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北京市顺义区2015届高三第一次统一练习数学【理】试题及答案


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顺义区 2015 届高三第一次统一练习 数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项) 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {?2, ? 1,1,2} ,则 A

/>B?

A.{?2, ? 1}

B.{?1,2}
2

C.{1,2}

D.{?2,-1,1,2}

2.在复平面内,复数 (1 ? 2i) 对应的点位于

D. 第四象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 ? 3. “? ? ” 是“曲线 y ? sin( x ? ? ) 关于 y 轴对称”的 2 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 C. 充分必要条件 4.当 n ? 5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.2 B.4 C.7 D.11
x y 5.若 4 ? 4 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是

A.[0,1] C.[?1, ??)

B.[?1, 0] D.(??, ?1]

6.若双曲线 程为

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 的离心率为 ,则其渐近线方 2 a b 2

A. y ? ?2 x

B. y ? ?4 x

C. y ? ?

1 x 2

D. ?

1 x 4

? kx ? y ? 4 ?2 y ? x ? 4 ? 7.若 x , y 满足 ? 且 z ? 5 y ? x 的最小值为 ?8 ,则 k 的值为 , ?x ? 0 ? ?y ? 0
A. ? 1 2 B. 1 2
C. ? 2 D.2

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8.已知 f ( x ) 为定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? [0,1) 时,

f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,给出下列命题


f (2014) ? f (?2015) ? 0 ;

②函数 f ( x ) 在定义域上是周期为 2 的函数;

③直线 y ? x 与函数 f ( x ) 的图象有 2 个交点;④函数 f ( x ) 的值域为 (?1,1) . 其中正确的是

A. ①,②

B. ②,③

C. ①,④

D. ①,②,③,④

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知圆的极坐标方程为 ? ? 6sin ? ,圆心为 M ,点 N 的极坐标为 (6, 则 | MN |? 10.设向量 a ? ( 3,1), b ? (2, ?2) ,若 (? a ? b) ? (? a ? b) ,则实数 ? ? 11.已知无穷数列 {an } 满足: a1 ? ?10, an?1 ? an ? 2(n ? N ? ) .则数列 {an } 的前 n 项和的最小值为 12. 如图,在圆内接四边形 ABCD 中, AB // DC ,过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E . 若 AB ? AD ? BC ? 5, AE ? 6 ,则 BE ?

?
6

),

DC ?

13. 如果在一周内(周一至周日)安排四所学校的学生参 酒厂,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两 学校均只参观一天,那么不同的安排方法有 __________种(用数字作答). 14. 已知函数 f ( x) ? 值等于 ? .则 ? 的值为

观顺义啤 天,其余

3 sin ? x ? cos ?x ? ( ? 0), x? R 又 . f ( x1 ) ? ?2, f ( x2 ) ? 0 且 | x1 ? x2 | 的最小

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分)

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在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 b ? 3 2,sin B ? (I)求 a 的值; (II)求 cos C 的值.

? 6 , B? A? . 2 3

16.(本小题满分 13 分) 某农民在一块耕地上种植一种作物,每年种植成本为 800 元,此作物的市场价格和这块地上的产量 均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(I)设 X 表示该农民在这块地上种植 1 年此作物的利润,求 X 的分布列; (II)若在这块地上连续 3 年种植此作物,求这 3 年中第二年的利润少于第一年的概率.

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , AD ? DC ,平面 PAD ? 底 面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 的中点,

PA ? PD ? 2, BC ?

1 AD ? 1, CD ? 3. 2

(I)求证: PQ ? AB ; (II)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (III)求二面角 P ? QB ? M 的余弦值.

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18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a2 x2 ? ax ? ln x . (I)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)设 g ( x) ? a x ? f ( x) ,且函数 g ( x) 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? // l ,且 l ? 在
2 2

y 轴上的截距为 1.求证:无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下方.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 3x ? 4 y ? 12.
2 2

(I)求椭圆 C 的离心率; (II)设椭圆 C 上在第二象限的点 P 的横坐标为 ?1 ,过点 P 的直线 l1 , l2 与椭圆 C 的另一交点分别 为 A, B .且 l1 , l2 的斜率互为相反数, A, B 两点关于坐标原点 O 的对称点分别为 M , N ,求四边形

ABMN 的面积的最大值.

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20.(本小题满分 13 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象的顶点坐标为 ( ?1, ? ) ,且过坐标原点 O . 数列 {an } 的前 n 项和为

1 3

Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 在二次函数 y ? f ( x) 的图象上.
(I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 设 bn ?aa n n
?1

c o s (n 1 ? ) ,( ?n ? N )

?

, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 若 Tn ?t n

2

对 n ? N ? 恒成立,

求实数 t 的取值范围; (III)在数列 {an } 中是否存在这样一些项: an1 , an2 , an3 ,

, ank ,

(1 ? n1 ? n2 ? n3

?

? nk ?

, k ? N ? ) ,这些项都能够构成以 a1 为首项, q(0 ? q ? 5, q ? N? ) 为公比的等比数列

{ank }, k ? N ? ?若存在,写出 nk 关于 k 的表达式;若不存在,说明理由.

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