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(寒假总动员)2015年高二数学寒假作业 专题17 直接证明与间接证明(学)


专题 17

直接证明与间接证明

学一学------基础知识结论 1.综合法证明 (1)综合法的的定义 一般地,从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出 所要证 明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. (2)综合法的的基本思路:执因索果 综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证

,即从数学题的已知条件出发,经过逐步 的逻辑推理,最后导出待证结论或需求的问题. 综合法这种由因导果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法. (3)综合法的思维框图: 用 P 表示已知条件, 法可用框图表示为:

Qi(i ? 1,2,3,. . . ,n)

为定义、定理、公理等, Q 表示所要证明的结论,则综合

P ? Q1 ? Q1 ? Q2 ? Q2 ? Q3 ? ... ? Qn ? Q
(已知) (逐步推导结论成立的必要条件) (结论) 温馨提醒: (1)从“已知”看“可知” ,逐步推出“未知” ,由因导果,其逐步推理实际上是寻找它的必要 条件; (2)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达 推理的思维轨 迹; (3)因用综合法证明命题“若 A 则 D”的思考过程可表示为:

(4)综合法证明不等式时常用的不等式 (1)a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号) ;

a?b ? ab (2) 2 (a,b∈R*,当且仅当 a=b 时取“=”号) ;
(3)a2≥0,|a|≥0, (a-b)2≥0;

b a b a ? ?2 ? ? ?2 (4) a b (a,b 同号) ;a b (a,b 异号) ; a 2 ? b2 ?
(5)a,b∈R, (6)不等式的性质

1 (a ? b) 2 2 ,

定理 1 对称性:a>b ? b<a。

a ? b? ??a ?c b ? c ? 定理 2 传递性: 。

1

a ? b? ?? a?c ?b?c c ? R ? 定理 3 加法性质: 。 a ? b? ?? a?c ?b?d c ? d? 。

推论

a ? b? ? ? ac ? bc c ? 0 ? 定理 4 乘法 性质: 。 a ? b ? 0? ? ? ac ? bc c ? d ? 0? 推论 1 。 a ? b ? 0? n n ??a ?b n? N * ? 。

推论 2

a ? b ? 0? n n ?? a ? b n ? N * ? 定理 5 开方性质: 。
2.分析法证明 (1)分析法的定义 一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直 至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等) ,或由已知证明成立,从而确定所证的 命题成立的一种证明方法,叫做分析法. (2)分析法 的基本思路:执果索因 分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发,分析使 之成立的条件,即寻求使每 一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理 、定 义、公理等)为止. 分析法这种执果索因的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。 (3)分析法的思维框图 用

P ( , 2, 3, ) i i ?1 表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等, Q 所要证明的结论,则用分析法证

明可用框图表示为:

Q?P 1 ? P 1 ? P 2 ? P 2 ? P 3 ? ... ? 得到一个明显成立的条件
(结论) (逐步寻找使结论成立的充分条件) (已知) (4)分析法的格式 要证??,只需证??,只需证??,因为??成立,所以原不等式得证。 温馨提醒: (1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知” ,执果索因,逐步靠拢“已知” ,其逐 步推理,实际上是寻找它的充分条件. (2)由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性 与规范性,即分析法有独特的表述. 3.综合法与分析法的横向联系 (1) 综合法是把整个不等式看做一个整体,通过对欲证不等式的分析、观察,选择恰当不等式作为证题 的出发点,其难点在于到底从哪个不等式出发合适,这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作 为定理性质的 不等式,还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.

2

分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点是宜于表述,条理清 晰,形式简洁. 我们在证明不等式时,常用分析法寻找解题思路,即从结论出发,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的 “因” ,再用综合法有条理地表述证题过程.分析法一般用于综合法难以实施的时候. (2) 有些不等式的证明,需要把综合法和分析法联合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到 中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P.若由 P 可以推出 Q 成立,就可以证明结 论成立,这种边分析边综合的证明方法,称之为分析综合法,或称“两头挤法” . 分析综合法充 分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系,分析的终点是综合 的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点. 命题“若 P 则 Q”的推演过程可表示为:

4.反证法证题 间接证明不是从正面确定命题的真实性,而是证明它的反面为假,或改证它的等价命题为真,间接地达到 目的,反证法是间接证明的一种基本方法. ( 1)反证法定义 一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命 题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假 设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. (2)反证法的基本思路:假设——矛盾——肯定” ①分清命题的条件和结论. ②做出与命题结论相矛盾的假设. ③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果. ④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命题为真. (3)反证法的格式: 用反证法证明命题“若 p 则 q”时,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下:

导致逻 ?推理 ?? ? 辑矛盾 否定结论q 肯定条件p,

“若p则?q” ?? ? 为假命题

“若p则q” ?? ? 为真命题

温馨提醒: (1)反证法是间接证明的一种基本方法. 它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理 , 得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明 了命题的结论一定是正确的. (2) 反证法的优点:对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件. (4)反证法的一般步骤: (1)反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反面成立; (2)归谬: 由“反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、 反设及明显 的事实矛盾或自相矛盾; (3)结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结 论成立. 温馨提醒: (1)结论的反面即结论的否定,要特别注意:

3

“都是”的反面为“不都是” ,即“至少有一个不是” ,不是“都 不是” ; “都有”的 反面为“不都有” ,即“至少有一个没有” ,不是“都没有” ; “都不是”的反面是“部分是或全部是” ,即“至少有一个是” ,不是“都是” ; “都没有”的反面为“部分有或全部有” ,即“至少有一个有” ,不是“都有” (2)归谬的主要类型: ①与已知条件矛盾; ②与假设矛盾(自相矛盾) ; ③与定义、定理、公理、事实矛盾. 学一学------方法规律技巧 间接证明(反证法) 反证法体现出正难则反的思维策略(补集的思想)和以退为进的思维策略,故在解决某些正面思考难度较 大和探索型命题时,有独特的效果.常用的有这样几方面:① 要证的结论与条件之间的联系不明显,直接 由条件推出结论的线索不够清晰;比如“存在性问题、唯一性问题”等;② 如果从正面证明,需要分成多 种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至 多有一个”等字样的数学问题. x-2 例 1、已知 f(x)=ax+ (a>1). x+1 (1) 证明 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2) 用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 【答案】详见解析 【解析】 (1) 设-1<x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1>1,ax1>0,x1+1>0,x2+1>0,从而 f(x2)-f(x1) x2-2 x1-2 3x2-x1 =ax2-ax1+ - =ax1 (ax2-x1-1)+ >0,所以 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x2+1 x1+1 x2+1x1+1 x0-2 (2) 设存在 x0<0(x0≠-1)使 f(x0)=0,则 ax0=- . x0+1 由 0<ax0<1 x0-2 1 0<- <1,即 <x0<2,此与 x0<0 矛盾,故 x0 不存在. 2 x0+1

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