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第三章:函数的基本性质练习题


第三章:函数的基本性质练习题 [训练 A 组] 一、填空题
1. 设奇函数 f (x) 的定义域为 ? ?5,5? , 若当 x ? [0,5] 时,

f (x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是
(?2, 0) ? ? 2,5?
2.函数 y ? 2 x ?

.

x ? 1 的值域是________________。 [?2, ??)
2 2

3. 已 知 函 数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为 偶 函 数 , 则 m 的 值 是 __________. 2 4.已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?
2

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是

. ? 2 ? 1, 3 ?

?

?

5.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f (x) 的递减区间是

.

? 0, ?? ?
6.设 f (x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上的奇偶性是 _____________.奇函数

二、选择题
7.若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 8.如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f (x) 在区间 ?? 7,?3? 上 是( A ) A.增函数且最小值是 ? 5 B.增函数且最大值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5 9.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A ) A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ? D )

3 2

3 2

3 2

3 2

1 x

D. y ? ? x ? 4
2

10.函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1 ) 是( A )

A.是奇函数又是减函数 C.是减函数但不是奇函数

B.是奇函数但不是减函数 D.不是奇函数也不是减函数

三、解答题
11.判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ? 单调性。 解:当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数;

k 2 ,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的 x

k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数, x k 当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x b b 2 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 (??, ? ] 是减函数,在 [? , ??) 是增函数, 2a 2a b b 2 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 (??, ? ] 是增函数,在 [? , ??) 是减函数。 2a 2a
当k ? 0, y ? 12.已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0, 求 a 的取值范围。
2

??1 ? 1 ? a ? 1 ? 2 2 解: f (1 ? a) ? ? f (1 ? a ) ? f (a ? 1) ,则 ??1 ? 1 ? a 2 ? 1 ,? 0 ? a ? 1 ?1 ? a ? a 2 ? 1 ?
13.利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域; 解 : 2 x ? 1 ? 0, x ? ?

1 1 1 , 显 然 y 是 x 的 增 函 数 , x?? , ymin ? ? , 2 2 2

1 ? y ?[ ? , ? ? ) 2 2 14.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5? .
① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。 解: (1)a ? ?1, f ( x) ? x ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37
2

∴ f ( x)max ? 37, f ( x) m in ? 1 (2)对称轴 x ? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ?a ? 5 时, f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调 ∴ a ? 5 或 a ? ?5 。

第三章:函数的基本性质练习题 [训练 B 组] 一、填空题
1 2 2 2.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? | x | ?1 ,那么 x ? 0 时, 2 . ?x ? x ?1 f ( x) ?
1.函数 f ( x) ? x ? x 的单调递减区间是____________________。 (??, ? ],[0, ]
2

1 2

3.若函数 f ( x) ?

x?a 在 ? ?1,1? 上是奇函数,则 f ( x) 的解析式为________. x ? bx ? 1
2

f ( x) ?

x x ?1
2

4.奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数,在区间 [3, 6] 上的最大值为 8 , 最小值为 ?1 ,则 2 f (?6) ? f (?3) ? __________。 ?15 5.若函数 f ( x) ? (k ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。
2

(1, 2)
6. 函数 y ?

x ? 1 ? x ? 1 的值域为__________。 0, 2

?

?

二、选择题
7.下列判断正确的是( C A.函数 f ( x) ? ) B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2
x 2 ? 1 是非奇非偶函数
2

1? x 是偶函数 1? x

C.函数 f ( x) ? x ?

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数 )

8.若函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( C A. ? ??, 40? C. ? ??, 40? ? ? 64, ?? ?
2

B. [40, 64] D. ? 64, ?? ?

9.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( A ) A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3

10.下列四个命题:(1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f (x) 是增函

2 数; (2)若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 与 x 轴没有交点, b ? 8a ? 0 且 a ? 0 ; y ? x ? 2 x ? 3 则 (3)

2

2

的递增区间为 ?1, ?? ? ;(4) y ? 1 ? x 和 y ?

(1 ? x) 2 表示相等函数。

其中正确命题的个数是( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中 纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的 是( B ) d d0 d d0 d d0 d d0

O A.

t0 t B.

O

t0 t

O C.

t0 t

O D.

t0 t

三、解答题
12.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ?

1 ? x2 x?2 ?2

(2) f ( x) ? 0, x ? ? ?6, ?2? ? ? 2, 6?

1 ? x2 , 解: (1)定义域为 ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x) ? x
∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) ?

1 ? x2 为奇函数。 x

(2)∵ f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数。 13.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x) 是奇函数。 证明:(1)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b)

x x x ∴ f ( x )? f ( 1 ? 2 ? 2 ) ? 1

f 1x ( ?

2

x? )

( 2 x? f )

(2x f )

∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0

∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。 14.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

解:∵ f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?? ?x ?1 x ?1 1 x ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1
而 f ( x) ? g ( x) ? 15.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R
2

(1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)求 f (x) 的最小值。 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x | ?1 为偶函数,
2

1 当 a ? 0 时, f ( x)? x ? | x? a| ?为非奇非偶函数;
2

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

3 , 4

1 1 3 时, f ( x) m i n? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x ) m i n 不存在; 2 1 2 3 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 4 1 ? 2 1 当 a ? ? 时, f ( x) i n? f ( a) a ? , m 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) m i n? f (? ) ? ?a ? 。 2 2 4
当a ?

