当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 直线与方程 3.2 直线的方程

一、学习任务 根据确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及 一般式)的特点与适用范围,能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;了解直线方 程的斜截式与一次函数的关系. 二、知识清单
直线的基本量与

方程

三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述: 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角(angle of inclination).直线倾斜角α 的取值范围为0 ? ≤ α < 180 ? .

直线斜率 直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).斜率常用小写字母k 表示,即k = tan α. 倾斜角是90? 的直线没有斜率.我们得到经过两点P1 (x1 , y 1 ),P2 (x2 , y 2 )(x1 ≠ x2 ) 的直线斜率 公式k = 直线的方程 点斜式:直线 l 经过点P0 (x 0 , y 0 ),且斜率为k ,设点P (x, y) 是直线 l 上不同于点P0 的任意一 点,因为直线 l 的斜率为k ,由斜率公式得k =

y2 ? y1 . x2 ? x1

y ? y0 ,即y ? y 0 = k(x ? x0 ),我们把个方程 x ? x0 叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form),当直线 l 的倾斜角为90? 时,直线没
有斜率,它的方程不能用点斜式表示. 斜截式:如果直线 l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0, b),代入直线的点斜式方程得 y ? b = k(x ? 0),即y = kx + b,我们把直线 l 与y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线 l 在y 轴上

的截距(intercept).此方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式(slope intercept form).当直线 l 的倾斜角为90? 时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示. 两点式:

y 1 ≠ y 2 )的直线方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式(two-point form). y x 截距式: + = 1 ,a ,b 分别是直线在x轴,y 轴上的截距,我们把此方程称之为直线的截距 a b
式方程,简称截距式. 一般式:我们把关于x ,y 的二元一次方程Ax + By + C = 0(其中A ,B 不同时为0 )叫做直线 的一般式方程,简称一般式(general form).

y ? y1 x ? x1 ,这是经过两点P (x1 , y 1 ) ,P (x2 ,y 2 )(其中x1 ≠ x2 , = y2 ? y1 x2 ? x1

例题: 已知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围为 45? < α < 135 ? ,则其斜率的取值范围是 . ? ? ? ? ? ? 解:(?∞, ?1) ∪ (1, +∞). 设直线 l 过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45? ,得到直 线 l 1 ,那么 l 1 的倾斜角为( ) ? ? A.α + 45 B.α ? 135 C.135 ? ? α D.当 0 ? ≤ α < 135 ? 时,倾斜角为 α + 45? ;当 135 ? ≤ α < 180 ? 时,倾斜角为 α ? 135 ? . 解:D 根据题意,画出图形,如下图所示.

因为 0 ? ≤ α < 180 ? ,结合图形可知,需按 α 和 135 ? 的大小分成两类. 已知直线经过点 A(?a, 6),B(1, 3a),且斜率为 12,求 a 的值. 解:由题意得

3a ? 6 = 12 ,所以 3a ? 6 = 12 + 12a,解得 a = ?2 . 1+a

求证:A(1, 5)、B(0, 2)、C (2, 8) 三点共线. 证明:利用斜率公式计算出 AB 和 AC 两条直线的斜率.

5?2 8?5 = 3 ,kAC = = 3. 1?0 2?1 因为 kAB = kAC ,又过同一点 A ,所以 A 、B 、C 三点共线. kAB =
已知两点 P (?3, 4) ,Q(3, 2),过点 A(1, 0) 的直线 l 与线段 P Q 有公共点. (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解:如下图:

4?0 2?0 = ?1 ,kAQ = = 1. ?3 ? 1 3?1 (1)要使直线 l 与线段 P Q 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k ≤ ?1 或 k ≥ 1. (2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 P A 与 AQ 的倾斜角之间,又 P A 的倾斜角是 135 ? ,QA 的倾斜角是 45? ,所以 α 的取值范围是 45? ≤ α ≤ 135 ? .
由题意可知 kPA = 给出下列四个命题: ①一条直线必是某个一次函数的图象. ②一次函数 y = kx + b 的图像必是一条不过原点的直线. ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则此方程叫做这条直线的方程. ④以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这条直线叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解:A 对于①,一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线,但任意一条直线不一定是某个一次函数的图 像,如直线 x = 2 不是一次函数的图象,故不正确; 对于②,函数 y = kx + b,当 b = 0 时,直线过原点,故不正确; 对于③④,方程是直线的方程和直线是方程的直线应该满足两条:以一个方程的解为坐标的点都 是这条直线上的点,反过来,这条直线上所有点的坐标都是方程的解,这两个条件缺一不可,如 第一、三象限角平分线上的点都是方程 (x + y)(x ? y) = 0 的解,但是此方程不是第一、三象限 角平分线的方程,又如以方程 y = x + 1(x ≥ 0) 的解为坐标的点都在直线 y = x + 1 上,但方 程 y = x + 1(x ≥ 0) 不是直线 y = x + 1 的方程,故不正确. 下列命题中的真命题是( ) A.过定点 P0 (x 0 , y 0 ) 的直线都可用方程 y ? y 0 = k(x ? x0 ) 表示 B.过定点 A(0, b) 的直线都可用方程 y = kx + b 表示 C.过任意两个点 P1 (x 1 , y 1 )、P2 (x2 , y 2 ) 的直线都可用方程 (y ? y 1 )(x2 ? x1 ) = (x ? x1 )(y 2 ? y 1 ) 表示 D.不过原点的直线都可用方程 解:C 点斜式方程、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线,故A、B错,截距式方程除了不能表示过原 点的直线之外,还不能表示与坐标轴平行的直线,故D错. 直线 ax + by + c = 0 经过第一、二、四象限,则 a 、b 、c 应满足( ) A.ab > 0 ,bc < 0 B.ab < 0 ,bc > 0 C.ab > 0 ,bc > 0 D. ab < 0 ,bc < 0 解:A 直线经过第一、二、四象限,则直线的斜率小于零,纵截距大于零,所以 ab > 0 ,bc < 0 . 根据下列条件,分别写出直线的方程:

y x + = 1 表示 a b

√3 ,与 x 轴交点的横坐标为 ?7; 2 (2)过点 P (?1, 2) 且与 x 轴有相同斜率; (3)过点 A(?5, 0) 和点 C (0, 2) ; (4)过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
(1)斜率为 解:(1)由直线与 x 轴交点的横坐标为 ?7,得直线过点 (?7, 0) ,又斜率为 方程为 y ? 0 =

√3 [x ? (?7)],整理得 2 √3 x ? 2y + 7√3 = 0.

√3 ,所以直线 2

(2)因为 x 轴的斜率为 0 ,而直线与 x 轴有相同的斜率,所以它的斜率 k = 0,故直线方程 为 y ? 2 = 0 × [x ? (?1)],即

y ? 2 = 0. y?0 x ? (?5) ,整理得 = 2?0 0 ? (?5)

(3)过点 A(?5, 0) 和点 C (0, 2) 的两点式方程为

2x ? 5y + 10 = 0.
(4)设直线与两坐标轴的交点为 (a, 0)、(0, b). (i)当 ab ≠ 0 时,直线方程为

y x + = 1 ,由点 P 在直线上得 a b 2 3 + =1 a b ??①

又由直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等得

|a| = |b|

??②

由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = ?1 ,b = 1 ,所以直线方程为 x + y ? 5 = 0 或 x ? y + 1 = 0. (ii)当 a = b = 0 时,直线过原点和 P (2, 3) ,所以直线方程为 3x ? 2y = 0 . 综上可知,所求直线方程为 x + y ? 5 = 0 或 x ? y + 1 = 0 或 3x ? 2y = 0 . 已知三角形的顶点是 A(?5, 0) ,B(3, ?3) ,C (0, 2) ,求 AC 边所在直线的方程,以及该边上的 中线所在直线的方程. 解:过点 A(?5, 0) ,C (0, 2) 的两点式方程为

2x ? 5y + 10 = 0 ,这就是 AC 边所在直线的方程. ?5 + 0 5 ? ? ?x = =? , 2 2 即 D(? 5 , ?1). 设边 AC 的中点为 D(x, y),则 ? 0 + 2 2 ? ?y = = 1, 2 y ? (?3) x?3 由两点式得直线 BD 的方程为 ,整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ,这就是 = 1 ? (?3) ? 5 ?3 AC
2

y?0 x ? (?5) ,整理得 = 2?0 0 ? (?5)

AC 边上的中线所在直线的方程.

