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成都七中高2014级高三一诊模拟考试数学(理)试题及答案


成都七中

2014 届一诊模拟测试题

理科数学

成都七中高 2014 届高三一诊模拟考试 数学(理)试题
时间:120 分钟
2

满分:150 分

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求. (1)已知集合 A = {1, a } , B = {2a, ?1}, 若A ? B ? {4}, 则实数 a 等于 (A) 4 (2)若复数 z 满足 (A)第一象限 (B) 0 或 4 (C) 0 或 2 (D) 2

z ? 2i, 则在复平面上复数 z 对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

( 3 ) 已 知 同 时 作 用 于 某 物 体 同 一 点 的 三 个 力 对 应 向 量 分 别 为 f1 ? (?2, ?1), f 2 ? (?3, 2) ,

f3 ? (4, ?3), 为使该物体处于平衡状态,现需在该点加上一个力 f 4 , 若 f5 ? f 4 , 则 f 5 可为
(A) ? ?2, ?4 ? (4)函数 y = 2 ( x y
- x

(B) ? 2, ?4 ? (C) ? ?4, ?2 ?

(D) ? ?4, 2 ?

R) 的反函数的大致图象为
y y y

O

1 (A)

x

O 1

x

O

(B)

(C)

1

x

O

1 (D)

x

(5)已知 ?、? 为锐角,且 cos? = (A)

? 3

(B)

? 4

1 11 , cos( ? ? ) =- ,则 ? = ? 7 14 5? (C) (D)以上答案都不对 12

(6)已知命题 p : a ? 0 ? b ,命题 q : a ? b ? a ? b ,则命题 p 是 q 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件[

? 2x , x ? 0 1 (7)设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) 为奇函数,则 g ( ) 的值是 sin 390? ? g ( x), x ? 0
·1·

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1 4 (8)已知 S n 是公差不为 0 的等差数列 ? an ? 的前 n 项和,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列,则 a2 ? a3 ?
(A) 4 (B) ?4 (C) (D) ?
a1

1 4

(A)2

(B)6

(C)8

(D)10

(9)如图,单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列说法错误的是 (A) BD1 ? B1C (B)若 DP ?

??? ?

? 1 ???? ???? 1 ???? DD1 , DE ? DC ,则 PE ? A1B A 3 3

D1
1

C1 B1 P

(C)若点 B1、A、D、C 在球心为 O 的球面上,
D

E B

3 1 则点 A、C 在该球面上的球面距离为 arccos A 2 3 ??? 1 ???? ???? 1 ???? ? ? (D)若 DP ? DD1 , DE ? DC ,则 A1P、BE、AD 三线共点 3 3
2 2 2

C

(10)在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? 5sin C ,则 cosC 的最小值等于 (A)

4 5

(B) ?

4 5

(C)

2 5

(D) ?

2 5

(11)假设编拟某种信号程序时准备使用 A, B, C, a, b, c (大小写有区别) ,把这六个字母全部排到如 图所示的表格中,每个字母必须使用且只使用一次,不同的排列方式表示不同的信 号,如果恰有一对字母(同一个字母的大小写)排到同一列的上下格位置,那么称此信号为“微错 号” ,则不同的“微错号”总个数为 (A)432 个 (B)288 个 (C)96 个 (D)48 个

(12)若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足: .已 F ( x) ? kx ? b 和 G( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的“隔离直线” 知函数 h( x) ? x , m( x) ? 2e ln x (e 为自然对数的底数), ? ( x) ? x ? 2 , d ( x) ? ?1 .
2

有下列命题:① f ( x) ? h( x) ? m( x) 在 x ? 0, e 递减;② h( x ) 和 d ( x) 存在唯一的“隔离直线” ; ③ h( x ) 和 ? ( x) 存在“隔离直线” y ? kx ? b ,且 b 的最大值为 ?
·2·

?

?

1 ;④函数 h( x ) 和 m( x) 存在唯一 4

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的隔离直线 y ? 2 ex ? e .其中真命题的个数 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在答题卡上.

1 x 4 1 (14) lim ( ? )? 2 x? ?2 4 ? x 2? x

(13) ( x ? ) 5 的二项展开式中第二项的系数是 .