第三章:函数的基本性质练习题 [训练 C 组] 一、填空题
1.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ( x) ? x(1 ?
3

x) ,

则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) ? _____________________。 x(1 ? 3 x ) 2.若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 x ? ? 0, ?? ? 上为增函数,则实数 a, b 的取值范围是 。

a ? 0且b ? 0
3.已知 f ( x) ?

x2 1 1 1 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =_____。 2 2 3 4 1?x

7 2
4.若 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2



1 ( , ??) 2
5.函数 f ( x) ?

4 ( x ? [3, 6]) 的值域为____________。 ?1, 4 ? x?2
3

6.已知 f ( x) ? ax ? bx ? 4 其中 a, b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的 值等于___________。 ?10 二、选择题

?? x 2 ? x ? x ? 0 ? ? 7.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0 ? , h ? x ? ? ? , 2 ? x ? x ? x ? 0? ? 则 f ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为( D )
A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数 B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

8 . 若 f (x) 是 偶 函 数 , 其 定 义 域 为 ?? ?,?? ? , 且 在 ?0,??? 上 是 减 函 数 , 则

3 5 f (? )与f (a 2 ? 2a ? ) 的大小关系是( C ) 2 2 3 5 3 5 2 2 A. f (? ) > f (a ? 2a ? ) B. f (? ) < f (a ? 2a ? ) 2 2 2 2 3 5 3 5 2 2 C. f (? ) ? f (a ? 2a ? ) D. f (? ) ? f (a ? 2a ? ) 2 2 2 2 2 9.已知 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,

则 a 的范围是( B ) A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6 10.设 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是 ( D ) A. ? x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ? x | x ? ?3或x ? 3?
3 3

B. ? x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D. ? x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3? B )

11.函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是( A. (?a, ? f (a)) C. (a, ? f (a)) B. (a, f (?a)) D. (?a, ? f (?a))

三、解答题
12.已知函数 f ( x) 的定义域是 (0,??) ,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? 1 , 如果对于 0 ? x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y) , (1)求 f (1) ; (2)解不等式

1 2

f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 (2) f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( )

1 2

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) , f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2
? x ?? 2 ? 0 ? ?3 ? x ?0 , ?1 ? x ? 0 。 则? ? 2 ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?
13.当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x ? (2 ? 6a) x ? 3a 的最小值。
2 2

解:对称轴 x ? 3a ? 1, 当 3a ?1 ? 0 ,即 a ?

1 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间, f ( x) min ? f (0) ? 3a ; 3

2 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, f ( x) min ? f (1) ? 3a ? 6a ? 3 ; 3 1 2 2 当 0 ? 3a ?1 ? 1 ,即 ? a ? 时, f ( x) min ? f (3a ? 1) ? ?6a ? 6a ? 1 。 3 3
当 3a ?1 ? 1 ,即 a ? 14.已知 f ( x) ? ?4 x ? 4ax ? 4a ? a 在区间 ? 0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值.
2 2

解:对称轴 x ?

a a ,当 ? 0, 即 a ? 0 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, 2 2
2

则 f ( x) max ? f (0) ? ?4a ? a ? ?5 ,得 a ? 1 或 a ? ?5 ,而 a ? 0 ,即 a ? ?5 ;

a ? 1, 即 a ? 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间,则 f ( x) max ? f (1) ? ?4 ? a 2 ? ?5 , 2 a 得 a ? 1 或 a ? ?1 ,而 a ? 2 ,即 a 不存在;当 0 ? ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, 2 a 5 5 5 则 f ( x) max ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ? ,即 a ? ;∴ a ? ?5 或 。 2 4 4 4 3 2 1 1 1 1 15.已知函数 f ( x) ? ax ? x 的最大值不大于 ,又当 x ? [ , ]时, f ( x) ? ,求 a 的 2 6 4 2 8
当 值。 解: f ( x) ? ? 对称轴 x ?

3 a 1 1 1 ( x ? ) 2 ? a 2 , f ( x) ? a 2 ? , 得 ? 1 ? a ? 1 , 2 3 6 6 6

a 3 1 ?1 1? ,当 ?1 ? a ? 时, ? , ? 是 f ( x) 的递减区间,而 f ( x) ? , 3 4 8 ?4 2? 1 2

a 3 1 3 ? ? , a ? 1 与 ?1 ? a ? 矛盾,即不存在; 2 8 8 4 1 1 ? 3 a 1 a 1 1 3 当 ? a ? 1 时,对称轴 x ? ,而 ? ? ,且 ? 4 2 ? 4 3 4 3 3 3 2 8 1 a 3 1 3 即 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 ,而 ? a ? 1 ,即 a ? 1 2 2 8 8 4 ∴ a ?1
即 f ( x) min ? f ( ) ?


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