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2007-2014广东文科数学函数导数


2007 21.(本小题满分l4分) 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围. 【解析】若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 2 x ? 3 ,令 f ( x) ? 0 ? x ?

3 ? [?1,1] ,不符题意, 故 a ? 0 …

……2分 2

?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 当 f ( x ) 在 [-1,1]上有一个零点时,此时 ? 或 f (?1) ? f (1) ? 0 ………6分 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2a ?
解得 a ?

?3 ? 7 或 1 ? a ? 5 …………………………………………………………………8分 2

?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 1 ? 当 f ( x ) 在[-1,1]上有两个零点时,则 ??1 ? ? ………………………………10分 ?1 2a ? ? ? f (?1) ? f (1) ? 0
? ?3 ? 7 ?3 ? 7 或a ? ?a ? 2 2 ? ?3 ? 7 1 1 1 解得 ?a ? ? 或a ? 即a ? 或 ? a ? 1或a ? 5 ………………12分 ? 2 2 2 2 ? ?a ? 1或a ? 5 ? ?
综上,实数 a 的取值范围为 (??,
2

?3 ? 7 1 ] [ , ??) . ……………………………………14分 2 2
2

(别解: 2ax ? 2x ? 3 ? a ? 0 ? (2 x ?1)a ? 3 ? 2 x ,题意转化为知 x ?[?1,1] 求 a ? 令 t ? 3 ? 2 x ? [1,5] 得 a ?

3 ? 2x 的值域, 2 x2 ?1

2 转化为勾函数问题.) 7 t ? ?6 t

2009 21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取得最小值 m-1(m ? 0 ). 设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 21.【解析】(1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ;
2

又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2

a ?1

?

b ? ?1 , b ? 2 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2 , x x
2 0 2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

m ?2?0, x

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1 k ? 1? 1 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 m

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,

x?

1 k ?1

2010 20.(本小题满分 14 分) 已 知函 数 f ( x ) 对 任意 实数

x 均 有 f ( x) ? kf ( x? 2), 其 中常 数 k 为 负数 ,且 f ( x) 在 区 间 ?0, 2? 上 有表 达式

f ( x) ? x( x ? 2) .

w_w w. k#s5_u .c o*m

(1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x ) 在 ?3,3 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 ?3,3 上的单调性; (3)求出 f ( x ) 在 ?3,3 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 20.解:(1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f ( x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2) ∴ f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k

? ?

? ?

?

?

w_w*w.k_ s_5 u.c*o*m

1 f ( x) k 1 1 3 ∴ f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k 4k 1 1 1 (2)若 x ? [0,2] ,则 x ? 2 ? [2,4] f ( x ? 2) ? f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k 1 ∴当 x ? [2,4] 时, f ( x ) ? ( x ? 2)( x ? 4) k
由 f ( x) ? kf ( x ? 2) 得 f ( x ? 2) ? 若 x ? [?2,0) ,则 x ? 2 ? [0,2) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2) 若 x ? [?4,?2) ,则 x ? 2 ? [?2,0)
2

∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2)

∴ f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)(x ? 4)

∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k ( x ? 2)(x ? 4) ∵ (2,3] ? [2,4],[?3,?2) ? [?4,?2)

?k 2 ( x ? 2)(x ? 4), x ? [?3,?2) ? kx( x ? 2), x ? [?2,0) ? ∴当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)(x ? 4), x ? (2,3] ? k
2 ∵ k ? 0 ,∴当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k ( x ? 2)(x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数;

当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? kx( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [?2,?1) 时, f ( x) 为增函数,当

x ? [?1,0) 时, f ( x) 为减函数;
当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [0,1) 时, f ( x) 为减函数;当 x ? [1,2] 时,

f ( x) 为增函数;
当 x ? (2,3] 时, f ( x ) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数。 k

(3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。(可画图分析) ∵ f (?3) ? ?k 2 , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ? ∴当 ? 1 ? k ? 0 时, y max ? f (3) ? ?

1 k

1 , y min ? f (1) ? ?1; k

当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? f (3) ? 1, ymin ? f (?3) ? f (1) ? ?1; 当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? ?k , ymin ? f (?3) ? ?k 2 .

2011 19.(本小题满分 14 分) 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性.

