当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(解答)


2008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(解答)
本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟 题号 得分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 题号 答案 1.已知集合 M ? {a, b, ?(a ? b)}, a ? R, b ? R, ,集合 P ? {1, 0, ?1} ,映射 f : x ? x 表示 把集合 M 中的元素

x 映射到集合 P 中仍为 x ,则以 a , b 为坐标的点组成的集合 S 有元素 ( C )个 A.2 B.4 C.6 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 一 二 三 15 16 17 总分

【分析】显然 M ? P ,∴ ? 有 6 个元素,选 C。

? a ? 1 ?a ? ?1 ? a ? 1 ?a ? 0 ? a ? 0 ?a ? ?1 有 6 组解, S ,? ,? ,? ,? ,? b ? 0 ? b ? 0 ?b ? ?1 ? b ? 1 ?b ? ?1 ? b ? 1 ?
??? ? ???? ? 2 ??? BC ,则 5

2.设 D 为△ ABC 的边 AB 的中点, P 为△ ABC 内一点,且满足, AP ? AD ?

S△APD ? S△ABC
3 A. 5

( C )

C E B

2 1 3 B. C. D. 5 5 10 P ??? ??? 2 ??? ???? 2 ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? DP ? BE ? BC ∴ AD ? BC ? AD ? DP ? AP 【分析】如图 A 5 5 D 1 ? AD ? DP sin ?ABC S 1 四边形 DPEB 为平行四边形, △APD ? 2 ? ,选 C。 S△ABC 1 ? AB ? BC sin ?ADP 5 2
过一分钟到达 C 点,测得 ?AOB ? 90 , ?BOC ? 30 ,则 tan ?OAB ?
0 0

3.在点 O 处测得远处质点 P 作匀速直线运动,开始位置在 A 点,一分钟后到达 B 点,再 ( B )

A
A.

D P O B C

3 2

B.

3 2

C.

2 3 3

D.

2 3

【分析】如图延长 OB 到 D,使得 BD=OB,则四边形 OADC 为平行四边形

∴ ?ODC ? ?AOB ? 90 ,又 ?BOC ? 30 ,则 OB ?
0 0

1 3 3 OD ? DC ? OA , 2 2 2

tan ?OAB ?
4.已知当 x ? 条对称轴为 A. x ? ?

OB 3 ,选 B。 ? OA 2

?
6

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,则函数 y ? a sin x ? cos x 图象的一 ( A ) B. x ?

?
3

?
3

C. x ? ?

?
6

D. x ?

?
6

【分析】∵当 x ?

?
6

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,∴

1 3 ? a ? a2 ? 1 2 2
3
是它的一条对称轴, A。 选

解得:a ? 3 , y ? a sin x ? cos x ? 2sin( x ? ∴

?
6

) ,∴ x ? ?

?

5.已知 ? 是函数 f ( x) ? x loga x ? 2008,(a ? 1) 的一个零点, ? 是函数

g ( x) ? xa x ? 2008 的一个零点,则 ?? 的值为
A.1 B.2008 C. 2008
2

( B ) D.4016

【分析】如图: ? 是曲线 y ? 坐标, ? 是曲线 y ?

2008 与曲线 y ? log a x 交点 A 的横 x

2008 x 与曲线 y ? a 交点 B 的横坐标, x
x

∵函数 y ? log a x 与 y ? a 互为反函数,∴A 与 B 关于直线 y=x 对称 即 ? 为点 A 的纵坐标,∴ ?? ? 2008 ,选 B 6. 函数 f ( x ) 的定义域为 D, 若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数, ②存在 [m, n] ? D, 使 f ( x ) 在 [m, n] 上的值域为 [ m,

1 2

1 n] , 那么就称 y ? f ( x) 为 “好函数” 现有 f ( x) ? loga (a x ? k ), 。 2
( C )

(a ? 0, a ? 1) 是“好函数” k 的取值范围是 ,则
A. (0, ??) B. (??, )
x

1 4

C. (0, )

1 4

D. (0, ]

1 4

【分析】因为函数 f ( x) ? loga (a ? k ),(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内为增函数,则若函数

y ? f ( x) 为“好函数” ,方程 f ( x ) ?

1 1 x 必有两个不同实数根,∵ log a (a x ? k ) ? x 2 2

x x 1 ? a x ? k ? a 2 ? a x ? a 2 ? k ? 0 ,∴方程 t 2 ? t ? k ? 0 有两个不同的正数根, k ? (0, ) 4

选 C。 7.如图,一个棱长为 a 的立方体内有 1 个大球和 8 个小球,大球与立方体的六个面都相切, 每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱 锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余 ( D ) A.

(6 ? 3 3) a 2

B. (6 ? 3 3)a

C.

