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2009年全国高中数学联赛新疆区预赛试题2009.05.24


2009 年全国高中数学联赛 新疆维吾尔自治区预赛试题
(考试分值:150 考试时间:120 分钟,考试时间:2009 年 5 月 24 日)

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1、下列方程中与 sinx+cosx=0 解集相同的是( )
cos 2 x c o s x ? s in x ? 0

A.sin2x=1-cos2x B.sinx=- 1 ? s in 2 x C.cos2x=0 D. 2、已知θ 是第三象限的角,且 s in A. 2 k ? + ( B. 2 k ? + ( C. k ? + (
?
4

?
4

? cos 3? 4

?
4

,则

?
4 7? 8

的取值范围是(
),k ? Z ),k ? Z



?
4

,k ? + 2

3? 8

)? 2 k ? + (

,k ? + 2

5? 4

,k ? + 2

1 1? 8

)? 2 k ? + ( 3? 4

7? 4

,k ? + 2 7? 8

1 5? 8

, k? + 5? 4

3? 8

)? k ? + ( 1 1? 8

, k? + 7? 4

),k ? Z 1 5? 8
2n

D. 4 k ? + (

, 4k? +

)? 4 k ? + (

, 4k? +

),k ? Z

2n * ( 3、数 3 + 8 )(n ? N ) 且 n≥2009,设[x]为 x 的整数部分,则[ ( 3 + 8) ] 除以 8 的余数

是( A.1

) B.3

C.4

D.7
1 2 x+ a

4、 已知 (x) f 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 0 ? x ? 1 时, =x2, 当 (x) f 若直线 y = 与 y= f( x ) 的图像恰好有两个公共点,则 a=( A. B.k,∈Z C. + k 或 k -
2 3 2 1 1 16 ,k? Z

) D.
1 2 + 2k或 2k- 1 16 ,k? Z

5、如图,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,P-A1B1C1D1 是正四棱锥, 且 P 到平面 ABC 的距离为 ( A. )
3 3

AB , 则异面直线 A1P 与 BC1 的距离是

P
D1 C1

B.

6 3

C.

6 6

D.

3 6
3 ,且

A1 D

B1 C

6 、 已 知 f( x ) 的 定 义 在 实 数 上 的 函 数 , f ( 3 ) = -
f ( x+ 2)[ 1 ( x ) ] = 1 + f (,则 f(2009)=( - f x)

A B



A. 2 ?

3

B. 2 ?

3

C. 3

D. ? 3

二、填空题(每题 9 分,共 54 分)
7、已知 C 与 F 是线段 AB 上的两点,AB=12,AC=6,D 是以 A 为圆心,AC 为半径的圆 上的任意点, ,线段 FD 的中垂线与直线 AD 交于点 P。若 P 点的轨迹是双曲线,则此双曲线 的离心率的取值范围是 8、 在△ABC 中, B、 的对边分别是 a、 c, A、 C b、 且 的根,则△ABC 的形状是 9、设函数 f(x)=
x ? n
2

C

,

s n i

B A

都是方程 lo g

A s n i

b

x ? lo g b ( 4 x ? 4 )

x ? x ?1
2
2009

( n ? N ) 的最大值为 an,最小值为 bn,则 an-bn=________
*

10、不等式 ( x ? 1)

? 2

2009

x

2009

? 6 x ? 6 ? 0 的解集是

11、有 6 本不同的书,其中一本数学书,两本英语书,三本音乐书,将他们排成一排,若英 语书不相邻,音乐书也不相邻的不同排法数为 12、曲线 x ? 2 x y ? 3 y ? 1 的点到坐标原点的距离的最小值为
2 2

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分)
( 13、已知 P 是圆 x - 2 )+ ( y - 2 )= 1 上一动点,向量 O P 依逆时针方向旋转 90°得到向
2 2

??? ?

量 O S ,又点 P 关于 A(3,0)的对称点为 T,求 |T S | 的取值范围。

??? ?

???

14、已知△ABC 的内切圆半径为 2,且 tanA= ?

4 3

,求△ABC 面积的最小值.
A D O

B

C

15、从直线 l:
x
2

x 12

?

y 8

? 1 上任意一点 p 向椭圆 C:

?

y

2

? 1 引切线 PA,PB,切点分别为 A、B,试求
B
l

P

24

16
M A O

线段 AB 中点 M 的轨迹方程。

参考答案: 1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、A 7、 (1, 2 ] 8、A=30°,B=60°的直角三角形 9、解:由 y=
2

x ? n
2

x ? x ?1
2

,得 y·x +y·x+y=x +n, 即:(y-1)x + y·x+y-n=0.
2 2

2

2

2

y≠1 时, -4(y-1)(y-n)≥0, 3y -4(n+1)y+4n≤0. 可知 an,bn 是方程 3y -4(n+1)y+4n=0 y 即: 的两根. 所以:an+bn=
4 ( n ? 1) 3

, anbn=
16n 3

4n 3

,故

(an-bn)2=(an+bn)2-4anbn=

1 6 ( n ? 1) 9

2

?

=

16 9

( n ? n ? 1)
2

因为 an>bn,所以 an-bn=

4 3

n ? n ?1
2
2009

10、解:整理,不等式化成 ( x ? 1) 设 f (x) ? x
2009

? 6 ( x ? 1) ? ( 2 x )

2009

? 6 ? (2 x)

? 6 x ,且不等式化为 f ( x ? 1) ? f ( 2 x )

∵ f ( x ) 是 R 上的增函数,故 x ? 1 ? 2 x ,得 x ? ? 1 故不等式的解集为{x|x>-1,x∈R} 11、120 种 12、
5 ?1 2

13、设点 P(x,y),则点 S(-y,x) ,点 T(6-x,-y) ,又圆心为 C(2,2) ,半径 r=1 ∴ | T S |?
???
??? (6 ? x ? y ) ? (? y ? x )
2 2

?

2?

( x ? 3) ? ( y ? 3)
2

2

?

2 | P B | ,其中 B(3,-3)

∴ | T S | m ax ?

2 (| C B | ? 1) ?
???

??? 2 ( 2 6 ? 1), | T S | m in ?
2 6 ? 1) ,

2 (| C B | ? 1) ?

2 ( 2 6 ? 1)

∴ 2 ( 2 6 ? 1) ? | T S | ?

2(

14、解:设 AB=c, BC=a, AC=b,D 为切点,可知: 2AD+2a=a+b+c 得:AD= 得:tan∠DAO=2, 所以:DO=b+c-a=2,sinA= S△ABC= 即:
1 2 2 5
2 设 b c =t,则知:t -10t+5≥0,所以 t≥5+2 5 或 t≤5-2 5 (舍)

A D O

1 2

(b+c-a),由 tanA= ?

4 3

,可

4 5

.

B

C

bcsinA=

1 2

(a+b+c)·2

bc=2(b+c)-2,所有 bc=5(b+c)-5≥10 b c -5

故 bc≥45+20 5 ,所以 S△ABC=

2 5

bc≥18+8 5 ,b=c=5+2 5 时取等号。

故△ABC 面积的最小值为 18+8 5 .
10 2 15 3

15、点 M 是以(1,1)为中心长短半轴分别为 括原点)

,

,且长轴与 x 轴平行的椭圆(不包


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