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等差数列知识点总结和题型分析


等差数列
一.等差数列知识点:
知识点 1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示
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知识点 2、等差数列的判定方法: ②定义法:对于数列 ?a n ? ,若 a n ?1 ? a n ? d (常数),则数列 ?a n ? 是等差数列 ③等差中项:对于数列 ?a n ? ,若 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,则数列 ?a n ? 是等差数列 知识点 3、 等差数列的通项公式:
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④如果等差数列 ?a n ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为
a n ? a1 ? (n ? 1)d

该公式整理后是关于 n 的一次函数 ⑥ S n ? na1 ?
n(n ? 1) d 2
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知识点 4、等差数列的前 n 项和: ⑤ Sn ?
n(a1 ? a n ) 2

对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、 等差中项:
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⑥如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即: A ?
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a?b 或 2

2A ? a ? b

在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它 的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项 的等差中项
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知识点 6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系:如果 a n 是等差数列的第 n 项,a m 是等差数列的 第 m 项,且 m ? n ,公差为 d ,则有 a n ? a m ? (n ? m)d ⑧ 对于等差数列 ?a n ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 a n ? a m ? a p ? a q 也就是: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ⑨若数列 ?a n ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2 k ? S k ,
S 3k ? S 2 k 成等差数列 如下图所示:
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1

???????????S 3 k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2 k ?1 ? ? ? a3k ???? ??? ? ? ?? ??? ? ? ??? ?? ? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

10、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 S 2 n
且 S偶 ? S奇

? n ? an ? an?1 ? ,
? ? 2n ? 1? an , 且

? nd ,
S奇 S偶

S奇 S偶
?

?

an an ?1

. ② 若 项 数 为 2n ? 1 n ? ?

?

*

? ,则 S

2 n ?1

S奇 ? S偶 ? a , n

n (其中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ? 1? an ) . n ?1

二、题型选析:
题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)
1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a A . -1 A.49 B.1 C .-2 B.50 D. 2 ( D.52 ) D.45 ) ) C.51 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 等于( )

3.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( A.92 B.47 C.46

4、已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是( ( A 15 B 30 C 31 )

D 64 )

5. 首项为-24 的等差数列, 从第 10 项起开始为正数, 则公差的取值范围是? ( A.d>
8 3

B.d<3

C.

8 ≤d<3 3

8 D. <d≤3 3

6、.在数列 { a n } 中, a1 ? 3 ,且对任意大于 1 的正整数 n ,点 ( a n , a n ?1 ) 在直
x ? y ? 3 ? 0 上,则 an =_____________.

7、在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= 8、等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( )



(A)12 (B)10 (C)8 (D)6 9、设数列 ?an ?的首项 a 1 ? ?7, 且满足a n ?1 ? a n ? 2 (n ? N) , a 1 ? a 2 ? ? ? a 17 ? ______. 则 10、已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = __________ 11、已知数列的通项 an= -5n+2,则其前 n 项和为 Sn= .

2

12、设 S n 为等差数列 ?a n ?的前 n 项和, S 4 =14, S10 ? S7 ? 30 ,则 S 9 =

.

题型二、等差数列性质
1、已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 ) )

2、设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? (
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

3、 若等差数列 ?a n ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 a7 ? __________ . 4、记等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d=(
A.7 B. 6 C. 3 D. 2 )



1 5、等差数列 {an } 中,已知 a 1 ? , a 2 ? a 5 ? 4 , a n ? 33 ,则 n 为( 3
(A)48 (B)49 (C)50 (D)51

6.、等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A.1 B.-1 C.2 D.

) )

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5

1 2

8、已知等差数列{an}满足 α1+α2+α3+…+α101=0 则有( ) A.α1+α101>0 B.α2+α100<0 C.α3+α99=0 D.α51=51 9、如果 a1 , a2 ,…, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则(

)

(A) a1 a8 ? a4 a5 (B) a8 a1 ? a4 a5 (C) a1 + a8 ? a4 + a5 (D) a1 a8 = a4 a5 10、若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和 为 390,则这个数列有( ) (A)13 项 (B)12 项 (C)11 项 (D)10 项

题型三、等差数列前 n 项和 1、等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? p , an ?9 ? an ?8 ? ? ? an ? q ,则其前
n 项和 S n ?
. 2、等差数列 ? 2,1,4,? 的前 n 项和为 ( ) 1 1 1 1 A. n?3n ? 4? B. C. D. n?3n ? 7 ? n?3n ? 4? n?3n ? 7 ? 2 2 2 2 3、已知等差数列 ?a n ? 满足 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a99 ? 0 ,则 ( ) A. a1 ? a99 ? 0 网 ZXXK] 4、在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? a 2 ? a3 ? 15, a n ? a n?1 ? a n?2 ? 78 , S n ? 155 , B.
a1 ? a99 ? 0

C.

a1 ? a99 ? 0

D.

a50 ? 50 [来源:学科

3

则n ?