5 3 ?8 a 2

D. (5 3 ? 8)a D
A F E O1 C O2

H

【分析】大球的半径为

a ,设小球的半径 r ,则 2 3 ?1 2? 3 2 3r ? 2r ? a ? 3a ? r ? a? a 2 2( 3 ? 1)

O3 G B

3a ? 4r ? a 3 3 ? 5 ? a 2 2 9?5 3 设 AC ? x ,利用等积法求得 x ? 3 AF ? a ,所以 CH ? a ? 2 AF ? (5 3 ? 8)a 2
设小球切截面 CDE 于 F,则 AF ? 选 D。 8.若 4 ? 4
27 1000

? 4n 为完全平方数,则正整数 n 满足
B. n ? 1972 C. n ? 1973





A. n ? 1972

D. n ? 1970 , n ? 1972 即

5 2 9 ? 4 【分析】 427 ? 41000 ? 4n ? 254 (1 ? 2 ? 21945 ? 22n?54 ) , 2n ?4 ? 15 ∵ 当
时,上式为完全平方数。

当 n ? 1972 时, (2n?27 )2 ? 1 ? 2 ? 21945 ? 22n?54 ? 1 ? 2 ? 2n?27 ? 22( n?27) ? (2n?27 ? 1)2 , 有 所 以上式不可能为完全平方数。选 B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9.已知向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0, (a ? b) ? c, a ? b ,若 a ? 1 ,则 得分 评卷人

? ? b ? c ? ?1 .
【分析】∵ (a ? b) ? c, a ? b ∴ (a ? b) ? c ? 0 ? a ? c ? b ? c 且 a ? b ? 0

? ?

? ?

?

? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? a ? (a ? b ? c) ? a ? a ? b ? a ? c ? 1 ? b ? c ? 0 ,∴ b ? c ? ?1
10.若数列 ?an ? 中任意连续三项和都为正数,任意连续四项和都为负数,则 项数 n 的最大值为 5 .

【分析】由 a1 ? a2 ? a3 ? 0, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 ? a4 ? 0 , 同理由 a2 ? a3 ? a4 ? 0, a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 0 ? a5 ? 0 所以这个数列最多只能有 5 项,否则由

A1 B A1

主视图

C1 A1

C1

C B A D 左视图

B

俯视图

C1

a3 ? a4 ? a5 ? 0, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 0 ? a6 ? 0 ,则得 a4 ? a5 ? a6 ? 0 与题设矛盾。
11.如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 48 .
A D A1 C1

B 【分析】从三视图看,顶点 B1 , D1 已被截去,所以这个多面体如上图,其体积为 C

1 V ? 3 ? 4 ? 6 ? 2 ? ? 3 ? 4 ? 6 ? 48 。 6
12.把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成 两段) ,这两段的长度差不超过 1 米,分别以这两段为圆 的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为

25 平方米 4?
【分析】设这两段的长度分别为 x 米、 y 米

? x?0 ? y?0 ? 则 x 、 y 满足关系 ? ,其平面区域为右上图所示阴影部分,两圆的面积之和为 ?x? y ?7 ?| x ? y |? 1 ?
x2 ? y 2 s? ,看成是个圆的方程,这个圆经过点 A(4,3) 或 B(3, 4) 时, s 最大,其最大值 4?


25 平方米。 4?

13.在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则取它的项:第一次取 1,第二次取 2 个连续 偶数 2、4;第三次取 3 个连续奇数 5、7、9;第四次取 4 个连续偶数 10、12、14、16;第 五次取 5 个连续奇数 17、19、21、23、25.按此规则一直取下去,得到一个子数列 1,2,4, 5,7,9,12,14,16,17,?.则在这个子数列中,由 1 开始的第 2008 个数是 【分析】 n 次总共取了 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 前 3953 .

n(n ? 1) n(n ? 1) 项, 满足不等式 ? 2008 的最大整 2 2 61? 62 ? 1891 个整数 2

数为 n ? 62 ,前 62 次取了 1953 项,所以子数列中的第 2008 项必是奇数,而且是第 63 次取 出的第 55 个奇数,前 62 次取数在正整数数列中有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 61 ?

没有被取到,所以第 63 次取的第一个数为 1953+1891+1=3845,第 55 个为 3953 14.设 x ? (0,

?
2

) ,则函数 y ?

1 2 2 ? 的最小值为___6_______. 2 cos x sin x

1 2 2 ? ?4? 2 cos x sin x 【分析】 1 2 2 ( 2 ? 4 cos 2 x) ? ( ? ? 4sin 2 x) ? 4 ? 3 3 8 ? 10 cos x sin x sin x y? ? 1 2 ? cos 2 x ? 4cos x ? ? 2 ? 取等号当且仅当 ? ,∵ x ? (0, ) ,∴ sin x ? cos x ? ,即: x ? 。 2 4 2 ? 2 ? 4sin 2 x ? sin x ?
三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 15. (本小题 16 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R .

