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高中数学立体几何测试题及答案(四)


高中数学立体几何测试题及答案(四)
河南·周口三中牛俊波供题 2013. 12. 12

一,选择(共 60 分,每小题 4 分) 1,若三棱锥的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是一个内角为 60°的菱形, 则该棱柱的体积为( ) A, 2 ;B,2 2 ;C,3 2 ;D, 4 2 。

1 2,球面上的三个点,其

中任两个点的距离都等于大圆周长的 ,经过这三点的小圆周长伟 6

4π ,则该球的半径为(



A, 3 ;B,2;C,2 3 ;D,4 3 。

3,过球面上的三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2, 16 64 32 则球的表面积为( ) A, π ;B,4π ;C, π ;D, π 。 9 9 9 4,球面上四点 P、A、B、C, PA、PB、PC 两两垂直且相等,长度为 a,则球的表面积为 ( ) A,6π a?;B,4π a?;C,3π a?;D,2π a?。 5,正四面体的内切球与外接球的体积之比为( ) A,1:64;B,1:27;C,1:8;D,1:3。 6,圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π ,则 圆台较小底面的半径为( ) A,7;B,6;C,5;D,3。 7,在长方形 ABCD 中,AB=2 3 ,AD=2,将此长方形沿对角线 AC 折成二面角 D—AC— B,使 B,D 两点间的距离为 7 ,则该二面角大小为( )

A,30°;B,45°;C,60°;D,90°。 8,已知平面α 截一球得圆 M,过圆心 M 且与α 成 60°的二面角的平面β 截该球得圆 N, 若该球的半径为 4, ,圆 M 的面积为 4π ,则圆 N 的面积为( ) A,7π ;B,9π ;C,11π ;D,13π 。 9, 过正方体 ABCD—— A1 B1C1 D1 的顶点 A 作直线 L,使 L 与棱 AB、AD、 A1 A 所成的角都相等,这样的直线 L 可作( )条 A,1;B,2;C,3;D, 4。 10,如下图 1,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一点满足 PQ⊥QD,则 a 的值为( D, 5 。 ) A,1;B, 2 ;C,2;

图 1:

图 2: (
1

A:

B:

C:

D:



11,DP 垂直于正六边形 ABCDEF,若六边形边长为 a,则点 P 到 BC 的距离 为( ) A,
3 7 a;B, a;C, 5 a;D,3a。 2 2

12,过三棱柱 ABC— A1B1C1 的任两条棱的中点作直线,其中与平面 AB B1 A1 平行的
直线有(

A,3;B,4;C,5;D,6。 13,如上图 2,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形内的轨迹为( ) 14, 一等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条棱上, 已知正三棱柱 的底面边长为 2,该三角形的斜边长为( ) A,2 2 ; B,3 2 ; ;C,2 3 ;D,3 3 。 15,已知球的半径为 2,两个互相垂直的平面截球得到两个圆,若这两个圆的 公共弦长为 2,则这两个圆的圆心距为( ) A, 3 ; B,2 3 ;C, 2 ;D,2 2 。 二,填空(共 25 分,每小题 5 分) 1,将边长为 2 的正三角形 ABC 沿高 AD 折成直二面角 B—AD—C,则三棱锥 A—BDC 的 外接球的表面积为________ 。 2,一个正棱锥的高为 a,侧棱长为 2a,它的外接球的体积为________ 。 3, 如图 1, 在正方体 ABCD—— A1 B1C1D1 中, N 分别是 CD、 C1 的中点, M、 C 则异面直线 A1 M 与 DN 所成的角为________ 。 4,已知 a、b 为异直线,α 、β 、γ 为异平面,①若α ∩β =a,b ? α ,a⊥b,则α ⊥β ; ②若 a ? α ,a 垂直于β 内的任一条直线,则则α ⊥β ;③若则α ⊥β ,α ∩β =a,α ∩γ =b,则 a⊥b;④a 与α 不垂直,a 不可能垂直α 内的无数条直线;⑤若 a⊥α ,b⊥β ,a∥b,则α ∥β 。 上述命题正确的是________ 。 5,在三棱锥 P—ABC 中,∠APB=∠APC=∠BPC=60°,且 PA=a,PB=b,PC=c,该三棱 锥的体积为________。 三,解答题(共 65 分, ) 1,如图 2 所示,四棱锥 P—ABCD 是半径为 R 的圆内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ DAB=60°,∠BC=45°,△ADP∽△BAD。①求线段 PD 的长;②若 PC= 11 R,求三棱锥 P— ABC 的体积。

)条。

2

图 1:

图 2:

图 3:

2,在如图 3 所示的几何体中,四边形 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥ 平面 ABCD,CB=CD=CF。①求证:BD⊥平面 AED;②求二面角 F—BD—C 的余弦值。

3,如图 4,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,AB=2,∠DAB=60°。 ①求证:BD⊥平面 PAC;②若 PA=AB,求直线 PB 与 AC 所成角的余弦值;③当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长。

图 4:

图 5:

图 6:

4, 如图 5, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 且四边形 ABCD 中, AB⊥AD, AB+AD=4, CD= ,∠CDA=45°。 (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)设 AB=AP,①若直线 PB 与平面 PCD 成 30°的角,求线段 AB 的长;②在线段 AD 上是否存在一点 G,使点 G 到 P、B、C、D 的距离 都相等?试说明理由。

5, 如图 6, 正方形 ABCD 与四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, CE⊥AC, EF∥AC, AB= ①求证:AF∥平面 BDE;②求证:CF⊥平面 BDE;③求二面角 A—BE—D 的大小。
3

2, CE=EF=1。

答案: BCACB 一,

ACDDC

BDACA

二, 5π 。 1, 2,

2 32 π a?。 90°。 ②⑤。 3, 4, 5, abc。 12 3

三,1,①, 3R;②

3 ?1 3 5 6 4 R 。2,①略;② 。3,①略;② ;③ 6 。4, (1)略; (2)① ; 4 5 4 5

②不存在。5,①略;②略;③30°。

4


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