。 )

5、等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( A.12 B.18 C.24 D.42

6、若等差数列共有 2n ? 1 项 ?n ? N * ?,且奇数项的和为 44,偶数项的和为 33, 则项数为 A. 5 ( B. 7 ) C. 9 D. 11

7、 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? a S 7n 8、 若两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 Sn,Tn ,已知 n ? ,则 5 等 b5 Tn n ? 3 于( A. 7 ) B.
2 3

C.

27 8

D.

21 4

题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{ a n }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a 20 ? 50. (Ⅰ)求通项 a n ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

2、已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 S n 的最大值。

3、设 ?an ?为等差数列, S n 为数列 ?an ?的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 ,

S15 ? 75 , Tn 为数列 ?

?Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn 。 ?n?

4、已知 ?a n ?是等差数列, a1 ? 2 , a 3 ? 18 ; ?bn ?也是等差数列, a 2 ? b2 ? 4 ,

4

(1)求数列 ?bn ?的通项公式及前 n 项和 S n 的公式; 由。

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a1 ? a2 ? a3 。

(2)数列 ?a n ?与 ?bn ?是否有相同的项? 若有,在 100 以内有几个相同项?若没有,请说明理

5、设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.

6、已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n
'

项和为 S n ,点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? 整数 m;

?

3 m ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正 a n a n ?1 20

五、等差数列习题精选
1、等差数列 {a n } 的前三项依次为 x , 2 x ? 1 , 4 x ? 2 ,则它的第 5 项为( A、 5 x ? 5 B、 2 x ? 1 C、5 D、4 ) D、12 2、设等差数列 {a n } 中, a 4 ? 5, a9 ? 17 ,则 a14 的值等于( A、11 B、22 C、29 )

3、设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ? ( )

5

A. 120

B. 105

C. 90 ( )

D. 75

4、若等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,则 (A) a 2 a6 ? a3 a5 (C) a 2 a6 ? a3 a5 的取值范围是( A. ? ? 0 (A) 3 A、 p ? q 首项是 A、1 9、已知 A. -1 (B) ) B. ? ? 0 2 (C)
?2

(B) a 2 a6 ? a3 a5 (D) a 2 a 6 与 a 3 a 5 的大小不确定

n 5、 已知 ?an ? 满足,对一切自然数 n 均有 an ?1 ? an ,且 an ? n 2 ? ? 恒成立,则实数 ?

C. ? ? 0 (D) 2 或?2

D. ? ? ?3 )

中,a1 ? 1, 公差d ? 0, 若a1 , a2 , a5 成等比数列,则d 为 ( 6、等差数列 ?an ?

7、在等差数列 ?a n ? 中, a p ? q, a q ? p( p ? q) ,则 a p ?q ? B、 ? ( p ? q) C、0 D、 pq 8、设数列 ?a n ? 是单调递增的等差数列,前三项和为 12,前三项的积为 48,则它的 C、4 D、8 a ? a ? a ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 a 为等差数列, 1 3 5 ,则 20 等于( B. 1
1 2

B、2



C. 3
1 2

D.7

10、已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.- C. D.2 ( D9 ) D.27 )

11、在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 A.18 A.63 则n ? A. S n ? An 2 ? Bn ? C C.
S n ? An 2 ? Bn ? C ?a ? 0 ?

B 27 B.45 。

C 36 C.36

12、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( 13、在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? a 2 ? a3 ? 15, a n ? a n?1 ? a n?2 ? 78 , S n ? 155 , 14、数列 ?a n ? 是等差数列,它的前 n 项和可以表示为 B. D. ( )

S n ? An 2 ? Bn
S n ? An 2 ? Bn ?a ? 0 ?

6

小结 1、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?
a?b 2

2、为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…, ; a ? 2 d , a ? d, a, a? d, a? 2 d… ( 公 差 为 d ) 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 … ,
a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,…(公差为 2 d )

3、当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的 一次函数,且斜率为公差 d ;若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则 为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 4、当 m ? n ? p ? q时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有
am ? an ? 2 a p .

