当前位置:首页 >> 数学 >>

解析几何专题五(动点轨迹方程)


专题五:解析几何动点方程专题——轨迹
一、【直接方程法】——根据等量关系构建设 f(x,y)=0 关键:寻找等量关系建立方程 二、 【曲线定义法】——根据已知条件推断曲线 f(x,y)=0 的类 型 关键:根据几何关系曲线属何种曲线定义推导曲线方 三、【待定系数法】——根据曲线类型设方程形式 关键:确定是设标准方程还是一般方程还是曲系方程
x2 y2 y2 x

2 x2 y2 2 2 ? ?1 椭圆方程: 标准式: 2 ? 2 ? 1; 2 ? 2 ? 1;一般式 : Ax ? By ? 1 :同焦式: a b a b ? ? c2 ? 双曲线方程: x2 y2 y2 x2 标准式: 2 ? 2 ? 1; ? 2 ? 1;一般式Ax 2 ? By 2 ? 1 2 a b a b 2 2 x y b x2 y2 同焦式: ? 2 ? 1,同渐近线 y = ? x , 曲系 : 2 ? 2 ?? ? c ?? a a b
直线系、圆系方程:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 =0与l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 ; 过l1与l 2交点的直线方程 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 ; 简称:l1 ? ? l 2 ? 0

C1 : A1 x 2 ? B1 y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 =0与C 2 : A2 x 2 ? B2 y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 =0 ( 1 )过其公共点的圆的方程:C1 ? ?C 2 ? 0 ; ( 2 )( D1 ? D2 )x ? ( E1 ? E2 )y ? ( F1 ? F2 ) ? 0; 是两圆公共弦或公切线方程
C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F =0与l : Ax ? By ? C ? 0 则C ? ? ? l ? 0 ; 是过线与圆交点的圆的方程

四、【代入消参法】 类型一:不知动点轨迹方程类型

参数形态一: (x1 , y1 ),(x2 , y2 ), y = kx + b (1)建立动点坐标与x1,x2 , k等式关系(2)用x1,x2表示k (消参数x1 ,x2 ); (3)利用等式方程消参数k建立方程(4)讨论取值范围
参数形态二: (x1 , y1 ),(x2 , y2 )与(x0 , y0 ) (1)建立动点坐标与x1 ,x2的等式关系(2)建立x0 , y0与x1 ,x2等式关系 (3)用x1 ,x2表示x0 , y0并代入(x0 , y0 )所在曲线建立新的方程(4)讨论取值范围

类型二:已知动点轨迹方程类型 求参数值
①设曲线方程②设定相关参数; ③通过参数方程,运用韦达定理及代入 法,求出曲线参数

五、【交轨法】——交轨消参法(建立满足两轨的方程) =============================================== 一、直接方程法——根据等量关系构建设 f(x,y)=0 关键:寻找等量关系建立方程 例题 1 [2013〃陕西卷] 已知动圆过定点 A(4,0),且
在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程;(2)略. 【解】(1)如图所示,设动圆圆心 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时, 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点,MH=4 ∴|O1M|= x2 ? 42 ,又|O1A|= ( x ? 4 )2 ? y 2 , ∴ x2 ? 42 = ( x ? 4 )2 ? y 2 . 化简得 y2=8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时, O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2=8x,

∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x.
本题关键利用了|O1M|=|O1A|建立方程式

例题 2 知点 A(-2,0),B(3,0).动点 P(x,y)满足
则 P 的轨迹是?

PA · PB =x

2

【解】 PA =(-2-x,-y), PB =(3-x,-y), PA · PB =x
2 2

2

则(-2-x)·(3-x)+(-y) ·(-y)=x 整理得:y =x+6 所以 P 点的轨迹为抛物线。
解析几何中向量和用图形找点线关系; 向量积用坐标运算建立等式方程

===================================================== 二、曲线定义法——根据已知条件推断曲线 f(x,y)=0 的类 型 关键:根据几何关系曲线属何种曲线方程 例题 3
【解】
以BC边所在直线为x轴,以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系. 1 AB AC 1 BC 因为 sin C ? sin B ? sin A,由正弦定理得: ? ? ? , 2 2R 2R 2 2R 1 所以AB ? AC ? (定值) a . 2
在?ABC中,已知BC = a,当动点 A满足条件 sinC - sinB = 求动点A的轨迹方程. 1 sinA 时, 2