(用数字作答). A

(15)如图, ?BAC ? 90? 的等腰直角三角形 ABC 与

B E D

C

正三角形 BCD 所在平面互相垂直, E 是线段 BD 的中点, 则 AE 与 CD 所成角的大小为 .
n

q (16)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, a4 ? 8, Sn ? b? ? c (q ? 0, q ? ?1, bc ? 0,

b ? c ? 0) ,现把数列 {an } 的各项排成如图所示的三角形形状.记 A(m, n) 为第 m 行从左起第 n 个数

? m、n ? N ? .有下列命题:
?

a1
a4 a 3 a2 a5 a6 a7 a8 a9 a16 a15 a14 a13 a12
? ?

① {an } 为等比数列且其公比 q ? ?2 ; ②当 n ? 2m (m ? 3) 时 , A(m, n) 不存在; ③ a28 ? A(6,9), A(11,1) ? 2
100



a11

a10

④假设 m 为大于 5 的常数,且 A(m,1) ? am1 ,

A(m, 2) ? am2 , ??, A(m, k ) ? amk ,其中 amk 为 A(m, n) 的最大值,从所有 m1, m2 , m3 , ?? , mk 中

m ?1 任取一个数,若取得的数恰好为奇数的概率为 ,则 m 必然为偶数. 2m ? 1
其中你认为正确的所有命题的序号是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4cos x sin (
2

???

???

?

x ? ) ? 3 cos 2x ?2cos x . 4 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)若 x ? ? 0,

? ?

??

? ,求 f ( x) 的单调区间及值域. ZXXK] 2?
·3·

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(18) (本小题满分 12 分)梯形 ACPD 中, AD ? CP, PD ? AD, CB ? AD , ?DAC ?

?
4



PC = AC ? 2 ,如图①;现将其沿 BC 折成如图②的几何体,使得 AD ? 6 .
(Ⅰ)求直线 BP 与平面 PAC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 C ? PA ? B 的余弦值.
D P

D

B A

B

P
图①

C
C

A

图② (19) (本小题满分 12 分)为了拓展网络市场,腾讯公司为 QQ 用户推出了多款 QQ 应用,如“ QQ 农场”“ QQ 音乐”“ QQ 读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“ QQ 使用情况”调查,从 、 、 高二年级的一、二、三、四班中抽取 10 名学生代表参加,抽取不同班级的学生人数如下表所示: 班级 人数 一班 2人 二班 3人 三班 4人 四班 1人

(I)从这 10 名学生中随机选出 2 名,求这 2 人来自相同班级的概率; (Ⅱ) 假设在某时段,三名学生代表甲、乙、丙准备分别从 QQ 农场、 QQ 音乐、 QQ 读书中任意 选择一项,他们选择 QQ 农场的概率都为 为

1 1 ;选择 QQ 音乐的概率都为 ;选择 QQ 读书的概率都 6 3

1 ;他们的选择相互独立.设在该时段这三名学生中选择 QQ 读书的总人数为随机变量 ? ,求随机 2

变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

(20) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 4 .
2

(Ⅰ)当 x ? (0,1] 时,若 m ? 0 ,求函数 F ( x) ? f ( x) ? ? m ? 1? x 的最小值; (Ⅱ)若函数 G ( x) ? 2
f ( x)

的图象与直线 y ? 1恰有两个不同的交点 A( x1 ,1), B( x2 ,1)

(0 ? x1 ? x2 ? 3) ,求实数 m 的取值范围.
·4·

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(21) (本小题满分 12 分)等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ; {bn } 为等比数 列, b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 6, b3S3 ? 24 , n ?N? .(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)令 Cn ?

n 1 , Tn ? C1 ? C2 ? C3 ? ? ? Cn ; ? bn an ? an?2

①求 Tn ;②当 n ? 3 时,证明: 4(n ? 2)Tn ? 15(n ? 1) .

(22)(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? (I)求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 m, t ? R ,且
?

x ?1 log 2 ( x ? 1) ? log 2 x ( x ? 1) . x

1 1 ? ? 1 ,求证: t log 2 m ? m log 2 t ? mt ; m t
?

(Ⅲ)若 a1 , a2 , a3 ,..., a2n ? R ,且

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ?1, a1 a2 a3 a2n

求证:

log 2 a2n log 2 a1 log 2 a2 log 2 a3 ? ? ? ... ? ? n. a1 a2 a3 a2 n

·5·

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成都七中高 2014 届高三一诊模拟考试 数学(理)参考答案及评分意见
一、选择题:
( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 10) ( 11) ( 12)

D

B

A

C

A

A

D

C

C

A

B

C

二、填空题: (13) ?5 ; (14) 三、解答题:

1 ? ; (15) ; (16)②③④. 4 4

不全不得分

1 ? cos( ? x) 2 (17)解:(Ⅰ) f ( x) ? 4cos x ? 3 cos 2 x ? 2cos x 2

?