得分

评卷人

(1)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (2)若 A ? { y | y ? f ( x), x ? [ 数 m 的取值范围。 【解】 (1) f ( x) ? 1 ? cos( ??5 分 由 2 k? ?

? ?

, ]} ,不等式 x ? m ? 3 的解集为 B, A ? B ? A ,求实 4 2

?

? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 2 3

?

?
2

2 12 ? 5? ], k ? Z 上单调递增。??8 分 ∴ f ( x ) 在区间 [k? ? , k? ? 12 12 ? ? ? ? 2? ] ,∴ A ? [1, 2] ,又解得 B ? (m ? 3, m ? 3) ??12 分 (2) x ? [ , ], ∴ 2 x ? ? [ , 4 2 3 6 3
而 A? B ? A ? A ? B ∴ ?

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?

解得: k? ?

?

? x ? k? ?

5? , 12

?m ?3 ?1 ,得 ?1 ? m ? 4 ??16 分。 ?m ? 3 ? 2

16.(本小题满分 18 分) 设 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0 , f (1) ? 0 . (1)求证:方程 f ( x) ? 0 在区间(0,1)内有两个不等的实数根; (2) 若 a, b, c 都为正整数,求 a ? b ? c 的最小值。 【证明】 (1) f (0) ? c ? 0 ①, f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②, a ? b ? c ? 0 ③, 由①③得: a ? b ? 0 ? a ? b ④,由②③得: 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ⑤, 由④⑤得: 2a ? b ? a ⑥,∵ b ? a ? c 代入②得: a ? c ∴ a ? 0 得分 评卷人

b ? 2 ??4 分 a b 1 2 ? ( , ) ,又 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ∵对称轴 x ? 3a 3 3
∴由⑤得: 1 ?

且 ? ? 4b2 ?12ac ? 4(a ? c)2 ?12ac ? (2a ? c)2 ? 3c2 ? 0 ∴方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个不等实根.????10 分 (2)若 a, b, c 都为正整数, f (0) 、 f (1) 都是正整数, 设 f ( x) ? 3a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 x1 , x2 是 f ( x) ? 0 的两根,则 x1 , x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2

9a 2 ∵ 1 ? f (0) f (1) ? 9a x1 (1 ? x1 ) x2 (1 ? x2 ) ? 16
2

∴ 9a 2 ? 16, a 为正整数,∴ a ? 2, ∴ a ? b ? c ? 2 ? (2 ? c) ? c ? 4 ? 2c ? 6 ??15 分

b b ? ? (1, 2) 得: b ? (2, 4) a 2 ∵ b 为正整数,∴ b ? 3 , c ? b ? a ? 1
若取 a ? 2 ,则

f ( x) ? 6x2 ? 6x ? 1 ? 0 的两根都在区间 (0,1) 内,
∴ a ? b ? c 的最小值为 6。??18 分 17. (本小题 20 分)在 xoy 平面上有一系列点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ), ?, Pn ( x n , y n ), ?,对 1 每个正整数 n ,以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴及射线 y ? 3x,( x ? 0) 都相切,且⊙ Pn 与⊙ . Pn ?1 彼此外切.若 x1 ? 1 ,且 xn ?1 ? xn ( n ? N * ) (1)求证:数列 {xn } 是等比数列,并求数列
y y= 3x

{xn } 的通项公式;
(2)设数列 {an } 的各项为正,且满足

P1

an ?

xn an?1 , a1 ? 1 , xn ? an?1

o

P3

P2 x

求证: a1 x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ? ?? ? an xn ?

5 1 ? n , (n ? 2) 4 3 ?1

得分

评卷人

(3)对于(2)中的数列 {an } ,当 n ? 1 时,求证:

(1 ? an )2 [

3 n 2 a3 an a2 4 1 ? ??? ]? ? 2 2 3 2 n 2 2 n (1 ? a2 ) (1 ? a3 ) (1 ? an ) 5 1 ? an ? an ? ? ? an

【 解 】 1 ) 点 列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ), ? , Pn ( x n , y n ), ? 必 在 射 线 y ? ( 1

3 x, ( x ? 0), 3

∴ yn ?

xn 为⊙ Pn 的半径, 3
2 2

∵⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 外切, ∴ ( xn ? xn?1 ) ? ( yn ? yn ?1 ) ? ??3 分

4 3 ( xn ? xn?1 )2 ? ( xn ? xn?1 ) ① 3 3
1 xn , 3

2 2 化简①式得: 3xn?1 ?10 xn xn?1 ? 3xn ? 0 ,解得: xn?1 ? 3xn 或 xn ?1 ?

