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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第1章 2 综合法和分析法]


第一章

§2

一、选择题 1.(2014· 四平二模)设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1; ②a+b=2; ③a+b>2; ④a2+b2>2; ⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ C.③ [答案] C 1 2 [解析] 若 a= ,b= ,则 a+b&

gt;1,但 a<1,b<1,故①推不出; 2 3 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即“a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 1-x 2.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( 1+x A.b 1 C. b [答案] B 1+a 1-a -1 [解析] f(-a)=lg =lg( ) 1-a 1+a 1-a =-lg =-f(a)=-b. 1+a 3.已知 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中一定成立的是( A.ab>ac C.cb2<ab2 [答案] A [解析] 由 c<b<a,且 ac<0 得 a>0,c<0.由不等式的性质不难选出答案为 A. 二、填空题 B.c(b-a)<0 D.ac(a-c)>0 ) B.-b 1 D.- b ) B.①②③ D.③④⑤ )

4.将下面用分析法证明

a2+b2 a2+b2 ≥ab 的步骤补充完整:要证 ≥ab,只需证 a2 + 2 2

b2≥2ab,也就是证________,即证________,由于________显然成立,因此原不等式成立. [答案] a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 5.(2014· 徐州模拟)设 x,y,z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下 列条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是________.(填所有正确条件的 代号) ①x 为直线,y,z 为平面; ②x,y,z 为平面; ③x,y 为直线,z 为平面; ④x,y 为平面,z 为直线; ⑤x,y,z 为直线. [答案] ①③④ [解析] ①中 x⊥平面 z,平面 y⊥平面 z, ∴x∥平面 y 或 x 平面 y. ∵x 平面 y,故 x∥y 成立. ②中若 x,y,z 均为平面,则 x 可与 y 相交,故②不成立. ③x⊥z,y⊥z,x,y 为不同直线,故 x∥y 成立. ④由 z⊥x,z⊥y,z 为直线,x,y 为不同平面,可得 x∥y,④成立. ⑤x,y,z 均为直线可异面垂直,故⑤不成立. 三、解答题 1 1 4 6.已知 a>b>c,求证: + ≥ . a-b b-c a-c [分析] 本题中出现的有 a-b, b-c 和 a-c, 注意它们之间的关系为 a-c=(a-b)+(b -c)从而解答问题. [证明] ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0, 且 a-c=(a-b)+(b-c). ∴ = a-c a-c + a-b b-c ?a-b?+?b-c? ?a-b?+?b-c? + a-b b-c

b-c a-b =2+ + a-b b-c ≥2+2 b-c a-b · =4,当且仅当 a-b=b-c 时等号成立. a-b b-c



1 1 4 + ≥ 成立. a-b b-c a-c

一、选择题 1.(2014· 西工大附中联考)对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题中真命题是( A.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m α,n∥α,则 m∥n D.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n [答案] C [解析] 对于平面 α 和共面的直线 m,n,真命题是“若 m α,n∥α,则 m∥n”. x+y x y 2.设 x>0,y>0,A= ,B= + ,则 A 与 B 的大小关系是( 1+x+y 1+x 1+y A.A>B C.A<B [答案] C [解析] x+y x y x y + > + = 1+x 1+y 1+x+y 1+x+y 1+x+y )
lg(x+y)

)

)

B.A≥B D.A≤B

3.(2013· 浙江理,3)已知 x,y 为正实数,则( A.2
lgx+lgy

=2 +2

lgx

lgy

B.2

=2lgx· 2lgy

lgy C.2lgx· =2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx· 2lgy

[答案] D [解析] 2lg(xy)=2(lgx
+lgy)

=2lgx· 2lgy.

1?x + ?a+b? ? 2ab ? 4.已知函数 f(x)=? ?2? ,a、b∈R ,A=f? 2 ?,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A、B、 C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A [答案] A [ 解析 ] a+b 2ab 1 ≥ ab ≥ ,又函数 f(x) = ( )x 在 ( - ∞ ,+ ∞) 上是单调减函数,∴ 2 2 a+b ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b 2ab f( )≤f( ab)≤f( ). 2 a+b 5.已知 f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且 a+b>0,a+c>0,b+c>0,则 f(a)+f(b)+f(c)的 值( )

A.一定大于零 C.一定小于零 [答案] A

B.一定等于零 D.正负都有可能

[解析] f(x)=x3+x 是奇函数,且在 R 上是增函数, 由 a+b>0 得 a>-b, 所以 f(a)>f(-b),即 f(a)+f(b)>0, 同理 f(a)+f(c)>0,f(b)+f(c)>0,所以 f(a)+f(b)+f(c)>0. 二、填空题 6.若 sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则 cos(α-β)=________. 1 [答案] - 2 [解析] 观察已知条件中有三个角 α、β、γ,而所求结论中只有两个角 α、β,所以我们 只需将已知条件中的角 γ 消去即可,依据 sin2γ+cos2γ=1 消去 γ. 由已知,得 sinγ=-(sinα+sinβ), cosγ=-(cosα+cosβ), ∴(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2 =sin2γ+cos2γ=1, 1 化简并整理得 cos(α-β)=- . 2 b2 7.设 a≥0,b≥0,a2+ =1,则 a· 1+b2的最大值为____________. 2 [答案] 3 2 4 1 b2 2 1 b2 3 2 1 b2 b2 + ≤ (a2+ + )= (当且仅当 a2= + 且 a2+ = 2 2 2 2 2 4 2 2 2

[解析] a· 1+b2= 2a· 1 即 a= 6 2 ,b= 时取“=”) 2 2

三、解答题 8.分别用分析法、综合法证明:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. [解析] 证法一:(分析法)要证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 只需证 a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2, 即证 b2c2+a2d2≥2abcd, 只需证(bc-ad)2≥0. 因为(bc-ad)2≥0 显然成立, 所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 成立. 证法二:(综合法)因为 b2c2+a2d2≥2abcd,

所以 a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2, 即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 9.(2013· 华池一中高三期中)已知 n∈N*,且 n≥2,求证: [证明] 要证 1 > n- n-1, n 1 > n- n-1. n

即证 1>n- n?n-1?, 只需证 n?n-1?>n-1, ∵n≥2,∴只需证 n(n-1)>(n-1)2, 只需证 n>n-1,只需证 0>-1, 最后一个不等式显然成立,故原结论成立. 10.已知:a、b、c∈R,且 a+b+c=1. 1 求证:a2+b2+c2≥ . 3 [证明] 由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. 三式相加得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2. 由 a+b+c=1,得 3(a2+b2+c2)≥1, 1 即 a2+b2+c2≥ . 3


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