1分 2分

= 2cos x(1 ? sin x) + 3 cos 2 x ? 2cos x = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ?

?
3

).

T?

2? ?? . 2
? ?

1分
2分

(Ⅱ) x ? ? 0, 由

??

? ? 4? , ? , ? 2x ? ? 2? 3 3 3
3 ?

?
3

? 2x ?

?

?
2

?0? x?

?

12 2

,

?

? 2x ?

?
3

?

4? ? ? ? ? x? 3 12 2
各2分

? ? ? ?? ? ? f ( x) 的单调递增区间为 x ? ? 0, ? ,单调递减区间为 x ? ? , ? ; ? 12 ? ?12 2 ?
由 ? 3 ? 2sin(2 x ?

?

) ? 2 ,域值为 ? 3, 2 ? . ? 3

?

2分

(18)解: (Ⅰ)由题意,? PC=AC=2,? AB ? BC= 2, BD=2 ,

AD= 6 .在 ?ABD 中,∵ AB2 ? DB2 ? AD2 ,∴ BD ? BA ,

2分

∴ BD、BA、BC 两两垂直,分别以 BC、BA、BD 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标 系 B ? xyz (如图). A(0, 2,0), B(0,0,0), C ( 2,0,0), P( 2,0, 2). 设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , CA ? (? 2, 2,0) , CP ? (0,0, 2) ,
·6·

??? ?

??? ?

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??? ? ? n? ? 0 ? x ? y ? 0 ? CA ,取 n ? (1,1,0) ?? ? ? ??? ?n? ? 0 ? z ? 0 ? CP
设直线 BP 与平面 PAC 成的角为 ? ,

2分

z
2分

??? ? BP?n 2 6 则 sin ? ? ??? ? ? ? 6 2? 6 BP ?n
6 6

D P

直线 BP 与平面 PAC 成的角为 arcsin

B C x A y

??? ? ??? ? AP ? ( 2, ? 2, 2), BC ? ( 2,0,0).

1分

(Ⅱ)设平面 PAB 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

??? ? ??? ? ??? ? ? ? AB ? m ? 0, ?? 2 y ? 0, ? ? ? y ? 0, AB ? (0, ? 2,0), AP ? ( 2, ? 2, 2). ? ???? ?? ?? ? ? AP ? m ? 0. ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? x ? ? 2 z. ? ? ?
令 z ? ?1,? m ? ( 2,0, ?1). 2分

由(Ⅰ)知平面 PAC 的法向量为令 n ? (1,1,0) .

? cos ? m , n ??

m?n 2 3 ? ? m n 3 3? 2

2分

由图知二面角 C ? PA ? B 为锐角, ∴二面角 C ? PA ? B 大小的余弦值为

3 . 3

1分

(19)解:(I)记这两名学生都来自第 i 班为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4) 则 P ? A1 ? ?
2 C2 1 C2 3 ? P ? A2 ? ? 3 ? ; ; 2 2 C10 45 C10 45

P ? A3 ? ?

2 C4 6 ? ; P ? A4 ? ? 0 . 2 C10 45

各1分

∴ P ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ?

10 2 ? . 45 9
·7·

2分

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(Ⅱ) ? 的取值为 0,1,2,3 .

3 ?1? 1 1? 1 ? P (? ? 0) ? ? ? ? ; P(? ? 1) ? C3 ? ? ? ; ?2? 8 ?2? 8 1 ?1? 3 3?1? P (? ? 2) ? C ? ? ? ; P (? ? 3) ? C3 ? ? ? . ?2? 8 ?2? 8
2 3 3 3

3

3

? 的分布列为:

?
P(? )

0
1 8

1

2
3 8

3
1 8
2分 4分

3 8 1 3 3 1 3 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 8 8 8 8 2 3 或 E? ? np ? . 2