2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 ( x ? 0) x 1 当a ? 1时,f ?( x) ? ,所以f ?( x) ? 0在(0, ? ?)成立。 x 所以f ( x)在(0, ? ?)递增。 解:f ?( x) ? 当a ? 1时,令g(x)= 2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 1 当? ? 0时,即 ? a ? 1时, 2a (1 ? a ) ? 0, f ?( x) ? 0在(0, ? ?)成立, 3 所以f ( x)在(0, ? ?)递增。 1 3 3 3 当? ? 0时,即a ? , 令g(x)=0得x= , 所以f ?( x) ? 0在(0,), ( , ? ?)成立, 3 2 2 2 3 又因为f(x)在x= 有意义,所以f ( x)在(0, ? ?)递增。 2 1 当? ? 0时,即0<a ? 或a ? 1, 令g(x)=0得 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 , x2 ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 若0<a ? ,则2a (1 ? a ) ? 0, 0 ? x2 ? x1 , 3 x1 ? 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 ? f ( x)>0在(0, ),( , ? ?)成立, 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)<0在( , )成立, 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 所以f(x)在(0, ),( , ? ?)单调递增, 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 在( , )单调递减。 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 若a ? 1,则2a (1 ? a ) ? 0, x1 ? 0 ? x2 , 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)>0在(0, )成立,f ?( x)<0在( , ? ?)成立, 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 所以f(x)在(0, )递增,在( , ? ?)递减。 2a(1 ? a ) 2a(1 ? a)
1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 综上所述:当0<a ? ,f(x)在(0, ),( , ? ?)单调递增, 3 2a(1 ? a) 2a(1 ? a) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 在( , )单调递减。 2a(1 ? a) 2a(1 ? a) 1 当 ? a ? 1时,f ( x)在(0, ? ?)递增。 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 当a>1时,f(x)在(0, )递增,在( , ? ?)递减。 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

2012 21.(本小题满分 14 分) 设 0<a<1,集合 A ? ? x ? R | x ? 0? , B ? x ? R | 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? ? 6a ? 0 , D ? A ? B (1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 f ? x ? ? 2x ? 3?1 ? a ? x ? 6ax 在 D 内的极值点。
3 2

?

?

1 ? a ?1 当3 时, 集合 B=

? ,所以集合 D= A B ? ? ;
a?


1 3 时,集合 B= ?x | x ? 1? ,此时集合 D= ?x | x ? 0且x ? 1? .

[2013]

21.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x

?k ? R ? .

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 21. 解: f
'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x? ? 3x2 ? 2x ?1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0

k
k 3

-k

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
(2)当 k ? 0 时, f
2

x?

'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1,其开口向上,对称轴 x ?

(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即 ?
3

k 1? ,且过 ? 0, 3

k

' 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增,

从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ? k 时, f ? x ? 取得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
3 3

(ii)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3
2

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即 k ? ?

' 2 3 时,令 f ? x ? ? 3x ? 2kx ?1 ? 0

解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3
1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结合图像判断) , x1 ? x2 ? 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ?

?m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3
3 2 3 3 2 解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ?? k , ?k ? ,都有 f ( x) ? f (k ) ? x ? kx ? x ? k ? k ? k ? ( x ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故

f ? x? ? f ? k ?
f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0
故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k ? k ? 0
3

所以 f ( x)max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k

2014

1 21. 已知函数f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ax ? 1(a ? R). 3 (1)求函数f ( x)的单调区间; 1 1 1 (2)当a ? 0时, 试讨论是否存在x0 ? (0, ) ( ,1), 使得f ( x0 )=f ( ). 2 2 2

