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第二章《平面向量》
一、选择题 1.在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若 BC ? 5e1 , DC ? 3e2则OC = ( )

1 1 1 (5e1 ? 3e2 ) B. (5e1 ? 3e2 ) C. (3e2 ? 5e1 ) 2 2 2 1 1 2.化简 [ (2a ? 8b) ? (4a ? 2b)] 的结果是 3 2

A. A. 2a ? b B. 2b ? a C. b ? a

D.

1 (5e2 ? 3e1 ) 2
( )

D. a ? b

3.对于菱形 ABCD,给出下列各式: ① AB ? BC ③ | AB ? CD |?| AD ? BC | 其中正确的个数为 A.1 个 4.在 ② | AB |?| BC | ④ | AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB |
2

( B.2 个 C.3 个 D.4 个



ABCD 中,设 AB ? a, AD ? b, AC ? c, BD ? d ,则下列等式中不正确的是( ) B. a ? b ? d D. c ? a ? b ( B. | a ? b |?| a ? b | D. | a | ? | b |?| a ? b | )

A. a ? b ? c C. b ? a ? d

5.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A. | a | ? | b |?| a ? b | C. | a | ? | b |?| a ? b |

6.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个 点的坐标为 ( ) A.(1,5)或(5,-5) B.(1,5)或(-3,-5) C.(5,-5)或(-3,-5) D.(1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 7.下列各组向量中:① e1 ? (?1,2) e2 ? (5,7) ② e1 ? (3,5) e2 ? (6,10) ③ e1 ? (2,?3)

1 3 e2 ? ( ,? ) 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 2 4
A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 8.与向量 d ? (12,5) 平行的单位向量为 A. (





( B. (?



12 ,5) 13

12 5 ,? ) 13 13

C. (

12 5 12 5 , ) 或 ( ? ,? ) 13 13 13 13

D. (?

12 5 ,? ) 13 13
( )

9.若 | a ? b |? A.10 3

41 ? 20 3 , | a |? 4, | b |? 5 ,则 a与b 的数量积为
B.-10 3 C.10 2 D.10

10.若将向量 a ? (2,1) 围绕原点按逆时针旋转 A. (? 2 ,? 3 2 ) 2 2

? 得到向量 b ,则 b 的坐标为( 4
C. (?



B. (

2 3 2 , ) 2 2

3 2 2 , ) 2 2

D. ( 3 2 ,? 2 )
2 2

11.设 k∈R,下列向量中,与向量 Q ? (1,?1) 一定不平行的向量是 ( ) B. c ? (?k ,?k ) D. e ? (k 2 ? 1, k 2 ? 1)

A. b ? (k , k ) C. d ? (k 2 ? 1, k 2 ? 1)

12.已知 | a |? 10, | b |? 12 ,且 (3a )( b) ? ?36 ,则 a与b 的夹角为 A.60° B.120° 二、填空题 13.非零向量 a, b满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a, b 的夹角为 C.135° D.150°

1 5





.

14.在四边形 ABCD 中,若 AB ? a, AD ? b, 且 | a ? b |?| a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状是 15.已知 a ? (3,2) , b ? (2,?1) ,若 ? a ? b与a ? ?b 平行,则λ = 16.已知 e 为单位向量,| a | =4,a与e 的夹角为 ? ,则 a在e 方向上的投影为 三、解答题 17.已知非零向量 a, b 满足 | a ? b |?| a ? b | ,求证: a ? b . .

2 3

18.已知在△ABC 中, AB ? (2,3) , AC ? (1, k ), 且△ABC 中∠C 为直角,求 k 的值.

19、设 e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、 B、D 三点共线,求 k 的值.

20. 已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 , c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? k b ,当当实数 k 为何值
o

时,⑴ c ∥ d

⑵c ? d

21.如图,ABCD 为正方形,P 是对角线 DB 上一点,PECF 为矩形, 求证:①PA=EF; ②PA⊥EF.

22.如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 2 2 2 2 2 求证:PA +PB +PC +PD =8r .

