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【成才之路】2014-2015高中数学北师大版必修3同步练习:3.3模拟方法——概率的应用


第三章

§3

一、选择题 1.如图,在地面上放置一个塑料圆盘,吉克将一粒玻璃球丢到该圆盘中,则玻璃球落 在 A 区域内的概率是( )

1 A. 2 1 C. 4 [答案] A

1 B. 8 D.1

[解析] 玻璃球丢在该圆盘内,玻璃球落在各个区域内是随机的,也是等可能的,

并且 在该圆盘的任何位置是无限多种,因此该问题是几何概型.由于 A 区域占整个圆形区域面 4 1 积的 ,所以玻璃球落入 A 区的概率为 . 8 2 2.在 500mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2mL 水样放到显微镜下观察,则 发现草履虫的概率是( A.0.001 C.0.004 [答案] C [解析] P= 2 =0.004. 500 ) B.0.002 D.0.005

3.在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的 面积介于 25cm2 与 49cm2 之间的概率为( 2 A. 5 4 C. 5 [答案] B [解析] 可以判断属于几何概型.记正方形的面积介于 25cm2 与 49cm2 之间为事件 A, 那么正方形的边长为[5,7]内,则事件 A 构成的区域长度是 7-5=2(cm),全部试验结果构成 2 1 的区域长度是 10cm,则 P(A)= = . 10 5 ) 1 B. 5 D. 3 10

4.在 5 万 km2 的某海域里有表面积达 40km2 的大陆架储藏着石油.若在这海域里随意 选定一点钻探,则钻到石油的概率是( 1 A. 1 250 1 C. 8 [答案] A [解析] P= 40 1 = . 50 000 1 250 ) 1 B. 250 D. 1 125

5.将一个长与宽不等的矩形沿对角线分成四个区域(如右图),并涂上四种颜色,中间装 个指针,使其可以自由转动.对该指针在各区域停留的可能性下列说法正确的是( )

A.一样大 C.红黄区域大 [答案] B

B.蓝白区域大 D.由指针转动圈数决定

[解析] 由题意可知这是一个几何概型问题,因为指针自由转动时,指向哪个区域是等 可能的,但由于矩形的长与宽不等,显然蓝白相对的角度比红黄相对的角度大些,据几何概 型概率公式,可知指针落在蓝白区域的概率要大于指针落在红黄区域的概率. 1 6.在区间[-1,1]上随机地任取两个数 x、y,则满足 x2+y2< 的概率是( 4 π A. 16 π C. 4 [答案] A [解析] 由于在区间[-1,1]上任取两数 x, y 有无限种不同的结果, 且每种结果出现的机 率是均等的,因此,本题为几何概型. 由条件知-1≤x≤1,-1≤y≤1,∴点(x,y)落在边长为 2 的正方形内部及边界上,即 1 π Ω={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},∴μΩ=4.记事件 A=“x2+y2< ”,则 μA= ,∴P(A) 4 4 μA π = = ,故选 A. μΩ 16 二、填空题 7.(2014· 福建文,13)如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到 阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________. π B. 8 π D. 2 )

[答案] 0.18 S阴 180 [解析] 由几何概型的概率可知,所求概率 P= = =0.18,∵S 正=1×1=1,∴S S正 1 000


=0.18×1=0.18. 8.甲、乙两位同学玩掷飞镖的游戏,他们分别用如图中(1)、(2)所示的两个靶子,甲用

的等边三角形的靶子被其三条角平分线分割成 A、B、C 三部分;乙用的圆形的靶子被互相 垂直的直径和半径也分割成 A、B、C 三部分.在三角形靶子中,飞镖随机地落在区域 A、B、 C 中的概率分别是________;在圆形靶子中,飞镖没有落在区域 C 中的概率是________.