根据双曲线定义,A点的轨迹方程是双曲线的右支(除顶点),它的焦距是2c ? a. x2 y 2 a a a2 设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1,则2m ? AB ? AC ? ,所以m ? ,m2 ? , m n 2 4 16
a a 2 3a 2 x2 y2 又n 2 ? c 2 ? m 2 ? ( ) 2 ? ? ,故动点A的轨迹方成为: 2 ? 2 ? 1( x ? 0) a 3a 2 16 16 16 16

正弦定理:在一个三角形中,各边和它对角的正弦的比相等且等于2 R (R是三角形外接圆半径)

例题 4 [2013〃新课标全国卷Ⅰ] 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x
-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲 线 C.(1)求 C 的方程;(2)略 【解】 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1; N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M, N 为左、右焦点,长半轴长为 2, 短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为
x2 y2 ? ? 1 (x≠-2). 4 3



P M



例题 5

已知圆 C:(x+1)2+y2=8,点 A(1,0)是圆内一点,AM 的垂直

平分线交 CM 于 N,点 M 在圆 C 上运动时求 N 的轨迹 【解】连接 NA,则 NA=NM,C(-1,0),A(1,0);CA=2

M N C A

MC ? 2 2 ? NC ? NM ? NC ? NA ? 2 2

因此 N 点轨迹是以 C,A 为焦点的椭圆
x2 2a ? 2 2 ; 2c ? 2 ? a ? 2 ,b ? 1 ? ? y2 ? 1 2

例题 6 [2011 年广东理科]
设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 , ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. (1) 求 C 的圆心轨迹的方程;

C F1 F2

【解】画出草图(1)CF1=2+r;CF2=r-2
? CF1 ? CF2 ? 2a ? 4<2 5 ? 2c;因此C点轨迹为双曲线右支

(2)CF2=2+r;CF1=r-2
? CF2 ? CF1 ? 2a ? 4<2 5 ? 2c;因此C点轨迹为双曲线左支

C F1 F2

因此 c 的轨迹为双曲线, a ? 2,c ? 5 ;
? x2 ? y2 ? 1 4

三、 待定系数法——根据曲线类型设方程形式 关键:确定是设标准方程还是一般方程还是曲系方程
椭圆方程:

标准式:

x2 y2 y2 x2 x2 y2 2 2 ? ? 1 ; ? ? 1 ; 一般式 : A x ? By ? 1 : 同焦式 : ? ?1 a 2 b2 a 2 b2 ? ? c2 ?

双曲线方程:

x2 y2 y2 x2 标准式: 2 ? 2 ? 1; 2 ? 2 ? 1;一般式Ax 2 ? By 2 ? 1 a b a b x2 y2 b x2 y2 同焦式: ? 2 ? 1,同渐近线 y = ? x ,曲系 : 2 ? 2 ?? ? c ?? a a b
直线系、圆系方程:
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 =0与l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0; 过l1与l 2交点的直线方程 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 ; 简称:l1 ? ? l 2 ? 0

C1 : A1 x 2 ? B1 y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 =0与C 2 : A2 x 2 ? B2 y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 =0 ( 1 )过其公共点的圆的方程:C1 ? ?C 2 ? 0 ; ( 2 )( D1 ? D2 )x ? ( E1 ? E2 )y ? ( F1 ? F2 ) ? 0; 是两圆公共弦或公切线方程

C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F =0与l : Ax ? By ? C ? 0 则C ? ? ? l ? 0;是过线与圆交点的圆的方程
=======================================================================

例题 7 椭圆中心在原点, 对称轴是坐标轴, 且经过 A(-3,0),B(0,2
求椭圆方程 【解】通常不清楚长短半轴的值,但曲线经过点,通常用一般式

2 ),

?9 A ? 1 x 2 y 2 设椭圆方程 : Ax ? By ? 1;由题意 ? ? ? ?1 8 B ? 1 9 8 ?
2 2

例题 8 求与双曲线 x
【解】 设

2

9

?

y2 ? 1 有共同渐近线, 且过 P(6,8 2 )双曲线方程 16

x2 y2 y2 x2 ? ? ? , 过( 6 ,8 2 )代入可得? ? ?4 ? ? ?1 9 16 64 36

例题 9 A,B,D 三点不在一直线上,且 A(-2,0),B(2,0), | AD |? 2 )
1 AE ? ( AB ? AD );( 1 )求E的轨迹方程 2 (2)过A作直线交 A, B 为焦点的椭圆于M, N两点, 线段MN的中点到y轴距离为 且直线M N与E的轨迹相切, 求椭圆方程

D E A

4 5

【解】(1)直接法方程求轨迹:设 E(x,y)
1 由AE ? ( AB ? AD ) ? E 是DB的中点 2

B

x?

D ?0 Dx ? 2 ,y? y ? D点坐标(2x - 2,2y) 2 2

2 | AD |=2?(2x - 2 ? 2 )2 ? ( 2y) ? 4 | AD |=2? x 2 ? y2 ? 1( y ? 0 )

(2)待定系数法求轨迹 由题可知 c=2,因此可设椭圆方程为:

N E A M B

x2 y2 ? ? 1; 设直线方程为 y = k(x+ 2) a2 a2 ? 4
MN 相切于E,则OE=r=1 ? 2k 1? k
2

?1? k ? ?

3 3

LMN : y = ?
2 2

3 (x+ 2), 代入椭圆方程得 3
2 2 4

x1 ? x2 a2 4( a ? 3 )x ? 4a x ? 16a ? 3a ? 0 ? ? 2 ?2( a 2 ? 3 )
x y 4 a2 4 2 ? ? ?1 MN的中点到y距离为 ? ? ? a ? 8 8 4 5 ?2( a 2 ? 3 ) 5
2 2

例题 10
求过园C1 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0与x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0的交点, 且园心 在直线2 x ? 4 y ? 1 ? 0的园的轨迹方程
【解】

C1 ? C 2得相交线弦方程 : ?4 x ? 4 y ? 4 ? 0;

利用相交园的园系方程 :
设园 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? ?( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ) ? 0
化为 : ( 1 ? ? )x 2 ? ( 1 ? ? ) y 2 ? 4 x ? 2( 1 ? ? ) y ? 4? ? 0 ; 化系数 4 2( 1 ? ? ) 4? 2 (1 ? ? ) x2 ? y2 ? x? y? ? 0 ;园心( ,? ) 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

园心在直线2 x ? 4 y ? 1 ? 0上 , 代入园心坐标则2 ? 求得? ?

2 ?( 1 ? ? ) ?4 ?1 ? 0 1? ? 1? ?

1 ; 所以园的方程为 : x 2 ? y 2 ? 3 x ? y ? 1 ? 0. 3

2 2 例题 11 过原点 O 作圆 C x ? y ? 6 x ? 8 y ? 20 ? 0 的两条切线,求

过两切点 PQ 的直线方程(或求两点间距离) 【解】过 PQ 以 O 为圆心的圆的方程为:半径为

? OC 2 ? r 2 ? 52 ? ( 5 )2 ? 2 5

圆O : x 2 ? y 2 ? 20 ? 过两相交弦的直线方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 20 ? ( x 2 ? y 2 ? 20 ) ? 0
PQ直线方程 : 3 x ? 4 y ? 20 ? 0
============================================================

四、代入消参法——求曲线轨迹方程最重要的方法
【方法步骤】
(1)设轨迹点(x, y),相关点(x1 , y1 ),(x2 , y2 )或(mcos? ,msin? )及y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ?比例关系,向量关系 ? ?坐标关系(如重心外心等) (2)利用等式关系如 ? ?建立坐标参数及方程 ?对称关系 ? ?特定表达式等式 (3)利用韦达定理及相关关系,多次代入消除(x1 , x2或k )? 建立曲线方程 (4)讨论参数取值范围,确定曲线中x, y的取值范围

【类型一】:不知动点轨迹方程类型 【难点参数类型一】 参数( x1, y1 ),( x2 , y2 )和y ? kx ? b
曲线C上两点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB直线方程y ? kx ? b,求在AB上动点P轨迹 第一步:建立参数坐标间的关系A( x1 , kx1 ? b), B( x2 , kx2 ? b);

利用曲线与直线方程建立x与x1 , x2的方程,构建出x1 ? x2 , x1 ? x2的形态 y ? kx ? b ? 第二步: ? 建立x与k的方程,得出x1 ? x2 ? g(k ), x1 ? x2 =h(k) C : f ( x, y ) ?
第三步:消除x1 , x2 ; 将②代入① 消除x1 , x2 ; 并建立x与k的方程 ③ y?b 第三步:消除k ; k ? 代入③并建立动点 P 的轨迹方程 x
第四步:讨论参数k的取值范围进而确定x, y的取值范围 (1)建立动点与x1,x2 , k等式关系(2)用x1,x2表示k (消参数x1,x2 );

① ②

(3)利用等式方程消参数k建立方程(4)讨论取值范围

【难点参数类型二】 参数:曲线C上( x1, y1 ),( x2 , y2 )和曲线M上P( x0 , y0 )
第一步:建立参数坐标间的关系A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ));用x1, x2表示动点P的坐标 第二步:通过A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))与P ( x0 , g( x0 ))的关系建立方程

并建立x0 , y0与x1 ? x2 , x1 ? x2的等式关系 第三步:P在曲线M上( x0 , g( x0 ))建立关于x1 ? x2 , x1 ? x2的等式关系 第四步:消除参数x1,x2;用x, y代换x1,x2建立动点曲线方程

【类型二】:知动点轨迹方程类型,求参数值 第一步:根据已知条件,待定系数法设定曲线方程 第二步:设定相关参数; 第三步:通过参数关系方程,运用韦达定理 及代入法,求出曲线参数

例题 12
已知 ?ABC的顶点B(-3,0),C(1,0), A在抛物线y = x2上运动,求? ABC重心 G 的轨迹

【解】(1)设参数:设G(x, y), A(x1 , y1 )
?3 ? 1 ? x1 ? x ? ? ? x1 ? 3 x ? 2 ? 3 (2)寻找等式关系 :? ?? ? y1 ? 3 y ? y ? y1 ? 3 ?

(3)代入消参:∵A在抛物线上y1 = x12
4 ? y = 3 x 2 ? 4 x ? ( y ? 0) 3

例题 13 设 G,M 分别为三角形 ABC 的重心和外心,A(-1,0),B(1,
0)
且GM / / AB求点C的轨迹

【解】(1)设参数:设C(x, y) G为重心则G (

?1 ? 1 ? x 0 ? 0 ? y , ) 3 3

y y GM / / AB ? M点纵坐标为 , M为外心(三垂直平分线交点)∴横坐标为0 ? M(0, ) 3 3 x ?1 y , ); MF ? AC ? MF ? AC ? 0 (2)寻找关系等量关系: F ( 2 2

x ?1 y ? x ?1 y (3)建立方程式: MF ? ? , ? ; AC ? ? x ? 1, y ? ? ? ( x ? 1) ? ? y ? 0 ? ? 2 6? 2 6

? 3x 2 ? y 2 ? 3( y ? 0)

例题 14 [2013〃四川卷] 已知椭圆 C: x2 ? y2
a b

2

2

? 1 (a>b>0)的两个焦点

? 分别为 F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆 C 经过点 P ? , ? .(1)求椭圆 C 的 ? ? 4 3? 3 1

离心率;(2)设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 Q 是 线段 MN 上的点,且
2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN | 2

x2 【解】:(1)略; ? y 2 ? 1 2

(2)由(1)知,椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 ; 2

第一步:设点 Q 的坐标为(x,y).并设直线方程

①当直线 L 与 x 轴垂直时,直线 L 与椭圆 C 交于(0,1),(0,-1)两点,
2 1 1 求出 Q 的坐标 ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN | 2

根据

.

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 L 的方程为 y=kx+2.因为 M,N 在

直线 l 上,可设点 M,N 的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2) 则
| AQ |2 ? x 2 ? ( y ? 2 )2 ? ( 1 ? k 2 )x 2



第二步建立等式方程:建立参数关系
由 2 1 1 ? ? 得 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

关键: 重点体现x1 ? x2 ; x1 x2

x12 ? x2 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ? k 2 )x 2 ( 1 ? k 2 )x12 ( 1 ? k 2 )x22 x 2 x12 x22 x12 x22 x12 x22

?

2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 2 x2 x1 x2

①【如何消除 x1,x2】

第三步代入方程并消除参数 x1,x2: 将 y=kx+2 代入
x2 ? y 2 ? 1 中,得 2

(2k2+1)x2+8kx+6=0
? x1 ? x 2 ?

② (由Δ>0,可得 k 2 ? )

3 2

? 8k 6 ; x1 x 2 ? 2 代入①中并化简,得 2 2k ? 1 2k ? 1 18 ? x2 ? ③ 10 k 2 ? 3

再次代入消除参数 k 因为点 Q 在直线 y=kx+2 上,所以 k= 得 10(y-2)2-3x2=18. 第四步讨论取值范围
y?2 ,代入③中并化简, x

3 由 k2 ? , 2

3 k2 ? 18 3 6 6 2 2 x ? ??? ? 0 ? x ? ? ? ? x ? 10k 2 ? 3 2 2 2 2

例题 15 [2013〃辽宁卷] 如图,抛物线 C1:x2=4y,C2:x2=-
2py(p>0).点 M(x0,y0)在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线(该斜率为 ), 切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O). 1 当 x0=1- 2时,切线 MA 的斜率为- . 2 (1)求 p 的值;(2)当 M 在 C2 上运动时,求 段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中 为 O). x 【解】(1)因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 ,且 2
? 1? 1 切线 MA 的斜率为- ,所以 A 点坐标为?-1, ?.故切线 MA 的方程为 4? 2 ?
x 2

线 点

1 1 y=-2(x+1)+4. 因为点 M(1- 2,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是 3-2 2 1 1 y0=-2(2- 2)+4=- 4 , ①

(1- 2)2 3-2 2 y0=- =- 2p 2p .
由①②得 p=2.



解(2)第一步设坐标,及相关点坐标
2 ? ? ? x2 x2 1? 设 N(x,y),A?x1, ?,B?x2, ?,x1≠x2, 4? 4? ? ?

第二步建立参数(坐标)关系; 重点体现x1 ? x2 ; x1 x2

由 N 为线段 AB 中点知

x1+x2 x= ,③ 2

2 x2 1+x2 y= .④ 8

关键是联动点坐标在某曲线上,建立 x0,y0 与 x1,x2 的关系 切线 MA,MB 的方程为(点斜式)
2 x1 x1 x2 x2 2 y- = (x-x1),⑤ y- = (x-x2).⑥ 4 2 4 2

x1+x2 x1x2 由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0= ,y0= . 2 4 第三步代入建立曲线方程,消除参数 因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x2 0=-4y0,所以
2 x2 1+x2 x1x2=- . ⑦;到 6

4 由③④⑦得 x2= y,x≠0 3

4 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x2=3 y 4 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2= y 3

【类型二】:已动点轨迹方程类型,只求参数

例题 15 椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点 F,M
是椭圆上的任意点,|MF|的最大值与最小值的几何平均数 2,椭圆上如果 存在以 y=x 为轴对称的对称点 M1,M2;且|M1M2|=
4 10 求椭圆方程 3

【解】第一步:根据已知条件,待定系数法设定曲线方程 M 是椭圆上的任意点,|MF|的最大值与最小值之差为 2 |MF|max=a+c; |MF|min=a-c;因为几何平均数为 2:
MF min MF min ? ( a ? c )( a ? c ) ? 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 4 ;b ? 2

设椭圆方程 :

x2 y2 ? ? 1; a2 4

第二步,设定相关参数
x2 y2 设椭圆方程 : 2 ? ? 1; 设M1M2直线方程 : y ? ? x ? m; 联立方程 a 4

第三步通过参数关系方程,运用韦达定理及代入法,求出相关参数

x1 ? x2 a 2m ( a ? 4 )x ? 2a mx ? a m ? 4a ? 0 ? ? 2 4 ? a2 x1 ? x2 a 2m 4m 设M1M2中点坐标(x0 , y0 ); x0 ? ? ; y ? ? x ? m ? 0 0 2 4 ? a2 4 ? a2
2 2 2 2 2 2

a 2m 4m 中点在y=x上;代入法 ? ? ; a 2 ? 0 ; ? m ? 0 ; 所以M1M2过原点 2 2 4?a 4?a

4a 2 4 10 2 ?? x1 ? x2 ? 0; x1 ? x2 ? ? ? | M M | ? 2 ? ( x ? x ) ? 4 x ? x ? 1 2 1 2 1 2 4 ? a2 3
16a 2 160 x2 y2 2 ? 2? ? ?a ?5? ? ?1 4 ? a2 9 5 4

例题 16
已知圆C1:(x- 2)2 + (y- 1)2 = C 2 的离心率为 20 x2 y2 , 椭圆C 2 : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 3 a b

2 ,两曲线相交于 A, B两点, 且AB是 C 1 的直径 2 求AB的直线方程与C 2 的曲线方程

【解】第一步:根据已知条件,待定系数法设定曲线方程
e? x2 y2 2 , ? 2 2 ? 22 ? 1 2 2b b

第二步,设定相关参数

第三步通过参数关系方程,运用韦达定理及代入法,求出相关参数

例题 17 [2013〃新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆
M:
x2 y2 ? ? 1 =1(a>b>0)右焦点的直线 x+y- 3 =0 交 M 于 A,B 两 a 2 b2
1 2

点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . (1)求 M 的方程; 【解法一】:第一步:根据已知条件,待定系数法设定曲线方程(无) 第二步,设定相关参数 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则

x12 y12 x 2 2 y2 2 y ? y1 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 .因为 AB 的斜率为-1 ? 2 ? ?1 2 a b a b x2 ? x1

第三步通过参数关系方程,运用韦达定理及代入法,求出相关参数
( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) b2 ( x2 ? x1 ) (y ? y ) ? ? ? ? ? 2 1 ?1 2 2 2 a b a ( y2 ? y1 ) ( x2 ? x1 )

代入:因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,
2b2 x0 x 1 ? 2 ? 1; OP斜率= ? 0 ? 2 ? a 2 ? 2b2 2a y0 2 y0

又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. 所以 M 的方程为
x2 y2 + =1 6 3

例题 19 [2013·湖南卷] 过抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点 F 作斜
率分别为 k1,k2 的两条不同直线 L1,L2,且 k1+k2=2.L1 与 E 相交于点 A,B ,L2 与 E 相交于点 C,D 以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为 L. →〃→ (1)若 k1>0,k2>0,证明:FM FN<2p2; 7 (2)若点 M 到直线 L 的距离的最小值为


5 5

,求抛物线 E 的方程

? p? 【解】:(1)证明:由题意,抛物线 E 的焦点为 F?0, ?, 2? ?

p 直线 l1 的方程为 y=k1x+ . 2

?y=k1x+p, 2 2 得 x -2pk1x-p2=0. 由? ?x2=2py
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1,x2 是上述方 程的两个实数根,从而 x1+x2=2pk1. y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk2 1+p.
? p? 2 所以点 M 的坐标为?pk1,pk1+ ?,→ FM=(pk1,pk2 1). 2? ? ? p? → 2 同理可得点 N 的坐标为?pk2,pk2+ ?,FN =(pk2,pk2 2). 2? ?
2 →〃→ 于是FM FN=p2(k1k2+k2 1k2).

k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以 0<k1k2<?

?k1+k2?2 ? =1. ? 2 ?

→ <p (1+1 )=2p 故→ FM〃FN
2 2

2

【解】:(2)首先必须求出 L 的直线方程 p p 由抛物线的定义得|FA|=y1+2,|FB|=y2+2,
2 2 直径|AB|=y1+y2+p=2pk1 +2p,从而圆 M 的半径 r1=pk1 +p.

? p?2 2 2 故圆 M 的方程为(x-pk1)2+?y-pk1- ? =(pk2 1+p) . 2? ?

3 2 化简得 x2+y2-2pk1x-p(2k1 +1)y- p2=0. 4 3 2 同理可得圆 N 的方程为 x2+y2-2pk2x-p(2k2 2+1)y- p =0. 4 于是圆 M,圆 N 的公共弦所在直线 L 的方程为
(k2-k1)x+(k2-k1)y=0. ? ( k2 ? k1 )[ x ? ( k2 ? k1 )y ] ? 0
2 2

又 k2-k1≠0,k1+k2=2,则 L 的方程为 x+2y=0. 因为 p>0,所以点 M 到直线 L 的距离 |2pk2 1+pk1+p| 5 p|2k2 1+k1+1| 5 1?2 7 ? p2?k1+4? +8 ? ? = . 5

d=



1 7p 7p 7 5 故当 k1=-4时,d 取最小值 . 由题知 = 5 , 8 5 8 5 解得 p=8. 故所求的抛物线 E 的方程为 x =16y.
2

例题 20

【解】:

=====================================================================

五、交轨法——交轨消参法(建立满足两轨的方程) 通常利用 y(或 x)值积后再消参,建立方程
x2 y2 例 21:如图所示,垂直于 x 轴的直线交直线交双曲线 2 - 2 =1 a b 于 MN

两点,A1,A2 为双曲线的顶点,求直线 A1M 与 A2N 的交点 P 的轨迹方程, 并指出轨迹形状.

解:设 M(x1,y1)则 N(x1,-y1),P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0)
则 A1M 的方程为 y= A2N 的方程为 y=2

y1 (x+a), x1+a y1 (x-a) x1-a

-y12 x12 y12 2 2 将以上两方程联立得 y = 2 2 (x -a ) 由于 2 - 2 =1, x1 -a a b

x2 y2 得 2 + 2 =1;当 a=b 时,以原点为圆心,半径为 a;当 a≠b 时,点 P 的轨迹为椭圆. a b 例 22(2010 广东理科)已知双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 , 2

点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程
解 : (1) A1 , A2为双曲线的左 , 右顶点,? 它们的坐标为A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0). 则A1 P : y ? y1 ? 0 x1 ? 2 ( x ? 2 ), A2 Q : y ?
2

? y1 ? 0 x1 ? 2

( x ? 2 ), 两式相乘得: y 2 ?
2

? y1
2

2

x1 ? 2

( x 2 ? 2).

? 点P ( x1 , y1 )在双曲线上, 所以

x1 y 1 1 x2 2 ? y1 ? 1, 即 2 1 ? , 故y 2 ? ? ( x 2 ? 2),即 ? y 2 ? 1. 2 2 2 x1 ? 2 2

[来 经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹 E 的方程

为 例 23

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, 且x ? ? 2 ). 2

【解】:
设A( x0 , y0 )则B(x0 , ? y0 ); AA1方程:y ? y0 ? y0 ( x ? a ); A2 B方程:y ? ( x ?a ) x0 ? a x0 ? a

两式相乘 ???? ?:y 2 ?

? y02 ( x 2 ? a 2 ); 2 2 x0 ? a

x02 y02 ?b2 ( x02 ? a 2 ) b2 ( x 2 ? a 2 ) 2 2 ? ? 1 ; y ? ? y ? 0 a 2 b2 a2 a2

?

x2 y2 ? ? 1;( x ? ?a, y ? 0 ) a 2 b2


相关文章:
高三解析几何:动点轨迹方程
2 ? 1 中,过 P(1,1) 的弦恰被 P 点平分,则该弦所在的直线方程为___...解析几何专题五(动点轨迹... 暂无评价 22页 免费 求曲线的轨迹方程是解析......
圆锥曲线专题五:轨迹问题
圆锥曲线专题五:轨迹问题有关动点轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题,求...一、定义法 圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题,当动点符合圆锥曲线...
纵观解析几何中的轨迹方程的求法1
4页 5财富值 2013年二轮复习专题 解析几... 32页 免费 解析几何专题之 轨迹...采用直接法求动点轨迹方程,先设出动点的坐标为 ( x, y ) ,然后利用题目...
解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结(学生用)
求 曲线的轨迹方程解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质 就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的...
新课程高中解析几何求轨迹方程的常用方法
4页 5财富值 解析几何专题轨迹方程... 18页 20财富值如要投诉违规内容,请到...定义法:如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛...
解析几何平面动点轨迹方程
5财富值 解析几何 求圆的轨迹方程(... 11页 1财富值 解析几何专题轨迹方程...详细的讲解了平面内动点轨迹的方程详细的讲解了平面内动点轨迹的方程隐藏>> 例...
2011高考全国百所名校月考试题重组数学卷专题五_解析几何
2011高考全国百所名校月考试题重组数学卷专题五_解析几何_高考_高中教育_教育专区...求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交...
《解析几何》:求曲线的轨迹方程
2013年二轮复习专题 解析几... 32页 免费 解析几何轨迹方程 4页 5财富值 解析...5:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题...
解析几何——轨迹方程的高考题总结
解析几何——轨迹方程的高考题总结_数学_自然科学_专业资料。解析几何中的轨迹问题...2 五、参数法参数法是指先引入一个中间变量(参数) ,使所求动点的横、纵坐标...
20 解析几何专题3: 轨迹方程
解析几何专题3: 轨迹方程解析几何专题3: 轨迹方程隐藏>> 第二十讲 轨迹方程 ...抛物线 5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,P 是侧面 BB1C1 C 内一动点,...
更多相关标签:
几何画板 动点轨迹 | 解析几何轨迹问题 | 高中数学解析几何专题 | 平面解析几何专题 | 解析几何专题 | 南瓜数学解析几何专题 | 立体几何中的轨迹问题 | 初中数学动点轨迹问题 |