当前位置:首页 >> 数学 >>

学生2.3函数的单调性与最值


§ 2.3 函数的单调性与最值
一·知识点·重点 1.函数的单调性
(1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个 区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2 定义 当 x1<x2 时, 都有____________, 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是增函数 当 x1<x2 时,都有 ____________,那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右看图象是______ (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是________或________, 则称函数 f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, ________叫做 y=f(x)的单调区间. 自左向右看图象是______

2.函数的最值
前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足

条件

(1)对于任意 x∈I, 都有________; (3)对于任意 x∈I,都有________; (2)存在 x0∈I,使得________. (4)存在 x0∈I,使得________. M 为最小值

结论

M 为最大值

二·难点:
1.函数的单调性是局部性质
-1-

函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征 . 在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.

2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义 域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数 函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的 单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.

3.单调区间的表示
单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用 并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

戴氏试题精选 基础自测
1. f(x)=x2-2x (x∈[-2,4])的单调增区间为__________;f(x)max=________. 2.函数 f(x)= 2x 在[1,2]的最大值和最小值分别是________________. x+1

3.已知函数 y=f(x)在 R 上是减函数,A(0,-2)、B(-3,2)在其图象上,则不等式-2<f(x)<2 的 解集为________________________________________________________________. 4.下列函数 f(x)中满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( 1 A.f(x)= x C.f(x)=e2 B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) ( ) )

??1?? 5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f ?? x??<f(1)的实数 x 的取值范围是 ?? ?? A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

考点分类
考点一:
例1

函数单调性的判断及应用

已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0.

(1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数;
-2-

(3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围.

探究提高 论.

(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是:取值—作差—变形—确定符号—下结

(2)利用导数证明的一般步骤为:求导,判断导函数在区间上的符号,下结论.导数法 较常用的一种方法. 已知 f(x)= x (x≠a). x-a

是比

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

考点二: 例2
2

求函数的单调区间

求函数 log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间.

-3-

探究提高 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出 它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. (5)本题的易错点是忽视函数的定义域. 求函数 y= x2+x-6的单调区间.

考点三:
例3 2 f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数;

抽象函数的单调性及最值

已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,

(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

-4-

探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相 应的条件,对任意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 x1 根据需要,需作适当的变形:如 x1=x2· x 或 x1=x2+x1-x2 等.
2

f?x1? 与 1 的大小.有时 f?x2?

?x? 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f ?y?=f(x)-f(y),当 x>1 ? ? 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

答题规范:

2.函数的单调性与不等式

试题: (12 分)函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时, 恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

-5-

审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明, 只能用定义.应该构造出 f(x2)-f(x1)并与 0 比较大 小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”,是本小题的切入点.要构造 出 f(M)<f(N)的形式. 解函数不等式的问题一般步骤是: 第一步:确定函数 f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式; 第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽 象符号“f”,转化成一般的不等式或 不等式组; 第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题 规范.

思想方法·感悟提高
方法与技巧 1.根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数 f(x)在其区间上的单调性,其步骤是 (1)设 x1、x2 是该区间上的任意两个值,且 x1<x2(或 x1>x2); (2)作差 f(x1)-f(x2),然后变形; (3)判定 f(x1)-f(x2)的符号; (4)根据定义得出结论. 2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次 函数等基本初等函数的单调区间.常用方法:根据定义,利用图象和单调函数的性质,利用导 数的性质. 3.复合函数的单调性 对于复合函数 y=f[g(x)],若 t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且 y=f(t)在区间(g(a),g(b)) 或者(g(b), g(a))上是单调函数, 若 t=g(x)与 y=f(t)的单调性相同(同时为增或减), 则 y=f[g(x)]
-6-

为增函数;若 t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则 y=f[g(x)]为减函数. 简称为:同增异减.

失误与防范 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减 .单调 区间要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 2.两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但 f(x)· g(x), 1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x?

巩固练习:函数的单调性
1.说出函数 f ? x ? ? 的单调区间,并指出在该区间上的单调性。
3 x

2.若一次函数 f ?x? ? kx ? b(??,??) 上是单调递减函数则点(k,b)在直角坐标平面( ) A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D 右半平面

3. f ?x ? ?

x 在( 1? x

) B ?? ?,1? ? ?1,??? 上是减函数. D ?? ?,1?和?1,??? 上是减函数

A. ?? ?,1? ? ?1,??? 上是增函数 C. ?? ?,1?和?1,??? 上是增函数

4 证明:函数 f ?x? ? ? x 在定义域上是减函数。

-7-

5 证明:函数 f ?x ? ? x ?

1 在?0,1?上是减函数 x

6.已知函数 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上为增函数,且 f ?x? ? 0?x ? 0? 试判断
F ?x ? ? 1 在 ?0,??? 上的单调性并给出证明过程。 f ?x ?

7.做出函数 f ?x? ? x 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 6 x ? 9 的图像,并指出函数 f ?x ? 的单调区间.

-8-

8.求函数 y ? x ? 的单调区间,并给出相关区间上单调性的证明。

1 x

9.已知函数 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上是减函数,是比较 f ? ?

3? 2 ? 与 f a ? a ? 1 的大小。 4 ? ?

?

?

10.设函数 f ?x ? 是实数集 R 上的增函数,令 F ?x? ? f ?x? ? f ?2 ? x? (1)求证: F ?x ? 在 R 上是增函数; (2)若 F ?x1 ? ? F ?x2 ? ? 0 ,求证: x1 ? x2 ? 2

学生改错:
-9-

老师评语:

家长签字:

- 10 -


相关文章:
《2.3函数的单调性与最值》 教案
2.3函数的单调性与最值》 教案_数学_高中教育_教育专区。一轮复习标准教案函数的单调性与最值适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 知识点 2. 3. 4. 教学...
2.2 函数的单调性与最值 - 学生
2.2 函数的单调性与最值 - 学生_数学_高中教育_教育专区。§ 2.2 数的...函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=___. 2. (2011·...
2.3函数的单调性与最值
2.3函数的单调性与最值_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一轮复习用§ 2.3 2014 高考会这样考 函数的单调性与最值 1.以客观题的形式考查函数的单调性; ...
2-3函数的单调性与最值
荣昌蓝天学校 2-3 函数的单调性与最值 一、选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011·广西南宁调研)下列函数 f(x)中,满足“对任意的 ...
《2.3函数的单调性与最值》 学案
2.3函数的单调性与最值》 学案_数学_高中教育_教育专区。一轮复习标准教案函数的单调性与最值适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 知识点 2. 3. 4. 学习...
2-3 函数的单调性与最值
章 第三节 函数的单调性与最值 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是...
2.3函数单调性与最值
1.3.1 函数的单调性与最大(小)值⒈ 增函数与减函数 定义:对于函数 f(x)的定义域 A 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ⑴若当 x1 < x2...
2.3函数单调性与函数最值(2016-2017)
2.3函数单调性与函数最值(2016-2017)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.3 函数单调性与函数最值【回归教材】 1. 3. 单调性的定义和变式,区间写法。2....
学案2.3 函数的单调性和最值
学案2.3 函数的单调性和最值_数学_高中教育_教育专区。学案 2.3 函数的单调性和最值【考点导读】 1.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性. 2.理解函...
1.3.2函数的单调性与最值
宁波华茂外国语学校 2013-2014 学年第一学期 数学必修 1 导学案 编写人: 周密 审核人:高一数学组 1.1 函数的单调性与最值(2)【学习目标】 1.理解函数最...
更多相关标签: