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福建省宁德市部分达标中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


宁德市部分达标中学 2013~2014 学年第一学期期中联合考试

高一数学试卷
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟。 温馨提示: 1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、座号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案写在答题卡上 . 请按照题号在各题的答题区域内作答. 在草稿 纸、试题卷上答题

无效. 3.考生不能使用计算器答题.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.如果集合 P ? ?x x ? ?1?,那么( A. 0 ? P 2. 函数 y ? A. (0,2] B. {0} ? P ) C. ? ? P ) C. ? 0, 2? D. (??, 2] ) D. {0} ? P

2? x ?

1 的定义域是( x

B. (??,0) ? ?2, ???

3.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={2,4,5},B={3,5},则 A ? (CU B) =( A.{2,4} B.{5} C.{1,4} D.{1,2,4}

?x 2 , x ? 0 ? 4.已知函数 f ( x) ? ? 1 x ,则 f ( f ( ?2)) 的值是( ) ?( ) , x ? 0 ? 2 1 1 1 A.4 B. C. D. 4 8 16 5.若偶函数 f ( x) 在区间 [?5, 0] 上是增函数且最小值为﹣4,则 f ( x) 在区间 [0, 5] 上是( )
A.减函数且最小值为﹣4 C.减函数且最大值为 4 6.函数 f ( x) ? A. (1, 2) B.增函数且最小值为﹣4 D.增函数且最大值为 4 ) D. (e, ??)

3 ? ln x 的零点所在的大致区间是( x
B. (2,3) )

C. (3, 4)

7.函数 y ? x | x | 的图像大致是(

A

B

C

D )

8.已知 a ? log2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c 9.已知 f ( x ) ? ? A. [ , ??) 10.对于函数 f ( x ) ? B. a ? c ? b C. c ? a ? b

D. b ? c ? a )

? x ? (3a ? 4), x ? 1
x ?a ,

x ?1
B. (1, ]
1

是 R 上的增函数,那么实数 a 的取值范围是(

3 2

3 2

C. (0,1)

D. (1, ??)

x 2 定义域内的任意 x1 , x 2 且 x1 ? x2 ,给出下列结论:
② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④ f( ) C.3 D.4

① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?0; x1 ? x 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , )? 2 2

其中正确结论的个数为( A.1 B.2

第 II 卷

(非选择题共 100 分)
★★ . .

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.已知集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 A ? B = 12.已知幂函数 f ( x) 的图象过点(2,8),则 f ( x) = ★★

13. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? log3 x ,则 f (?3) = ★★ .

? x ? 1, x ? 0 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,则使方程 f ( x) ? m 有两解的实数 m 的取值范围 , x?0 ? ?x
是 ★★ .

? ( a , b ? R )恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的一 15.对于函数 y ? f ( x) ,若 f (2 x) ?af (x) b
个“P 数对” ; 若 (? 2, 0)是 f ( x) 的 一 个 “ P 数 对 ” , f (1) ? 3 , 且 当 x ?[1, 2)时 ,

f ( x) ? k ? 2 x ? 3 ,关于函数 f ( x) 有以下三个判断:
①k=4; ② f ( x) 在区间 [1,2) 上的值域是[3,4]; ③ f (8) ? ?24 . 则正确判断的所有序号是 ★★ .

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)
x 已知全集 U ? R,集合 A ? {x | 4 ? 2 ? 16} , B ? {x | 3 ? x ? 5} ,求:

(Ⅰ) CU ( A

B)

(Ⅱ)若 集合C={x | x ? a},且 B ? C ,求实数 a 的取值范围.

?

17. (本小题满分 13 分) 计算下列各题: (Ⅰ) ( ) ? (4) 2 ? ( ? ) ? 9 2 ;
0

1 4

?1

3

1 3

1

(Ⅱ) log 4 3 ? log 4

2 log2 3 ? 2 +l g100 . 3

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 1 ? ?a ? 0, x ? 0 ? a x

(Ⅰ)判断函数 f ?x ? 在(0,+∞)上的单调性并用函数单调性定义加以证明;

?1 ? ?1 ? (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ? ,2? 上的值域是 ? ,2? ,求 a 的值. ?2 ? ?2 ?

19. (本小题满分 13 分) 某商店试销一种成本单价为 40 元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单 价,又不高于 80 元/件,经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看作一 次函数 y ? ? x ? 100 的关系. 设商店获得的利润(利润=销售总收入-总成本)为 S 元. (Ⅰ)试用销售单价 x 表示利润 S; (Ⅱ)试问销售单价定为多少时,该商店可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售 量是多少?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log 1 (1 ? x) ? log 1 ( x ? 3)
2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的零点; (Ⅲ)求函数 f ( x ) 的值域.

21. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 3 是偶函数,且过点(﹣1,4), g ( x ) ? x ? 4 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 F ( x) ? f (2 ) ? g(2
x x ?1

) 的值域;

(Ⅲ)若 f ( x) ? g (mx ? m) 对 x ? [2, 6] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

宁德市部分达标中学 2013~2014 学年第一学期期中联合考试

高一数学试卷参考答案
一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 D 2 A 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分 11. ? x x ? ?1? ; 12. x 3 13. ?3 ; 14. 0 ? m ? 1 15. ①②③

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.