第二章《平面向量》测试(2)(新人教 A 版必修 4)
一、选择(5 分×7=35 分): 1、下列命题正确的个数是 ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ① AB ? BA ? 0 ; ② 0 ? AB ? 0 ; ( ) ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ③ AB ? AC ? BC ; ④ 0 ? AB ? 0

A、1 B、2 C、3 D、4 ? ? ? ? 2、若向量 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1, 2) ,则 c 等于 ( ) 1? 3? 3? 1? 1? 3? 3? 1? A、 ? a ? b B、 a ? b C、 a ? b D、 ? a ? b 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 3、已知 a ? (1, 2) , b ? (2x, ?3) 且 a ∥ b ,则 x ? ( ) 3 3 A、-3 B、 ? C、0 D、 4 4 ? ? ? ? ? ? 4、下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ②若不平行的两个非零向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a , b 满足 a ? b ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ; ③若 a 与 b 平行,则 a ? b ? a ? b ; ④ ? ? ? ? ? ? 若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;其中真命题的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 ? ? ? ? ? ? 5、已知 a ? 3 , b ? 2 3 , a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 的夹角是 ( ) A、150 ? B、120 ? C、60 ? D、30 ? ( )

6、若 a ? (3,4),b ? (2,?1),且(a ? xb) ? (a ? b) ,则实数 x= A、23 B、
23 2

C、

23 3

D、

23 4

7、在Δ ABC 中,若 AB ? 3, AC ? 4, ?BAC ? 600 ,则 BA ? AC ? A、6 B、4 C、-6 D、-4





二、填空(5 分×4=20 分): 8、已知 a ? (5, x), a ? 13, 则x ?
? ??? ? ???? 1 ??? 9、已知 MA ? (?2, 4), MB ? (2,6) ,则 AB ? 2 10、若 A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且 A、B、C 三点共线,则 x= ? ? 11、已知向量 a ? (6, 2) 与 b ? (?3, k ) 的夹角是钝角,则 k 的取值范围是 三、解答(共 45 分): 12、已知 A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),试证明四边形 ABCD 是梯形。(10 分)

???? ??? ? 13、在直角△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),求实数 k 的值。(10 分)

?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 14、已知 e1 、 e2 是夹角为 60°的两个单位向量, a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? 3e2 ? ? ? ? ? ? (1)求 a ? b ; (2)求 a ? b 与 a ? b 的夹角. (12 分)

? ? 3x 3x x x ? ? 15、已知向量 a ? (cos ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) , x ? [ ? , ] , 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 ? ? ? ? (1)求证: (a ? b) ⊥ (a ? b) ; (2) a ? b ? ,求 cos x 的值。(13 分) 3

第二章《平面向量》测试(3)(新人教 A 版必修 4)
一、选择题
???? ??? ??? ??? ? ? ? ) ??? ? ? A. AB B. DA C. BC D. 0 ?? ?? ? ? ? ? 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? A. a0 ? b0 B. a ? b ? 1 0 ?? ? ?? ? ?? 0 ?? ? ? C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2
1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( 3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,



? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ?? (4)若 a 与 b 平行,则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( ) b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a?b=0,则 a∥b C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

?

?

?

?

?



6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( A. 4 2 ,0 ) C. 16, 0 D. 4, 0

B. 4, 4 2

二、填空题
1 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。
1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?
0

?

?

?

?



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。

?

?

?

?

三、解答题 1.如图, ? ABCD 中, E , F 分别是 BC, DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b , 试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG . D F G A B E C

??? ? ?

?

?

?

??? ?

??? ?

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

? ?

?

?

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

第二章《平面向量》测试(4)(新人教 A 版必修 4)
班级: 学号: 姓名: 得分:

一、选择题(5 分×12=60 分):
1.已知 | AB |? 6, | AC |? 4 ,则 | BC | 的取值范围为( (A) (2,8) (B) [2,8] (C) (2,10) (D) [2,10] 2.设 A(1,3) , B(?2,?3) , C (x,7) 若 AB ∥ BC ,则 x 的取值范围是( (A)0(B)3(C)15(D)18 3.与向量 a=(-5,4)平行的向量是( A.(-5k,4k) 4.若点 P 分 AB 所成的比为 A. B.() )

) C.(-10,2) ) D.D.(5k,4k)

5 4 ,- ) k k

3 7

3 ,则 A 分 BP 所成的比是( 4 7 7 B. C.3 3

3 7

5.设点 P 分有向线段 P P2 的比是λ,且点 P 在有向线段 P P2 的延长线上,则λ的取值范围 1 1 是( ) A.(-∞,-1) ∞,B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-

1 ) 2
1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是( 2


6.设四边形 ABCD 中,有 DC =

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 7.已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第 4 个顶点 D 的坐标是 ( ) A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 8、如图.点 M 是 ?ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC 为( A. 0 C.4 MD )

?

