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《现代控制理论》实验指导书


《现代控制理论》实验指导书 实验设备 PC 计算机 1 台(要求 P4-1.8G 以上) ,MATLAB6.X 软件 1 套。

实验 1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换 [实验目的] 1 学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、 了解系统状态空间表达式与传递函数相 互转换的方法; 2 通过编程、上机调试,掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换

方法。 [实验内容] 1 设系统的模型如式(1.1)示。 (1.1) 其中 A 为 n×n 维系数矩阵、B 为 n×m 维输入矩阵 C 为 p×n 维输出矩阵,D 为传递阵, 一般情况下为 0,只有 n 和 m 维数相同时,D=1。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间 的关系如式(1.2)示。 (1.2) 式(1.2)中,表示传递函数阵的分子阵,其维数是 p×m;表示传递函数阵的按 s 降幂排列的 分母。 2 实验步骤 ① 根据所给系统的传递函数或(A、B、C 阵) ,依据系统的传递函数阵和状态空间表达式 之间的关系如式(1.2),采用 MATLA 的 file.m 编程。注意:ss2tf 和 tf2ss 是互为逆转换的指 令; ② 在 MATLA 界面下调试程序,并检查是否运行正确。 ③ [例 1.1] 已知 SISO 系统的状态空间表达式为(1.3),求系统的传递函数。 (1.3) 程序: %首先给 A、B、C 阵赋值; A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2]; B=[1;3;-6]; C=[1 0 0]; D=0; %状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u) [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) 程序运行结果: num = 0 1.0000 5.0000 3.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 从程序运行结果得到:系统的传递函数为: ........................ .. (1.4) ④ [例 1.2] 从系统的传递函数(1.4)式求状态空间表达式。 程序:

num =[0 1 5 3]; %在给 num 赋值时,在系数前补 0,使 num 和 den 赋值的个数相同; den =[1 2 3 4]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 程序运行结果: A= -2 -3 -4 1 0 0 0 1 0 B= 1 0 0 C= 1 D= 0 由于一个系统的状态空间表达式并不唯一, [例 1.2]程序运行结果虽然不等于式(1.3)中的 A、 B、C 阵,但该结果与式(1.3)是等效的。不防对上述结果进行验证。 ⑤ [例 1.3] 对上述结果进行验证编程 %将[例 1.2]上述结果赋值给 A、B、C、D 阵; A =[-2 -3 -4;1 0 0; 0 1 0]; B =[1;0;0]; C =[1 5 3]; D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) 程序运行结果与[例 1.1]完全相同。 [实验要求] 在运行以上[例]程序的基础上, 应用 MATLAB 对(1.5)系统仿照[例 1.2]编程, 求系统的 A、 B、C、阵;然后再仿照[例 1.3]进行验证。并写出实验报告。 (1.5) 提示:num =[0 0 1 2;0 1 5 3]; 实验 2 状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解 [实验目的] 1、 熟悉线性定常离散与连续系统的状态空间控制模型的各种表示方法。 2、 熟悉系统模型之间的转换功能。 3、 利用 MATLAB 对线性定常系统进行动态分析 [实验内容] 1、给定系统,求系统的零极点增益模型和状态空间模型,并求其单位脉冲响应及单位阶跃 响应。 num=[1 2 1 3];den=[1 0.5 2 1];sys=tf(num,den);sys1=tf2zp(sys);sys2=tf2ss(sys); 5 3

impulse(sys2);step(sys2) sys=tf(num,den) Transfer function: s^3 + 2 s^2 + s + 3 ----------------------s^3 + 0.5 s^2 + 2 s + 1 sys1=tf2zp(num,den) sys1 = -2.1746 0.0873 + 1.1713i 0.0873 - 1.1713i [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) a = -0.5000 -2.0000 1.0000 0 0 1.0000 b= 1 0 0 c = 1.5000 -1.0000 d= 1 单位脉冲响应:

-1.0000 0 0

2.0000

图 1.1 系统的单位脉冲响应 单位阶跃响应: 图 1.2 系统的单位阶跃响应 2、 已知离散系统状态空间方程:

采样周期。在域和连续域对系统性能进行仿真、分析。 g = -1 -3 -2 0 2 0 0 1 2 >> h = 2 1 -1 >> c = 1 0 0 >> d=0 >> u=1; >> dstep(g,h,c,d,u) Z 域性能仿真图形: 图 1.3 离散系统的阶跃响应 sysd=ss(g,h,c,d,0.05)

a= x1 x2 x3 b = x1 x2 x3 c= y1

x1 x2 x3 -1 -3 -2 0 2 0 0 1 2 2 1 -1 x1 x2 x3 1 0 0

d=

u1 y1 0 Sampling time: 0.05 Discrete-time model. >> sysc=d2c(sysd,'zoh') a= x1 x2 x1 -9.467e-008 -17.45 x2 4.281e-015 13.86 x3 -1.41e-014 10 x4 62.83 48.87 b= u1 x1 1.035 x2 13.86 x3 -17.73 x4 -66.32 c= x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 d= u1 y1 0 step(sysc) ;连续域仿真曲线:

x3 x4 -9.242 -62.83 3.115e-015 2.733e-015 13.86 -1.396e-014 41.89 9.467e-008

图 1.4 离散系统转连续系统后的阶跃响应 [实验要求] 1、进行模型间的相互转换。 2、绘出系统单位阶跃及脉冲曲线。 实验 3 能控能观判据及稳定性判据 [实验目的] 1、利用 MATLAB 分析线性定常及离散系统的可控性与可观性。 2、利用 MATLAB 进行线性定常及离散系统的李雅普诺夫稳定性判据。 [实验内容] 1、已知系统状态空间方程: (1)