(20)解: (Ⅰ) F ( x) ? f ( x) ? ? m ? 1? x ? x ? 2mx ? 4 , x ? (0,1]
2

对称轴 x ? m ? m ? 0 ? , ①当 0 ? m ? 1 时, F ( x) min ? F (m) ? 4 ? m ②当 m ? 1时, F ( x)min ? F (1) ? 5 ? 2m ∴ F ( x) min ? ? (Ⅱ) G ( x) ? 2
2

1分 2分 2分

? 5 ? 2m (m ? 1) 2 ?4 ? m (0 ? m ? 1)
2

1分

f ( x)

? 2 x ?( m?1) x?4 与直线 y ? 1 ? 20 恰有两个不同的交点 A( x1,1), B( x2 ,1)

(0 ? x1 ? x2 ? 3) ? 关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 在 ? 0,3? 上有两个不等的实数根 f ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 4
1分

? ? ? (m ? 1) 2 ? 16 ? 0 ? m ?1 ? 0? ?3 ? 则? , 2 ? f (0) ? 4 ? 0 ? ? f (3) ? 9 ? 3( m ? 1) ? 4 ? 0 ?
·8·

4分

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解得 3 ? m ?

10 ? 10 ? , ∴ m ? ? 3, ? . 3 ? 3?

1分

(21)解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d (d

? 0), {bn } 的公比为 q ;

an ? 1 ? (n ? 1)d , bn ? q n?1 ,

1 ? ? S3b3 ? (3 ? 3d )q 2 ? 24 ? d ? 1 ? d ? ? ?? 依题意有 ? 或? 2 (舍去) ?q ? 2 ? q ? 4 ? S 2b2 ? (2 ? d ) q ? 6 ?
解得 ?

2分

?d ? 1 , 故 an ? n ; bn ? 2n?1 ? n ? N ? ? ?q ? 2

2分

(II)由(I)知 Cn ?
n

n 1 n 1 n 1 1 1 ? ? n?1 ? ? n?1 ? ( ? ), bn an ?an?2 2 n(n ? 2) 2 2 n n?2

① Tn ?
n

n i 1 1 1 ?? ( ? ? 2i?1 i?1 2 i i ? 2 ) i ?1

?2
i ?1
n i ?1 n

i
i ?1

是一个典型的错位相减法模型,

?2
i ?1

n

i
i ?1

? 4?

n?2 . 2n?1

2分

? 2 ( i ? i ? 2 ) 是一个典型的裂项求和法模型, ? 2 ( i ? i ? 2 ) ? 2 (1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? n ? n ? 2 )
i ?1

1 1

1

1 1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1 ? ? ? )? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) Tn ? 4 ? n?2 3 2n ? 3 19 n ? 2 2n ? 3 ? ? ? ? n?1 ? . n?1 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) 4 2 2(n ? 1)(n ? 2)
2n ? 4 2n ? 4 2n ? 4 n?2 ?? ?? ?? n 1 n?1 n 2 1 ? Cn ? ? ? Cn ? Cn 2n ? 2 n ?1

2分

1分

②当 n ? 3 时, ?

1分

?Tn ?

19 n ? 2 2n ? 3 19 n ? 2 2n ? 3 ? n?1 ? ? ? ? 4 2 2(n ? 1)(n ? 2) 4 n ? 1 2(n ? 1)(n ? 2)
·9·

1分

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? 4Tn ? 19 ?

4(n ? 2)2 ? 4n ? 6 19(n ? 1)(n ? 2) ? 4(n ? 2)2 ? 4n ? 6 ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2)
15n 2 ? 37n ? 16 15(n ? 1)2 15(n ? 1) ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) n?2

∴当 n ? 3 (n ? N ) 时, 4Tn ? (22)解: (I) f ( x) ?

?

x ?1 log 2 ( x ? 1) ? log 2 x , x 1 x ?1 1 1 1 f ' ( x) ? 2 log 2 ( x ? 1) ? ? log 2 e ? log 2 e ? 2 log 2 ( x ? 1) x x x ?1 x x
'

15(n ? 1) ? 4 ? n ? 2 ? Tn ? 15(n ? 1) . n?2

1分

2分

令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,所以 f ( x) 在 (1, 2] 递减,在 [2, ??) 递增. 所以 f ( x) min ? f (2) ? ?1 . 1分

1分

1 log 2 log 2 m log 2 t log 2 m t ? log 2 m ? (1 ? 1 )log (1 ? 1 ) (Ⅱ) ? ? ? 2 m t m t m m m 1 ? log 2 m ? (m ? 1) ?log 2 (m ? 1) ? log 2 m ? ? ? m

?

