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复变函数与积分变换试题及答案16


西安建筑科技大学考试试卷(B 卷)
考试科目: 复变函数与积分变换 共 6 页

课程编码: 210103 专业班级:

考试时间: 2006 年 7 月 4 日 学号: 学生姓名:

总分人 总成绩 核查人 题 1 2 3 4 5 6 号 成 绩 阅卷人 核查人

-1-

/> 一、解答题(8 分+12 分=20 分) 1、求 ? ( x 2 ? iy ) dz ,其中 C 是沿曲线
c

y ? x

2

由点 z ? 0 到点 z ? 1 ? i

2、根据 R 的取值不同,讨论并计算积分 不经过 z = -1 和 z = 2 的正向圆周

?
c

dz z ( z ? 1)( z ? 2 )
2

的值。 其中

C是

|z|=R

(R>0) 。

-2-

二、解答题(每题 8 分,共 16 分) 1、已知 u ( x , y ) ? y 3 ? 3 x 2 y 是调和函数,求其共轭调和函数 v ( x , y ) ,

2、1、 f ( z ) ? x 2 ? iy

在何处可导? 何处解析? 并在可导处求 f ?( z ) .

-3-

三、

题判断(每题 2 分,共 10 分,请在正确的题后打“√”,错误的题后打

“×” ) 1、f ( z ) ? sin z 是有界函数 。 2、 函数 f ( z ) ? e z 是以 2? i 为周期的周期函数。 3、 如果 z 0 是 f ? z ? 的奇点, f ? z ? 在 z 0 不可导。 则 4、若函数 f ? z ? 在 z 0 处解析,则 f
(n)

( ( ( (

) ) ) )

( z ) 也在 z 0 解析。

5、 、的若 u ? x , y ? 与 v ? x , y ? 都是调和函数,则 f ? z ? ? u ? x , y ? ? iv ? x , y ? 是解析 函数 。 四、填空题(每题 4 分,共 16 分) 1、设 z =
2i 1? i

(

)

则 |z|=

,arg z , (1 ? i ) i
?

。 。
。 。

2、 (1 ? i ) 6 ? 3、 Ln (-3 i ) =

, 主值 ln (-3 i ) =

4、 f ( t ) ? t 2 ? te t ? e 2 t sin 6 t ,则 f (t ) 的拉氏变换是 五、 解答题(1、2 题每题 8 分,3 题 6 分,共 22 分)
1

1、求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内, 且满足 f ( ) ? 0 ,
2 arg f ? ( ) ? 2 2 1

?

的分式线性映照。

-4-

2、将 f ( z ) ?

1 ( z ? 1)( z ? 3 )

在 1< | z | < 3

上展开成罗朗级数。

3、指出 f ( z ) ?

1? e z
4

2z

在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数

-5-

六、计算题 (每题 8 分,共 16 分) 1、求正弦函数 f ( t ) ? sin ? 0 t 的傅氏变换。

2、利用拉氏变换求解微分方程
? y ?? ? 4 y ? ? 3 y ? e ? t ? ? y ( 0 ) ? y ?( 0 ) ? 1

-6-


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