(2) (3) 对系统进行可控性、可观性分析。 以第一题为例: (1)a=[-1 -2 2;0 -1 1;1 0 -1] a = -1 -2 2 0 -1 1 1 0 -1 >> b=[2 0 1]' b= 2 0 1 >> c=[1 2 0] c= 1 2 0 >> Qc=ctrb(a,b) Qc = 2 0 0 0 1 0 1 1 -1 rank(Qc) ans = 3,系统满秩,故系统能控。 rank(obsv(a,c)) ans = 3,系统满秩,故系统能观。 (2)(3)两题计算方法相同。 、 2、已知系统状态空间方程描述如下: , , 试判定其稳定性,并绘制出时间响应曲线来验证上述判断。 A=[-10 -35 -50 -24;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0]; B=[1;0;0;0];C=[1 7 24 24];D=[0]; [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1); Flagz=0; n=length(A); for i=1:n if real(p(i))>0 Flagz=1; end end disp('系统的零极点模型为');z,p,k 系统的零极点模型为 z= -2.7306 + 2.8531i -2.7306 - 2.8531i -1.5388

p= -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 k= 1.0000 if Flagz==1 disp('系统不稳定'); else disp('系统是稳定的'); end 运行结果为: 系统是稳定的 step(A,B,C,D); 图 2.1 系统的阶跃响应 [实验要求] 1、 判断系统的可控性,求解系统的变换矩阵 Qc。 2、 判断系统可观测性,求解系统的变换矩阵 Qo。 3、 判断系统稳定性,绘制时间响应曲线。

实验 4 状态反馈及状态观测器的设计 [实验目的] 1、 熟悉状态反馈矩阵的求法。 2、 熟悉状态观测器设计方法。 [实验内容] 1、 某控制系统的状态方程描述如下: 通过状态反馈使系统的闭环极点配置在 P=[-30, -1.2,-2.44i 位置上,求出状态反馈阵 K,并绘制 出配置后系统的时间响应曲线。 >> A=[-10 -35 -50 -24;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0]; >> B=[1;0;0;0];C=[1 7 24 24];D=[0]; >> disp('原极点的极点为');p=eig(A)' >> disp('极点配置后的闭还系统为') 极点配置后的闭还系统为 >> sysnew=ss(A-B*K,B,C,D) >> step(sysnew/dcgain(sysnew)) 运算结果为: 原极点的极点为 p= -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000

>> P=[-30;-1.2;-2.4+sqrt(-16);-2.4-sqrt(-16)]; >> K=place(A,B,P) K= 26.0000 172.5200 801.7120 759.3600 >> disp('配置后系统的极点为') 配置后系统的极点为 >> p=eig(A-B*K)' p= -30.0000 -2.4000 - 4.0000i -2.4000 + 4.0000i -1.2000 a= x1 x2 x3 x4 x1 -36 -207.5 -851.7 -783.4 x2 1 0 0 0 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 b= u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 c= x1 x2 x3 x4 y1 1 7 24 24 d= u1 y1 0 Continuous-time model. 图 3.1 极点配置后系统的阶跃响应 2、 考虑下面的状态方程模型: 要求选出合适的参数状态观测器(设观测器极点为 op=[-100;-102;-103])。 程序如下: A=[0 1 0;980 0 -2.8;0 0 -100]; B=[0;0 ;100]; C=[1 0 0]; D=[0]; op=[-100;-102;-103]; sysold=ss(A,B,C,D); disp('原系统的闭还极点为'); p=eig(A) n=length(A); Q=zeros(n);

Q(1,:)=C; for i=2:n Q(i,:)=Q(i-1,:)*A; end m=rank(Q); if m==n H=place(A',C',op')'; else disp('系统不是状态完全可观测') end disp('状态观测器模型'); est=estim(sysold,H); disp('配置后观测器的极点为');p=eig(est) 运行结果: 原系统的闭还极点为 p= 31.3050 -31.3050 -100.0000 状态观测器模型 配置后观测器的极点为 p= -103.0000 -102.0000 -100.0000 [实验要求] 1、 求出系统的状态空间模型; 2、依据系统动态性能的要求, 确定所希望的闭环极点 P; 3、利用上面的极点配置算法求系统的状态反馈矩阵 K; 4、检验配置后的系统性能。

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