[答案]

1 1 1 3 、 、 3 3 3 4

[解析] 由等边三角形的性质知三条角平分线将等边三角形分成面积相等的三部分,则 1 1 1 P(落在区域 A 中)= ,P(落在区域 B 中)= ,P(落在区域 C 中)= ;而在圆形靶子中,区域 3 3 3 1 1 3 C 的面积是圆面积的 ,则 P(没有落在区域 C 中)=1- = . 4 4 4 三、解答题 9.已知单位正方形 ABCD,在正方形内(包括边界)任取一点 M,求: 1 (1)△AMB 面积大于等于 的概率; 4 (2)AM 的长度不小于 1 的概率. [解析] (1)如图, 取 BC、 AD 的中点 E、 F, 连接 EF, 当 M 在 CEFD S矩形CDFE 1 内运动时,△ABM 的面积大于等于 ,由几何概型定义得 P= = 4 S正方形 1 . 2 (2)如图,以 AB 为半径作圆弧,M 在阴影部分时,AM 的长度大于等于 1,由几何概率 S阴影 1 π 的意义知 P= =1- ×π×12=1- . 4 4 S正方形

一、选择题 1.如图,已知 O(0,0),A(30,0),B(30,30),C(0,30),E(12,0),F(30,18), P(18,30), Q(0,12), 在正方形 OABC 内任意取一点, 则该点在区域 OEFBPQ 内的概率为( 3 A. 5 16 C. 25 [答案] C [解析] 依题意可得正方形 OABC 的面积为 900,区域 OEFBPQ 的面积为 900-2× 576 16 ×182=576.记“该点在区域 OEFBPQ 内”为事件 A,所以 P(A)= = . 900 25 2. 函数 f(x)=x2-x-2, x∈[-5,5], 那么任取一点 x0∈[-5,5]使 f(x0)≤0 的概率是( A.1 3 C. 10 [答案] C [解析] 任取一点 x0∈[-5,5]的结果有无限多个, 属于几何概型. 画出函数 f(x)的图像(图 略),由图像得当 x0∈[-1,2]时,f(x0)≤0.设“使 f(x0)≤0”为事件 A,则事件 A 构成的区域 3 长度是 2-(-1)=3,全部结果构成的区域长度是 5-(-5)=10,则 P(A)= .故选 C. 10 二、填空题 3.在直角坐标系 xOy 中,设集合 Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},在区域 Ω 内任取一点 P(x,y),则满足 x+y≤1 的概率等于________. [答案] 1 2 2 B. 3 2 D. 5 ) 1 2 ) 1 B. 3 41 D. 50

[解析] 集合 Ω={(x, y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面区域是边 长为 1 的正方形及其内部的点,如图所示,其面积为 1,点 P 所表示 的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点,其直角边长为 1,面积

1 1 为 ,则满足 x+y≤1 的概率为 P= . 2 2 4. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点, 若在该圆周上随机取一点 B, 则劣弧 AB 的 长度小于 1 的概率为________. [答案] 2 3

[解析] 如图,

2 点 B 可落在优弧 CAD 上,其弧长为 2,由几何概型知概率为 . 3 三、解答题 5.(1)向面积为 6 的△ABC 内任投一点 P,求△PBC 的面积小于 2 的概率. S (2)在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,求△PBC 的面积大于 的概率. 4 [解析] (1)取△ABC 边 BC 上的高 AE 的三等分点 M,过点 M 作 BC 的平行线,当点 P 4 1- 9 5 落在图中阴影部分时,△PBC 的面积小于 2,故概率为 = . 1 9

S (2)据题意基本事件空间可用线段 AB 的长度来度量,事件“△PBC 的面积大于 ”可用 4 3 |AB| 4 3 3 距离 A 长为 AB 的线段的长度来度量,故其概率为 = . 4 |AB| 4 6.设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm,现用直 径等于 2 cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率. [解析] 记 A={硬币落下后与格线没有公共点}, 如右图所示, 在 等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都 为 1,则小等边三角形的边长为 4 3-2 3=2 3,由几何概型的概率 公式得

3 ×?2 3?2 4 1 P(A)= = . 4 3 ×4? 3?2 4 7.如图所示,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M, 可按下面方法估计 M 的面积: 在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点, m 若 n 个点中有 m 个点落入 M 中, 则 M 的面积的估计值为 · S, 假设正 n 方形 ABCD 的边长为 2,M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投 掷 10 000 个点,求落入 M 中的点的数目. SM 1 [解析] 记“点落入 M 中”为事件 A,则有 P(A)= = , SABCD 4 所以向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000 个点,落入 M 中的点的数目为: 1 10 000× =25 00. 4 m 也可由 S′= · S 直接代入,即 S′=1,S=4,n=10 000, n S′· n 1×10 000 所以 m= = =2 500. S 4 答:落入 M 中的点的数目为 2 500.


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