2

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 直线 3x + 2y + 6 = 0 的斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b ,则有 (

3 ,b = 3 2 3 C.k = ? , b = ?3 2
A.k = ?
答案: C

2 , b = ?2 3 2 D.k = ? , b = ?3 3
B.k = ?

)

2. 一条直线过点 (5, 2),且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为 ( A.x + y ? 7 = 0
答案: C 解析: 设该直线在

)

C.x + y ? 7 = 0 或 2x ? 5y = 0

B.2x ? 5y = 0

D.x + y + 7 = 0 或 2y ? 5x = 0

2 x,即 2x ? 5y = 0 ; 5 y x 当 a ≠ 0 时,设直线方程为 + = 1 ,求得 a = 7,方程为 x + y ? 7 = 0. a a
当 a = 0 时,直线过原点,此时直线方程为 y =

x 轴,y 轴上的截距均为 a ,

3. 若直线 ax + by + c = 0 通过第一、二、三象限,则 ( A.ab > 0, bc > 0
答案: D 解析: 由

)
D.ab < 0, bc < 0

B.ab > 0, bc < 0

C.ab < 0, bc > 0

a c ax + by + c = 0,得 y = ? x ? .因为直线通过第一、二、三象限,所以 b b a c ? > 0, ? > 0 .所以 a 与 b 异号,b 与 c 异号,即 ab < 0, bc < 0 . b b )

4. 下列四个命题中的真命题是 (

A.经过定点 P0 (x 0 , y 0 ) 的直线都可以用方程 y ? y 0 = k (x ? x0 ) 表示 B.经过任意两个不同的点 P1 (x 1 , y 1 ) , P2 (x2 , y 2 ) 的直线都可以用方程

(y ? y 1 ) ? (x2 ? x1 ) = (x ? x1 ) (y 2 ? y 1 ) 表示 y x C.不经过原点的直线都可以用方程 + = 1 表示 a b D.经过定点 A (0, b) 的直线都可以用方程 y = kx + b 表示
答案: B 解析: A中:过点

率 k 不存在; C中:不过原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y = b (b ≠ 0) 或 x = a (a ≠ 0) 不能用方程

P0 (x0 , y 0 ) 与 x 轴垂直的直线 x = x0 不能用 y ? y 0 = k (x ? x0 ) 表示,因为其斜

y x + = 1 表示; a b D中:过 A (0, b) 的直线 x = 0 不能用方程 y = kx + b 表示.

高考不提分,赔付1万元,关注快乐学kuailexue.com了解详情。


相关文章:
高中数学必修2__第三章《直线与方程》知识点总结与练习
高中数学必修2__第三章直线与方程知识点总结练习_数学_高中教育_教育...( A.30° C.150° 解析:选 C 由 k=tan α=- B.60° D.120° 3 ,...
新课标人教A版高中数学必修2第三章直线与方程同步单元...
新课标人教A版高中数学必修2第三章直线与方程同步单元测试题(有答案)_数学_高中教育_教育专区。第三章 直线与方程单元测试题一、选择题(每题 3 分,共 36 分...
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)_数学_高中教育_教育专区。第三...高中数学必修2(人教A版)... 5页 免费 高中数学必修2(人教A版)... 6页...
...高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学必修2知...
人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学必修2知识点总结_数学_高中教育...第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜...
高中数学必修二第三章知识点总结
高中数学必修二第三章知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修二第三章知识点总结一、直线与方程1.直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成...
高中数学必修2第三章直线与方程全套教案
高中数学必修2第三章直线与方程全套教案_数学_高中...8. 3.2.1 直线的点斜式方程一、教学目标 1、...=22 同步练习:书本 112 页第 1,2 题三. 巩固...
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试试题及答案
高中数学必修2第三章直线与方程》单元测试试题及答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修二第三章直线与方程》单元测试试题及答案,方便高一数学老师使用。...
必修2 直线与方程知识点归纳总结
必修2 直线与方程知识点归纳总结_数学_高中教育_教育专区。必修2 直线与方程知识点归纳总结 必修2 第三章 直线与方程 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角...
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)_...3.求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在...高中数学必修2(人教A版)... 5页 免费 高中数学...
人教版数学必修二知识点总结
人教版数学必修二知识点总结_数学_高中教育_教育专区...Rl ? R 2 ? ? (3)柱体、锥体、台体的体积...第三章 直线与方程 1、直线的倾斜角 定义:x 轴...
更多相关标签: