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浙江省路桥中学2012届高三下学期3月考试试题(数学理)


路桥中学高三(下)第 2 次月考试卷 数 学(理科) 2012.3
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.若复数 z ? (1 ? i) ? i ( i 为虚数单位

) ,则 z 的虚部是( ▲ ) A. ? 1 2.已知 sin (? ? A. ?
4 5

B. 1
?
3 ) ? sin ? ? ? 5

C. ? i
4 3 ,?

D. i
? ? ? 0, 则 co s(? ?
2? 3 ) 等于( ▲

?
2



B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

3.阅读右面的程序框图,则输出的 k ? ( ▲ ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 ? 1 1 ? x ” ▲ ) 4.若 0 ? x ? ,则“ x ? ”是的“ (
2 sin x sin x

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5.设 A , B , C , D 是平面上互异的四个点,若 ( DB ? DC ? 2 DA ) ? ( AB ? AC ) ? 0 , 则△ABC 的形状是( ▲ ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

?1, x ? 0 ? 2 6 . 已 知 符 号 函 数 sg n ( x ) ? ? 0 , x ? 0 , 则 函 数 f ( x ) ? sg n (ln x ) ? ln x 的 零 点 个 数 为 ? ? 1, x ? 0 ?

( ▲ ) A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

7.如图,椭圆的中心在坐标原点 O ,顶点分别是 A1 , A2 , B 1 , B 2 ,焦点为 F1 , F 2 ,延长 B1 F 2 与
A2 B 2 交于 P 点, ? B 1 PA 2 为钝角, 若 则此椭圆的离心率的取值范

y
B2

围为 ( ▲ )
P
( A. 0, 5 +1 4 ) B.(

5 ?1 4

,1)

C.(

5 ?1 2

,1)

D.(0 ,

5 ?1 2

)

A1

F1

O

F2

A2

x

B1

8. 2 0 1 2 ”含有数字 0, 1, 2 ,且有两个数字 2 ,则含有数字 0, 1, 2 , “ 且有两个相同数字的四位数的个数为( ▲ ) A. 18 B. 24 C. 27 D. 36
?x ? 2y ? 3 ? 0 ? 9. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ( ? 3 , 0 ) 处 . ?y ?1 ? 0 ?

取到最大值,则实数 a 的取值范围为( ▲ ) A. ( , ? ? )
2 1

B. (3, 5 )

C. ( ? 1, 2)

D. ( , 1)
3

1

10. 已知集合 M = {1, 2, 3, ? , n } ( n

N *) ,若集合 A = { a1 , a 2 , ? , a m } 臀 M ( m

N *) ,且

对 任 意 的 b ? M , 存 在 ai , a j 危 A ( 1 i # j

m ), 使 得 b = ?1 a i + ? 2 a j ( 其 中

?1 , ? 2 ? { 1, 0,1} ) ,则称集合 A 为集合 M 的一个 m 元基底.给出下列命题:

①若集合 A = {1, 5} , M = {1, 2, 3, 4, 5} ,则 A 是 M 的一个二元基底; ②若集合 A = {2, 3} , M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,则 A 是 M 的一个二元基底; ③若集合 A 是集合 M 的一个 m 元基底,则 m ( m + 1)
n;

④若集合 A 为集合 M = {1, 2, 3, ? ,1 9} 的一个 m 元基底,则 m 的最小可能值为 5 . 其中是真命题的为( ▲ ) A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,为了 调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一 个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 ▲ . 12.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得这个几何体的体积为____ ▲ 13.已知双曲线
x
2

_cm .
2

3

?

y

2

? 1 的一个焦点在圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2

9

m

上,则双曲线的渐近线方程为





14.一个人随机的将编号为 1, 2, 3, 4 的四个小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的四个盒子,每个盒子 放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了,记放对的个 数为随机变量 ? ,则 ? 的期望 E? = ▲ .
1 ? x ? ? 展 开 式的 常数 项, 则 a3 ? a7 ? 3x ?
6

? 15 . 已 知 等 比 数 列 { a n } 的 第 5 项 是 二 项 式 ? ?





16.如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 ABE ,已 知 AB ? 2 , AE ? BE ?
3 ,且当规定主(正)视方向垂直平面 ABCD 时, 2 该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 M 、 N 分别是线段 DE 、 CE 上 2 的动点,则 AM ? MN ? NB 的最小值为 ▲ .

D

C

M
N

A E 第 16 题

B

17.已知 m 是正整数,若关于 x 的方程 2 x ? m 1 0 ? x ? m ? 1 0 ? 0 有整数解,则 m 所有可 能的取值集合是 ▲ .

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)己知在锐角 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且
tan C ? ab
2 2 2

a ?b ?c (Ⅰ)求角 C 大小;

.

(Ⅱ)当 c ? 1 时,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 S n ? 1 ? p S n ? q ( p , q 为常数,
n? N ) ,
*

a1 ? 2, a 2 ? 1, a 3 ? q ? 3 p .

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 m , n ,使
Sn ? m S n ?1 ? m ? 2
m m

2 ?1

成立?若存在,求出所有符合条件的

有序实数对 ( m , n ) ;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 15 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,O 为
A C 的中点,平面 ABC ⊥平面 P A C ,

P

A

O

C

B

AB ? BC ? AP ? PC ?

2 , ? ABC ? ? APC ? 90 .

?

(Ⅰ)求证: O B ? O P ; (Ⅱ)求直线 P A 与平面 P B C 所成角的正弦值; (III)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角
M ? P A ? C 的余弦值为
3 11 11

,求 BM 的最小值.

21. (本小题满分 15 分)设椭圆 C 1 :
x ? 4 3y
2

x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的一个顶点与抛物线 C 2 : a2 b

2

2

的焦点重合, F1 , F 2 分别是椭圆的左右焦点,离心率 e ?

1 2

,过椭圆右焦

点 F2 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 M , N 两点. (I)求椭圆 C 1 的方程; (II)是否存在直线 l ,使得 O M ? O N ? ? 2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在, 说明理由; (III)若 A B 是椭圆 C 1 经过原点 O 的弦,且 M N // A B ,求证:
| AB |
2

???? ???? ?

为定值.

| MN |

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 3

x ? bx
3

2

? cx ? d ,设曲线 y ? f ( x ) 在与 x 轴

交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 , f ? ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,满足 f ?( 2 ? x ) ? f ?( x ) . (1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x ) ? x
f ?( x ) , m ? 0 ,求函数 g ( x ) 在 [0, m ] 上的最大值;

? (3)设 h ( x ) ? ln f ( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h ( x ? 1 ? t ) ? h (2 x ? 2 ) 恒成立,求

实数 t 的取值范围.

特别提醒:本试题所有答案均做在答题卡或答题纸上,否则答题无效!

路桥中学高三(下)第 2 次月考试卷 数 学(理科)参考答案 本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.若复数 z ? (1 ? i) ? i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是( B ) A. ? 1 2.已知 sin (? ? A. ?
4 5

B. 1
?
3 ) ? sin ? ? ? 5

C. ? i
4 3 ,?

D. i
? ? ? 0, 则 co s(? ?
2? 3 ) 等于(

?
2

D )

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

3.阅读右面的程序框图,则输出的 k ? ( A ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 ? 1 1 ? x ” 4.若 0 ? x ? ,则“ x ? ”是的“ ( A )
2 sin x sin x

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5.设 A , B , C , D 是平面上互异的四个点,若 ( DB ? DC ? 2 DA ) ? ( AB ? AC ) ? 0 , 则△ABC 的形状是( B ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

?1, x ? 0 ? 2 6. 已知符号函数 sg n ( x ) ? ? 0 , x ? 0 , 则函数 f ( x ) ? sg n (ln x ) ? ln x 的零点个数为 C ( ? ? 1, x ? 0 ?



A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

7.如图,椭圆的中心在坐标原点 O ,顶点分别是 A1 , A2 , B 1 , B 2 ,焦点为 F1 , F 2 ,延长 B1 F 2 与
A2 B 2 交于 P 点, ? B 1 PA 2 为钝角, 若 则此椭圆的离心率的取值范

y
B2

围为 (
( A. 0,

C )
P
5 +1 4 ) B.(

5 ?1 4

,1)

C.(

5 ?1 2

,1)

D.(0 ,

5 ?1 2

)

A1

F1

O

F2

A2

x

8. 2 0 1 2 ” “ 含有数字 0, 1, 2 , 且有两个数字 2 , 则含有数字 0, 1, 2 , 且有两个相同数字的四位数的个数为( B ) A. 18 B. 24 C. 27 D. 36

B1

?x ? 2y ? 3 ? 0 ? 9. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ( ? 3 , 0 ) 处 . ?y ?1 ? 0 ?