5、若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、
{a p ? nq }( p, q ? N * ) 、 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,…也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;

等差数列参考答案 题型一:计算求值 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 D 6 3n2 7 -49

7

题号 答案

8 C

9 153

10 15

11 -(5n2+n)/2

12 54

13

14

题型二、等差数列的性质 1、C 4、C B 10、A 题型三、等差数列前 n 项和 1、5n(p+q) 7、45 2、B 3、C 4、n=10 5、24 6、S 奇/S 偶=n/n-1=4/3, n=4 8、D(a5/b5=S9/T9) 5、C 2 、 D 6、B 7、A 3 、 12 8、C 9、 (a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12)

题型四:等差数列综合题精选
1、解: (Ⅰ)由 a n ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a 20 ? 50, 得方程组

?a1 ? 9d ? 30, ? ?a1 ? 19 d ? 50 .
(Ⅱ)由 S n ? na1 ?

……4 分 解得 a1 ? 12, d ? 2.

所以

an ? 2n ? 10.

n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 2 n(n ? 1) 12 n ? ? 2 ? 242 . ……10 分 解得 n ? 11或n ? ?22(舍去). 2

8

2、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件,得 ?

? a1 ? d ? 1 , ? a1 ? 4d ? ?5

解出 a1 ? 3 , d ? ?2 .所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2 所以 n ? 2 时, S n 取到最大值 4 .
1 n?n ? 1?d 2

3、解:设等差数列 ?an ?的公差为 d ,则 S n ? na1 ?

∵ ∴ ?

S 7 ? 7 , S15 ? 75 ,
?7a1 ? 21d ? 7 , ?15a1 ? 105d ? 75 ,

即 ?

?a1 ? 3d ? 1 , ?a1 ? 7d ? 5 ,

解得 ∵ ∴

a1 ? ?2 , d ? 1。

S n?1 S n 1 ? ? ,∴ n ?1 n 2 Tn ? 1 2 9 n ? n。 4 4

Sn 1 1 ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2 ? ?n ? 1? , n 2 2 ?S ? 1 数列 ? n ? 是等差数列,其首项为 ? 2 ,公差为 , 2 ?n?



4、解: (1)设{an}的公差为 d1,{bn}的公差为 d2 由 a3=a1+2d1 得 所以 a n ? 2 ? 8(n ? 1) ? 8n ? 6 ,所以 a2=10, a1+a2+a3=30

d1 ?

a3 ? a 1 ?8 2

?b 1 ? d 2 ? 6 ?b 1 ? 3 ? 依题意,得 ? 解得 ? ,所以 bn=3+3(n-1)=3n 4?3 ?d 2 ? 3 ?4b 1 ? 2 d 2 ? 30 ? n(b ? b ) 3 2 3 1 n S ? ? n ? n. n 2 2 2 3(m ? 2) (2)设 an=bm,则 8n-6=3m, 既 n ? ①,要是①式对非零自然数 m、n 成立,只需 8 m+2=8k, k ? N ? ,所以 m=8k-2 , k ? N ? ② ②代入①得,n=3k, k ? N ? ,所以 a3k=b8k-2=24k-6,对一切 k ? N ? 都成立。 所以,数列 ?a n ?与 ?bn ?有无数个相同的项。 53 令 24k-6<100,得 k ? , 又 k ? N ? ,所以 k=1,2,3,4.即 100 以内有 4 个相同项。 12
5、解: (Ⅰ)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3…

?S14 ? 77, ? (Ⅱ)由 ?a11 ? 0, ?a ? 6 ? 1

?2a1 ? 13d ? 11, ? 得 ?a1 ? 10 d ? 0, ?a ? 6 ? 1

?2a1 ? 13d ? 11, ? 即 ?? 2a1 ? 20 d ? 0, ?? 2a ? ?12 1 ?

9

由①+②得-7d<11。即 d>- 于是-

11 。由①+③得 13d≤-1 7

即 d≤-

1 13

11 1 <d≤- ,又 d∈Z, 7 13

故 d=-1,将④代入①②得 10<a1≤12. an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,…

又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是

6、解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 S n =3n2-2n.
?

3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- (n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ? 故 Tn=

3 3 1 1 1 = = ( ? ), a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

1 1 1 1 1 ? 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ). ? ? i ?1 1 1 m 1 m 因此,要使 (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m 2 6n ? 1 20 2 20

?b = 2
i

n

≥10,
所以满足要求的最小正整数 m 为 10

题型五、精选练习 题号 答案 题号 答案 1 D 8 B 2 C 9 B 3 B 10 B 4 B 11 A 5 A 12 B 6 B 13 10 7 C 14 B

10


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