∵ xn ?1 ? xn ,∴ xn ?1 ? (2) an ?

1 1 xn ,∴数列 {xn } 是等比数列,∵ x1 ? 1 ,则 xn ? ( ) n ?1 ??5 分 3 3

xn an?1 ,而 an ? 0, xn ? 0 , xn ? an ?1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ? ,∵ a1 ? 1 , an xn an ?1 an an ?1 xn an a1 x2 x3 xn



1 1 1 1 3n ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? an x2 x3 xn 2
2 ??8 分 3 ?1
n

∴ an ?

5 1 ? n 4 3 ?1 2 1 2 1 2 1 ? ? ? ? n ? n ?1 ∵ S n ? a1 x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ? ?? ? an xn ? 1? 1 ? ? ? 8 3 26 9 3 ?1 3 1 13 5 1 9 ? , T2 ? ? 2 ? ,必有 S2 ? T2 当 n ? 2 时, S 2 ? 1 ? 12 12 4 3 ?1 8 当 n ? 2 时,
设 Sn ? a1 x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ? ?? ? an xn , Tn ? ∵ an xn ?

2 2 2 ? 3n?1 1 1 ? n ? n ? n?1 ? n n n ?1 n ?1 n ?1 (3 ? 1)3 (3 ? 1)(3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1

∴ Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ?( 2 ? 3 )?( 3 ? 4 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ) 12 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 29 1 5 1 ? 1? ? ? n ? ? n ? ? n ??13 分 12 8 3 ? 1 24 3 ? 1 4 3 ? 1

(3)∵

1 1 1 ? ? ? 0 ? an ? an?1 ,∴ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 an an?1 xn
k k k k (1 ? an )2 ak (1 ? an )2 ak (1 ? ak )2 ak ak ,则 bk ? ? ? k k k 2 k (1 ? ak )2 (1 ? ak )2 (1 ? ak )2 (1 ? ak ? ak ?? ak ?1 )2

令: bk ?

?

k ak 1 1 ? ? 2 k ?1 2 k ?1 k 2 k ?1 2 k k (1 ? ak ? ak ? ?ak )(1 ? ak ? ak ? ?ak ? ak ) 1 ? ak ? ak ? ?ak 1 ? ak ? ak ? ?ak ?1 ? ak

?

1 1 = ? 2 k ?1 2 k ?1 k 1 ? ak ? ak ? ? ak 1 ? ak ?1 ? ak ?1 ? ? ak ?1 ? ak ?1
2 1 ? 3 ?1 4
2

1

?a
i ?1

k

?

1

i ?1 k

?a
i ?1

k ?1

??18 分

i ?1 k ?1

?, 0 ? a2 ?

3 n 2 n n a3 an a2 ∴ (1 ? an ) [ ? ?? ? ] ? ? bk ? ? ( 2 3 n (1 ? a2 )2 (1 ? a3 )2 (1 ? an ) 2 k ?2 k ?2 2

1

?a
i ?1

k

?

1

i ?1 k

?a
i ?1

k ?1

)

i ?1 k ?1

?

1 1 4 1 ??20 分 ? ? ? 2 n 2 n 1 ? a2 1 ? an ? an ? ? ? an 5 1 ? an ? an ? ? ? an
命题人:胡云华


相关文章:
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(2008 年 4 月 13 日)本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟 题号 得分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小...
2008年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案
温州市摇篮杯数学竞赛试题温州市摇篮杯数学竞赛试题隐藏>> 2008 2008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 1.把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x ...
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题、答案
名校试题网 www.21shiti.com 名校试题网,汇聚名校试题 2008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟 题号 得分 一、选择...
2015年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)
2015 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2015 年 4 月一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已知全集 U ? Z ,则 (CU A) ...
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(2007 年 4 月 15 日) 1、已知集合 A ? ...
2013年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)
2013年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区...2013 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题:本大题共 10 小题...
2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题和答案
2011 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时,错将...
浙江省温州市摇篮杯2014年高一数学竞赛试题(扫描版)
浙江省温州市摇篮杯2014年高一数学竞赛试题(扫描版)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 浙江省温州市摇篮杯2014年高一数学竞赛试题(...
2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答
2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答_专业资料。2013 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 ...
更多相关标签:
温州市摇篮杯数学竞赛 | 2016温州市摇篮杯 | 摇篮杯创业竞赛 | 摇篮杯创业竞赛说明会 | 浙江省温州市 | 浙江省温州市瑞安市 | 浙江省温州市鹿城区 | 浙江省温州市邮编 |