取到最大值,则实数 a 的取值范围为( A ) A. ( , ? ? )
2 1

B. (3, 5 )

C. ( ? 1, 2)

D. ( , 1)
3

1

10. 已知集合 M = {1, 2, 3, ? , n } ( n

N *) ,若集合 A = { a1 , a 2 , ? , a m } 臀 M ( m

N *) ,且

对 任 意 的 b ? M , 存 在 ai , a j 危 A ( 1 i # j

m ), 使 得 b = ?1 a i + ? 2 a j ( 其 中

?1 , ? 2 ? { 1, 0,1} ) ,则称集合 A 为集合 M 的一个 m 元基底.给出下列命题:

①若集合 A = {1, 5} , M = {1, 2, 3, 4, 5} ,则 A 是 M 的一个二元基底; ②若集合 A = {2, 3} , M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,则 A 是 M 的一个二元基底; ③若集合 A 是集合 M 的一个 m 元基底,则 m ( m + 1)
n;

④若集合 A 为集合 M = {1, 2, 3, ? ,1 9} 的一个 m 元基底,则 m 的最小可能值为 5 . 其中是真命题的为( D ) A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,为了 调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一 个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 ▲ .10 12.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得这个几何体的体积为____ ▲ 13.已知双曲线
x
2

_cm . 4
2

3

?

y

2

? 1 的一个焦点在圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2

9

m

上,则双曲线的渐近线方程为



.y ? ?

4 3

x

14.一个人随机的将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子, 每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设 放对的个数记为 ? ,则 ? 的期望 E? = ▲ .1
? ? 1 ? ? 展 开 式的 常数 项, 则 a3 ? a7 ? 3x ?
6

15 . 已 知 等 比 数 列 { a n } 的 第 5 项 是 二 项 式 ? ▲ .
25 9

x ?

16.如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 ABE ,已 知 AB ? 2 , AE ? BE ?
3 ,且当规定主(正)视方向垂直平面 ABCD 时, 2 该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 M 、 N 分别是线段 DE 、 CE 上 2 的动点,则 AM ? MN ? NB 的最小值为 ▲ .3

D

C

M
N

A E 第 16 题

B

17.已知 m 是正整数,若关于 x 的方程 2 x ? m 1 0 ? x ? m ? 1 0 ? 0 有整数解,则 m 所有可 能的取值集合是 ▲ . ? 3,1 4, 3 0 ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)己知在锐角 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且
tan C ? ab
2 2 2

a ?b ?c (Ⅰ)求角 C 大小;

.

(Ⅱ)当 c ? 1 时,求 a 2 ? b 2 的取值范围. 解: (Ⅰ)由已知及余弦定理,得
C ? sin C co s C ? ab 2 a b co s C , sin C ? 1 2 , 因为 C 为锐角,所以

?
6

. ??6 分





















a sin A

?

b sin B

?

c sin C

?

1 1 2

? 2



? a ? 2 sin A , b ? 2 sin B ? 2 sin ( A ?

?
6

).

a ? b ? 4[sin A ? sin ( A ?
2 2 2 2

?
6

)] ? 4[

1 ? co s 2 A 2

1 ? co s( 2 A ? ? 2

?

) 3 ]

? 4[1 ?

1 2

co s 2 A ?

1 1 3 ? ( co s A ? sin 2 A )] ? 4 ? 2 3 sin ( 2 A ? ). 2 2 2 3

??????

11 分

? ? 由? 0 ? A ? , 得? ? A ? ? . ? 2 3 2 ? 5? ? ?0 ? ? A? ? 6 2 ?
?

?
3

? 2A ?

?
3

?

2? 3

,

3 2

? sin ( 2 A ?