?

3分

?

1 ? m ?1 ? ? m log 2 m ? (m ? 1)log 2 (m ? 1) ? ? ? ? log 2 (m ? 1) ? log 2 m ? ? ? m ? m ?

由(I)知当 x ? 1 时, 又

x ?1 log 2 ( x ? 1) ? log 2 x ? ?1 , x
1分

1 1 ? ? 1 , m, t ? R ? ,∴ m ? 1 m t

1分



m ?1 log 2 m log 2 t log 2 (m ? 1) ? log 2 m ? ?1 ? ? ? 1 ? t log 2 m ? m log 2 t ? mt . m m t

(Ⅲ)用数学归纳法证明如下:1°当 n ? 1 时,由(Ⅱ)可知,不等式成立; 2°假设 n ? k ( k ? N )时不等式成立, 即若 a1 , a2 , a3 ,..., a2k ? R ,且
?

?

1分

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 1 时, a1 a2 a3 a 2k

不等式

log 2 a2k log 2 a1 log 2 a2 log 2 a3 ? ? ? ... ? ? k 成立 a1 a2 a3 a2 k
·10·

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?

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现需证当 n ? k ? 1 ( k ? N )时不等式也成立, 即证:若 a1 , a2 , a3 ,..., a2k ?1 ? R ,且
a

?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 1 时,不等式 a1 a2 a3 a2k ?1

log 2 a2k log 22k ?1 log 2 a2k ?2 log 2 a2k ?1 log 2 a1 log 2 a2 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? k ? 1成立. a1 a2 a 2k a2k ?1 a2k ?2 a2k ?1
证明如下:设

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? x ,则 ? ? ? ... ? ?1 a1 a2 a3 a 2k xa1 xa2 xa3 xa2k

?

log 2 ? xa2k ? log 2 ? xa1 ? log 2 ? xa2 ? log 2 ? xa3 ? ? ? ? ... ? ?k xa1 xa2 xa3 xa2k
log 2 1 xa1 log 2 ? 1 xa2 log 2 ? 1 xa3 log 2 ? ... ? 1 xa2k

?

a1

a2

a3

a 2k

? ? kx
1分

1 1 1 log 2 log 2 log 2 a 2k 1 1 1 1 a1 a2 ? ? ? ... ? ? ? kx ? ( ? ? ? ... ? )log 2 x ? ? kx ? x log 2 x ......① a1 a2 a 2k a1 a2 a3 a 2k log 2
同理

1 a2k ?1 ?

log 2

1 a2k ? 2 ? ... ?

log 2

1 a2k ?1 ? ?k (1 ? x ) ? ( 1 a2k ?1 a2k ?2 ? 1 ? ... ? 1 a2k ?1 )log 2 (1 ? x )
1分 .....②

a2k ?1

a 2k ? 2

a2k ?1

? ?k (1 ? x ) ? (1 ? x )log 2 (1 ? x )

log 2
由①+②得:

1 a1

log 2 ? a2

1 a2

log 2 ? ... ?

1 a 2k

log 2 ?

1 a2k ?1 ?

log 2

1 a2k ? 2 ? ... ?

log 2

1 a2k ?1

a1

a 2k

a2k ?1

a 2k ? 2

a2k ?1

? ?k ? [ x log 2 x ? (1 ? x )log 2 (1 ? x )]
又由(Ⅱ)令

1 1 ? x ,则 ? 1 ? x ,其中 x ? (0,1) , m t
1分

则有

log 2 m log 2 t 1 1 ? ? x log 2 ? (1 ? x)log 2 ?1 m t x 1? x

∴ x log 2 x ? (1 ? x )log 2 (1 ? x ) ? ?1 ∴ ?k ? [ x log 2 x ? (1 ? x)log 2 (1 ? x)] ? ?k ? 1
·11·

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a

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log 2 a2k log 22k ?1 log 2 a2k ?2 log 2 a2k ?1 log 2 a1 log 2 a2 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? k ?1 a1 a2 a2 k a2k ?1 a2 k ? 2 a2k ?1
∴当 n ? k ? 1 时,原不等式也成立. 综上,由 1°和 2°可知,对任意的 n ?N 原不等式均成立.
*

1分

注:对于解答题的其它解法,根据小题的小分值适度合理给分.

·12·


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