? ? ? 3sin1 恒成立,? ? ? ?2sin1

sin 30 ? sin1,1 ? 2sin1,??2sin1 ? ? ? ?1
(3)由(1)知 f (1 ? x) ? (1? x )2 ?方程为 ln(1? x )2 ? 2x ? m ,设 h( x) ? ln(1? x )2 ? 2x ? m ,则

7

方程 ln(1 ? x)2 ? 2x ? m 根的个数即为函数 h( x) 图像与 x 轴交点的个数.
h?( x) ? 2 ?2 x ?2 ? ,当 x ? (?1, 0) 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 (?1, 0) 上为增函数, 1? x 1? x

当 x ? (??, ?1) (0, ??) 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 x ? (??, ?1)和(0, ??) 都是减函数.
? 1 ? ? h( x ) 在 ? , 0 ? 上为减函数,在 ? 0, e ?1? 上为减函数. ? e ?1 ?
1 2 ? 1 ? ? h( x ) 在 ? , e ? 1? 上的最大值为 h(0) ? m ,又 h( ? 1) ? m ? , h(e ? 1) ? m ? 4 ? 2e e e ? e ?1 ?

? 1 ?h( e ? 1) ? 0 ? 2 2 ? 2? 且 2e ? 4 ? , ? m ? ? 0, ? ? 所求方程有两根需满足 ? h(0) ? 0 ? 0 ? m ? 时原方程有两根, e e ? e? ? h(e ? 1) ? 0 ? ?

21.(14 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像的一个对称中心为
( , 0) ,将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,在将所得图 4

?

像向右平移

?

2

个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式;

? ? (2)是否存在 x0 ? ( , ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在, 6 4
请确定 x0 的个数;若不存在,说明理由. (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点. 解: (Ⅰ )由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2

? 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( , 0) , ? ? (0, ? ) 4 ? ? ? 故 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? 0 ,得 ? ? ,所以 f ( x) ? cos 2 x 2 4 4
将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图象, 再将 y ? cos x 的图象向右平移

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x

? ? 1 1 2 (Ⅱ )当 x ? ( , ) 时, ? sin x ? , 0 ? cos 2 x ? 所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x 6 4 2 2 2

8

? ? 问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( , ) 内是否有解 6 4 ? ? 设 G( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2cos 2 x , x ? ( , ) 则 6 4 G?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x)
? ? ? ? ? 1 ? 2 因为 x ? ( , ) , 所以 G?( x) ? 0 ,G ( x) 在 ( , ) 内单调递增,又 G ( ) ? ? ? 0 ,G ( ) ? ?0 6 4 6 4 6 4 4 2

? ? 且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( , ) 内存在唯一零点 x0 ,即存在唯一的 6 4 ? ? x0 ? ( , ) 满足题意 6 4
(Ⅲ )依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x) ? 0 的解,所以 方程 F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ? 解的情况,令 h( x) ? ?
cos 2 x , x ? k? (k ? Z ) 现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程 sin x

cos 2 x ,x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 sin x

x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况 h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 2 2 sin x

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

x
h?( x) h( x )

(0, ) 2

?

?
2 0

( ,? ) 2

?

(? ,

?
Z

?

?
]

3? ) 2

1

]

3? 2 0 ?1

(

3? , 2? ) 2

?
Z

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? ,当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? ,当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数个交 点,从而不存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交点;当
a ? ?1 时, 2013 ? 3 ? 671 , 直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内有 3 个交点, 由周期性,

所以 n ? 671? 2 ? 1342
9

综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点.

10


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