?
3

) ? 1 .? 7 ? a ? b ? 4 ? 2 3 .
2 2

??????

?14 分 19. (本小题满分 14 分)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 S n ? 1 ? p S n ? q ( p , q 为常数,
n? N ) ,
*

a1 ? 2, a 2 ? 1, a 3 ? q ? 3 p .

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 m , n ,使
Sn ? m S n ?1 ? m ? 2
m m

2 ?1

成立?若存在,求出所有符合条件的

有序实数对 ( m , n ) ;若不存在,说明理由.
? S 2 ? p a1 + q , ?3 ? 2 p + q, 解: (Ⅰ)由题意,知 ? 即? ?3 + q ? 3 p ? 3 p + q, ? S3 ? pS2 + q,

1 ? ?p ? , 解之得 ? 2 ?q ? 2 . ?

?????2


? S n ?1 ? 1 2 Sn ? 2

,①
? 1 2

当n≥

2

时, S n

?

1 2

S n ?1 ? 2

,②

① ? ②得, a n ? 1 分 又 a2 ? 所
an ? 1 2
n?2

an ? n ≥ 2 ? ,

?????????????????????4

1 2

a1 ,所以 a n ? 1 ?

1 2

an ? n ? N

*

? ,所以 ? a ? 是首项为 2 ,公比为
n

1 2

的等比数列, 以

.??????????????????????????????7 分

2 (1 ?

1 2 1 2
n

) ? 4 (1 ?

(Ⅱ)由⑵得, S n ?
1?

1 2
n

) ,由

Sn ? m S n ?1 ? m

? 2

2
m

m

?1

,得

4 (1 ? 4 (1 ?

1 2 1 2
n

)?m ? 2

2
m

m

)?m n +1

?1

,即

2 (4 ? m ) ? 4
n n

2 (4 ? m ) ? 2

?

2
m

m

2 ? 1

,??????????????

10 分 即
2 2 (4 ? m ) ? 2
n

? 2

1
m

?1

,因为 2 m ? 1 ? 0 ,所以 2 n ( 4 ? m ) ? 2 ,

所以 m ? 4 ,且 2 ? 2 n (4 ? m ) ? 2 m + 1 + 4 , ( ? ) 因为 m ? N * ,所以 m 12 分 当m
? 1 时,由 ( ? ) 得, 2 ? 2 ? 3 ? 8
n

?1或2

或 3 .?????????????????????

,所以 n

? 1;

当 m ? 2 时,由 ( ? ) 得, 2 ? 当m
?3

2 ? 2 ? 12
n

,所以 n ? 1 或 2 ;
? 2

时,由 ( ? ) 得, 2 ? 2 n ? 20 ,所以 n

或3 或4 ,

综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 ( m , n ) 为:
(1,1), (2,1), (2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4)

.?????????????????????

??14 分 20. (本小题满分 15 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, O 为 A C 的中点,平面 ABC ⊥平 面 PAC ,
AB ? BC ? AP ? PC ? 2 , ? ABC ? ? APC ? 90 .
?

P

(Ⅰ)求证: O B ? O P ; (Ⅱ)求直线 P A 与平面 P B C 所成角的正弦值; (III)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角
M ? P A ? C 的余弦值为
3 11 11

A

O

C

,求 BM 的最小值.
B

z

P

解: (Ⅰ)因为 O 为 A C 的中点, AB=BC,所以 OB ? OC , ∵平面 ABC ⊥平面 P A C ,平面 ABC ? 平面 APC ,

A

O

C

y

B

x

∴ OB ? 平面 PAC,∴ O B ? O P ;

………5 分

(Ⅱ)以 O 为坐标原点, O B , O C , O P 分别为 x , y , z 轴 建立如图所示空间直角坐标系,因为 AB=BC=PA= 2 , 所以 OB=OC=OP=1,从而 O(0,0,0),B(1,0,0), A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), ∴ BC ? ( ? 1, 0 ,1), PB ? (1, 0 , ? 1), AP ? ( 0 ,1,1) 设平面 PBC 的法向量 n 1 ? ( x , y , z ) ,由 BC ? n 1 ? 0 , PB ? n 1 ? 0 得方程组
?? x ? y ? 0 AP ? n 1 ? ,取 n 1 ? (1,1,1) ,∴ cos ? AP , n 1 ?? ? ?x ? z ? 0 AP n 1
6 3