B.4 ME D.4 MF )

9、已知 ?ABC 的顶点 A(2,3) 和重心 G(2,?1) ,则 BC 边上的中点坐标是( A. (2,?3) B. (2,?9) C. (2,?5) D. ( 2,0)

10、已知 a ? (5,?2),b ? (?4,?3), c ? ( x, y),若a ? 2b ? 3c ? 0 则 c 等于 (A) ?1, ?





? 8? ? 3?

(B) ?

? 13 8 ? , ? ? 3 3?

(C) ?

? 13 4 ? , ? ? 3 3?

(D) ? ?

? 13 4 ? ,? ? ? 3 3?

11、 已知点 A (2,3) (10,5) 直线 AB 上一点 P 满足|PA|=2|PB|, P 点坐标是 、B , 则 ( (A) ?



? 22 13 ? , ? ? 3 3? ? 22 13 ? , ? 或(18,7) ? 3 3?

(B)(18,7)

(C) ?

(D)(18,7)或(-6,1)

12、已知向量 a 与 b 不共线, AB = a +k b , AC =l a + b (k,l∈R),则 AB 与 AC 共 线的条件是( (A)k +l =0 (C)kl+1=0 ). (B)k -l =0 (D)kl-1=0

二、填空题(4 分×4=16 分):
13、设向量 a=(2,-1),向量 b 与 a 共线且 b 与 a 同向,b 的模为 2 5 ,则 b= 14、已知点 A(4,2), B(?6,?4), C ( x,?2 ) 三点共线,则 C 点分 AB 的比 ? =____________, 。

4 5

x =______________.
1 b 的坐标是_________. 2 1 1 16、已知 A(2,3),B(-1,5),且 AC = AB , AD =- AB ,则 CD 中点的坐标是 3 4
15、已知向量 a =(1,2), b =(3,1),那么向量 2 a - ________.

三、解答题(74 分)
17、 (12 分)如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已 知 AB =a, AD =b,试用 a、b 分别表示 DC 、 BC 、 MN 。

18、 (12 分)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,∠B=90°,求点 B 的坐标和 AB 。

19 、 ( 12 分 ) 已 知 ?A B C 的 三 个 内 角 A, B, C 成 等 差 数 列 , 且 A ? B ? C ,

tan A ? tanC ? 2 ? 3 。
(1)求角 A, B, C 的大小 (2)如果 BC ? 4 3 ,求 ?ABC 的一边 AC 长及三角形面积。

20、(12 分)已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,0),B(5,8),C(7,-4),在边 AB 上 有一点 P,其横坐标为 4,在边 AC 上求一点 Q,使线段 PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分.

21.(本题满分 14 分) → → → 已知向量OA =3i-4j,OB =6i-3j,OC =(5-m)i-(4+m)j,其中 i、j 分别是直角坐 标系内 x 轴与 y 轴正方向上的单位向量. (1)若 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若ΔABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值.

22、(12 分)已知 P 为△ABC 内一点,且 3 AP +4 BP +5 CP = 0 .延长 AP 交 BC 于点 D, 若 AB = a , AC = b ,用 a 、 b 表示向量 AP 、 AD .

第二章《平面向量》测试(6)(新人教 A 版必修 4)
一、选择题
1.下列命题中正确的是(

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? A. OA ? OB ? AB B. AB ? BA ? 0 ? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? C. 0 ? AB ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD ???? ???? 2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,
则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) ) B. (1, ?1) D.无数多个
o



3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

)

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于

?

?

? ?

?

?

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(
A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?



5? 6 ? 1 ? 3 ? ? 6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2 3
A. B. C. D. A. 30
0

? 6

? 3

2? 3



B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

二、填空题
1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?
? ? ? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

?



2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 3. a ? 1 , b ? 2 , 与 b 的夹角为 60 , (3a ? 5b) ? (ma ? b) , m 的值为 若 若 则 a
0

?

?

?

?

? ?



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。
? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。

三、解答题

1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a, b , c , d ,满足 d ? (a? )b ? (a? )c ,求证: a ? d c b

? ? ? ?

?

?? ?

? ? ?

?

?

4.已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;

?

?

?

?

?

?

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?


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