解 : (1) f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? a, 方程x 2 ? 2 x ? a ? 0的判别式 : ? ? 4 ? 4a, ?当a ? 1时, ? ? 0,? f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)在(??, ??)上为增函数. 当a ? 1时, 方程x 2 ? 2 x ? a ? 0的两根为 ? 1 ? 1 ? a , 当x ? (??, ?1 ? 1 ? a )时, f ' ( x) ? 0,? 此时f ( x)为增函数, 当x ? (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a )时, f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)为减函数, 当x ? (?1 ? 1 ? a , ??)时, f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)为增函数, 综上, a ? 1时, f ( x)在( ??, ??)上为增函数, 当a ? 1时, f ( x)的单调递增区间为( ??, ?1 ? 1 ? a ), ( ?1 ? 1 ? a , ??), f ( x)的单调递减区间为(?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ).
1 1 1 1 ?1 1 ? (2)解法一 : f ( x0 ) ? f ( ) ? x03 ? x0 2 ? ax0 ? 1 ? ? ( )3 ? ( ) 2 ? a( ) ? 1? 2 3 2 2 ?3 2 ? 1? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? x03 ? ( )3 ? ? ? x0 2 ? ( ) 2 ? ? a( x0 ? ) 3? 2 ? ? 2 ? 2 x 1 ? 1? 1 1 1 1 ? ?( x0 ? )( x0 2 ? 0 ? ) ? ? ( x0 ? )( x0 ? ) ? a( x0 ? ) 3? 2 2 4 ? 2 2 2 1 x2 x 1 1 1 1 ? ( x0 ? )( 0 ? 0 ? ? x0 ? ? a ) ? ( x0 ? )(4 x0 2 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ) 2 3 6 12 2 12 2 1 1 1 ? 若存在x0 ? (0, ) ( ,1), 使得f ( x0 ) ? f ( ), 2 2 2 1 1 必须4 x0 2 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ? 0在(0, ) ( ,1)上有解. 2 2 2 a ? 0,?? ? 14 ? 16(7 ? 12a ) ? 4(21 ? 48a) ? 0, 方程的两根为 : 依题意, 0 ? ?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ? , x0 ? 0,? x0只能是 , 8 4 4

?7+ 21 ? 48a 25 7 ? 1, 即7 ? 21 ? 48a ? 11,? 49 ? 21 ? 48a ? 121,即 ? ?a?? , 4 12 12 ?7+ 21 ? 48a 1 5 5 又由 = , 得a ? ? , 故欲使满足题意的x0 存在, 则a ? ? , 4 2 4 4 25 5 5 7 1 1 1 ?当a ? (? , ? ) (? , ? )时, 存在唯一的x0 ? (0, ) ( ,1)满足f ( x0 ) ? f ( ). 12 4 4 12 2 2 2 25 7 1 1 1 ? 5? 当a ? (??, ? ] [? , 0) ?? ? 时, 不存在x0 ? (0, ) ( ,1)使 f ( x0 ) ? f ( ). 12 12 2 2 2 ? 4?

解法二 : a ? 0,??1 ? 1 ? a ? 0, (i )若a ? ?3, ?1 ? 1 ? a ? 1, 从而由(1)知f ( x)在区间(0,1)上是减函数, 1 1 1 故此时不存在x0 ? (0, ) ( ,1), 使得f ( x0 )=f ( ); 2 2 2 (ii )若 ? 3 ? a ? 0, 则函数f ( x)在区间(0, ?1 ? 1 ? a )上递减, 在区间( ?1 ? 1 ? a ,1)上递增, 5 1 1 1)若a ? ? , 则f ( x)在(0, )上递减, 在( ,1)上递增, 显然此时不存在满足题意的x0 ; 4 2 2 5 1 2)若 ? 3 ? a ? ? , 则 ? ?1 ? 1 ? a ? 1, 若题意中的x0 存在, 则x0 ? (?1 ? 1 ? a ,1), 4 2 1 a 25 25 25 5 故只需f (1) ? f ( ) ? 0, 即 ? ? 0, 则a ? ? , 故 ? ? a ? ? 时存在满足题意的x0 ; 2 2 24 12 12 4 5 1 3)若 ? ? a ? 0, 则0 ? ?1 ? 1 ? a ? , 若题意中的x0 存在, 则x0 ? (0, ?1 ? 1 ? a ), 4 2 1 a 7 7 5 7 故只需f (0) ? f ( ) ? 0, 即 ? ? ? 0, 则a ? ? , 故 ? ? a ? ? 时存在满足题意的x0 . 2 2 24 12 4 12 综上所述 : 25 5 5 7 1 1 1 ?当a ? (? , ? ) (? , ? )时, 存在唯一的x0 ? (0, ) ( ,1)满足f ( x0 ) ? f ( ). 12 4 4 12 2 2 2 25 7 1 1 1 ? 5? 当a ? (??, ? ] [? , 0) ?? ? 时, 不存在x0 ? (0, ) ( ,1)使 f ( x0 ) ? f ( ). 12 12 4 2 2 2 ? ?


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