6 3

∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 分

;????????????????10

(III)由题意平面 PAC 的法向量 n 2 ? (1, 0 , 0 ) , 设平面 PAM 的法向量为 n 3 ? ( x , y , z ), M ( m , n , 0 ) ∵ AP ? ( 0 ,1,1), AM ? ( m , n ? 1, 0 ) 又因为 AP ? n 3 ? 0 , AM ? n 3 ? 0 ∴?
?y ? z ? 0 ? mx ? ( m ? 1) y ? 0

取 n3 ? (

n ?1 m

, ? 1,1) ,

n ?1

∴ cos ? n 2 , n 3 ??

n2 ? n3 n2 n3

?

m ? n ?1? ? ? ?2 ? m ?
2

?

3 11 11

? n ?1? ∴? ? ? m ?

2

? 9 ,∴ n ? 1 ? 3 m 或 n ? 1 ? ? 3 m (舍去)

∴B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d ? 分

10 5

.?????????????????15

21. (本小题满分 15 分)设椭圆 C 1 :
x ? 4 3y
2

x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的一个顶点与抛物线 C 2 : a2 b

2

2

的焦点重合, F1 , F 2 分别是椭圆的左右焦点,离心率 e ?

1 2

,过椭圆右焦

点 F2 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 M , N 两点. (I)求椭圆 C 1 的方程; (II)是否存在直线 l ,使得 O M ? O N ? ? 2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在, 说明理由; (III)若 A B 是椭圆 C 1 经过原点 O 的弦,且 M N // A B ,求证: 解:(I)椭圆的顶点为 (0, 3 ) ,即 b ?
? 椭圆的标准方程为
x
2

???? ???? ?

| AB |

2

为定值.

| MN |

3 ,e ?

c a

?

1?

b a

2 2

?

1 2

,解得 a ? 2 ,

?

y

2

? 1 ???????????????????????

4

3

5分 (II)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. ②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)( k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) .
2 ? x2 y ? ?1 ? 3 ? 4 ? y ? k ( x ? 1) ?





(3 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 k ? 1 2 ? 0
2 2 2 2



x1 ? x 2 ?

8k

2 2

3 ? 4k



x1 ? x 2 ?

4k ? 12
2 2

3 ? 4k ???? ???? ? 2 O M ? O N ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? k [ x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1]



=

4k ? 12
2

3 ? 4k

2

?k (
2

4k ? 12
2

3 ? 4k

2

?

8k

2 2

3 ? 4k

? 1) ?

?5k ? 12
2

3 ? 4k

2

? ?2

所以 k ? ? 2 , 故直线 l 的方程为 y ? 2 ( x ? 1) 或 y ? ? 2 ( x ? 1) ?????????? 10 分 (III)设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , A ( x 3 , y 3 ), B ( x 4 , y 4 ) 由(II)可得: |MN|= 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? = (1 ? k 2 )[(
8k
2 2 2

(1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
2 2

3 ? 4k

) ? 4(

4k ? 12
2

3 ? 4k

2

)] ?

1 2 ( k ? 1)
2

3 ? 4k

2



2 ? x2 y ? ?1 12 ? 由? 4 消去 y,并整理得: x 2 ? 3 2 3 ? 4k ? y ? kx ?



4 8 (1 ? k )
2

|AB|= 1 ? k 2 | x 3 ? x 4 |? 4 15 分

3(1 ? k )
2

3 ? 4k

2

,∴

| AB |

2

?

| MN |

3 ? 4k ? 4 为定值 2 1 2 ( k ? 1)
2

???????