16.解:(1)化简得:A ? ?x | 2 ? x ? 4?, 又B ? ?x | 3 ? x ? 5?,....3分 ? A B ? {x | 3 ? x ? 4}.................................6分 ?C ( A B ) ? {x | x ? 3或x ? 4}...................9分 (2) B ? C, ? a<3....................................................13分

?

3 1 ? 1 1 17 解(1) ( ) ?1 ? (4) 2 ? ( ? )0 ? 9 2 ? 4 ? 23 ? 1 ? 3= ? 6.............6分 4 3

(2) log 4 3 ? log 4 18.解: (1)函数

2 log2 3 1 1 ?2 ? lg100 ? log 4 2 ? 3 ? 2 ? ? 1 ? ? ......13分 3 2 2

f ( x ) 在区间(0,+∞)上是递增函数,证明如下:
1 1 1 1 x ?x ? ) ? ( ? ) ? 1 2 .............4 分 a x1 a x2 x1 x2

设 x1 ? x2 ? 0, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (

x1 ? x2 ? 0, ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
∴函数

f ( x ) 在区间(0,+∞)上是递增函数........................................7 分 f ( x ) 在区间(0,+∞)上是递增函数
?2 ?

(2)∵函数 ∴

1 ? ? ? f ( x ) 在区间 ? f 2) ? ,2? 上的值域为 ? f ( ), ( ? ..................10 分

?

1 2

?



{

1 1 f ( )? 2 2 2 ( f 2)=2 , 解得 a= .................13 分

5

19答案: (1) S ( x ) ? xy ? 40 y ? ( x ? 40) y ? ( x ? 40)( ? x ? 100)...........5分 ? ? x 2 ? 140 x ? 4000(40 ? x ? 80),...............7分 (2) S ( x ) ? ?( x ? 70) 2 ? 900(40 ? x ? 80).................................10分 ?当销售单价为70元/件时,可获得最大利润900元,此时销售量是30件.14分

20.解: (1)要使函数有意义:则有 ?

?1 ? x > 0 ,解之得: ?3 < x < 1 , ?x ? 3 > 0
?????????????4 分
2

所以函数的定义域为: (-3,1) .

(2)函数可化为 f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (? x ? 2x ? 3) , 由 f ( x) ? 0 ,得 ? x ? 2 x ? 3 ? 1 ,
2

即 x ? 2 x ? 2 ? 0 , x ? ?1 ? 3 ;????????????????8 分
2

∵-1 ? 3 ? (?3,1) ,∴ f ( x) 的零点是 ?1 ? 3 .??????????9 分
(3)函数可化为: f ( x) ? log 1 [?( x ? 1)2 ? 4]
2

∵ ?3 < x < 1
2

∴0 < -(x ? 1)2 ? 4 ? 4 ; 设 t= -(x ? 1)2 ? 4, 则 t ?(0,4]
?????????????13 分
2

则 y ? log 1 t ,是递减函数,且 log 1 4 ? ?2

所以值域是 [ ?2, ??) ?????????????14 分 21. 解(1)由题意,对任意 x ? R, f (? x) ? f ( x), ?ax 2 ? bx ? 3 ? ax 2 ? bx ? 3

得2bx=0, x ? R,?b ? 0, 得f ( x) ? ax 2 ? 3 ,.....................................................3 分
把点(﹣1,4)代入得 a+3=4, 解得 a=1

? f ( x) ? x 2 ? 3 ........................................4 分

(其他解法如:因为 f ( x ) 是 R 上的偶函数,所以 b=0,也可得分)
2 2 (2) F ( x) ? f (2 x ) ? g(2 x?1 )=( 2 x) +3+2 x?1 +4=(2 x) +2 ? 2 x +7 ...................5 分

设 2 =t, 则t ? (0, ??) ,则 y ? t +2t +7 ? (t ? 1) ? 6 ? 7
x 2 2

?值域为(7 , ? ?) .................................................................................................9 分
(3)依题意得: x ? [2, 6] 时, x +3 ? mx ? m ? 4 恒成立,
2

即 x ? mx ? m ? 1 ? 0 恒成立..............................................10 分,
2

设 p( x) ? x ? mx ? m ? 1 ,依题意有:
2



?2 m 当 ? 2 时 p(2) ? 0 ,? ? 2 ? ? p (2)?0
m

? m ?2

?4 得 m m?1
4?m?12 得 m 2 ? 4 m ? 4?0

?

? m ? 1 ............11 分,
得无解 .........12 分,

? ? 2? ?6 m ? 6 时 ? ? 0 ,? ? 2 ② 当2 ? 2 ? ? ??0


?

m 当 ? 6 时 p(6) ? 0 2

m ? ? 2 ?6 ?? ) ? ? p( 6 ?

0

?1 2 得 m m?5

?

得无解 ..................13 分

综上可知:实数 m 的取值范围是(-∞,1] .............................................................13 分


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