3 ? 4k

2

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 3

x ? bx
3

2

? cx ? d ,设曲线 y ? f ( x ) 在与 x 轴

交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 , f ? ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,满足 f ?( 2 ? x ) ? f ?( x ) . (1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x ) ? x
f ?( x ) , m ? 0 ,求函数 g ( x ) 在 [0, m ] 上的最大值;

? (3)设 h ( x ) ? ln f ( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h ( x ? 1 ? t ) ? h (2 x ? 2 ) 恒成立,求

实数 t 的取值范围.
2 解: (1) f ? ( x ) ? x ? 2 b x ? c , ? f ?( 2 ? x ) ? f ?( x ) ,

?





y ? f ?( x )













线

x ?1









b ? ? 1 .?????????????2 分

? 直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0 ) ,? f (3) ? 0 ,且 f ? (3) ? 4 ,

即 9 ? 9 b ? 3 c ? d ? 0 ,且 9 ? 6 b ? c ? 4 ,解得 c ? 1 , d ? ? 3 . 则
f (x) ? 1 3 x ? x ? x ? 3 . ?????????????????????????5 分
3 2



2


2

2 2 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)



? x ? x , x ? 1, ? 2 g ( x ) ? x ( x ? 1) ? x x ? 1 ? ? ????7 分 2 ? x ? x , x ? 1. ?

其图像如图所示.当 x ? x ?
2

1 4

时, x ?

1? 2
2

2

y

,根据图像得:

2 1

(ⅰ)当 0 ? m ?
1 2 1? 2

1 2

时, g ( x ) 最大值为 m ? m ;
2 2 2
1 4
?1

(ⅱ)当

? m ?

1?

时, g ( x ) 最大值为



O

1

1? 2

2

2 x

(ⅲ)当 m ?

时, g ( x ) 最大值为 m ? m . ??10 分
2

( 3 ) 方 法 一 : h ( x ) ? ln ( x ? 1) ? 2 ln x ? 1
2

, h ( x ? 1 ? t ) ? 2 ln x ? t



h ( 2 x ? 2 ) ? 2 ln 2 x ? 1 ,
? 当 x ? [0, 1] 时, 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 , ? 不等式 2 ln x ? t ? 2 ln 2 x ? 1 恒成立等价于 x ? t ? 2 x ? 1 且 x ? t 恒成立,

由 x ? t ? 2 x ? 1 恒成立,得 ? x ? 1 ? t ? 3 x ? 1 恒成立,
? 当 x ? [0, 1] 时, 3 x ? 1 ? [1, 4] , ? x ? 1 ? [ ? 2, ? 1] ,? ? 1 ? t ? 1 ,????????12

分 又 ? 当 x ? [0, 1] 时 , 由 x ? t 恒 成 立 , 得 t ? [0,1] , 因 此 , 实 数 t 的 取 值 范 围 是
? 1 ? t ? 0 .??14 分

方法二: (数形结合法)作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [ 0 , 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图) ,
y

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ? 1 或 t ? 1 , ? 要使不等式 x ? t ? 2 x ? 1 对 x ? [0, 1] 恒成立,

4 B 3 2
A ? 2 ? 1O

必须 ? 1 ? t ? 1 ,

?????????????12 分

1 1 2

又? 当函数 h ( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,
? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ? [0,1] ,

3 4 x

因此,实数 t 的取值范围是 ? 1 ? t ? 0 .
2

?????????????14 分

方法三:? h ( x ) ? ln( x ? 1) , h ( x ) 的定义域是 { x x ? 1} ,
? 要使 h ( x ? 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立, ? x ? [0, 1] ,? t ? [0,1] ,即 t ? 0 或 t ? 1 . ??????①

???????12 分

由 h ( x ? 1 ? t ) ? h (2 x ? 2 ) 得 ( x ? t ) ? (2 x ? 1) ,
2 2

即 3 x ? (4 ? 2 t ) x ? 1 ? t ? 0 对 x ? [0, 1] 恒成立,
2 2 2 2 令 ? ( x ) ? 3 x ? (4 ? 2 t ) x ? 1 ? t , ? ( x ) 的对称轴为 x ? ?

2?t 3



2?t ? ? 2?t ? 2?t ? 1, ? 0, ? 1, ?? ?0 ? ? ?? 则有 ? 或? 或? 3 3 3 ? ? ? ( 4 ? 2 t ) 2 ? 4 ? 3 ? (1 ? t 2 ) ? 0 ? ? (1) ? 0 ? ? (0 ) ? 0 ? ? ?

解得 ? 1 ? t ? 1 . ??????② 综合①、②,实数 t 的取值范围是 ? 1 ? t ? 0 .

?????????????14 分


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