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第七章 多元函数微分学1


第七章 多元函数微分学
z
?M

z ? f ( x, y)

y
O

y
P D

x
x

1

第一节 多元函数的基本概念
预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结

思考题 作业
2

第七章 多元函数微分学

一、预备知识
1. 平面点集 n 维空间
(1) 平面点集 二元有序 实数组(x, y)的全体, 即
R
2

? R ? R ? {( x , y ) x , y ? R }

坐标面

多 元 函 数 的 基 本 概 念

坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 E ? { ( x , y ) ( x , y ) 具有性质 P }. 距离 平面 xOy 中两个点 P1 ? x 1 , y 1 ?和 P 2 ? x 2 , y 2 ?
之间的距离定义为
| P1 P2 | ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2 2

3

邻域 (Neighborhood)
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, ? ? 0, 令
U ( P0 , ? ) ? { P | P ? R 且 | PP 0 |? ? }
2

? {( x , y )

( x ? x0 ) ? ( y ? y0 )
2

2

? ?}

多 元 函 数 的 基 本 概 念

称之为点P0的?邻域, 有时简记为 U ( P0 ). 几何表示: 注
y
?

. P0

O

x

将邻域去掉中心, 称之为 去心邻域 U ( P0 , ? )
4

任意一点 P

? R

2

与任意一点集 E

? R

2

之间
多 元 函 数 的 基 本 概 念
? P2

必有以下三种关系中的一种: (1) 内点 设E为一平面点集,点 P ? E , 若存在 点P的某个邻域, 使 U ( P ) ? E , 称P为E的 P ? 内点. ( P1 ) 显然, E的内点属于E.
3

? P1

(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U ( P ), 使U(P) ∩ E = ?, 则称P为E的外点. ( P 2 )

E

显然, E的外点不属于E. (3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 称P为E的边界点. ( P 3 ) 显然, E的边界点可能属于E,也可能不属于E. E的边界点的全体称为E的边界, 记作 ? E .

5

例如, 设点集 E ? { ( x , y ) 1 ? x ? y ? 2 },
2 2

点 P ( x0 , y0 ) ? R , 若 1 ? x0 ? y0 ? 2,
2 2 2

则P为E的内点;

若 x0 ? y0 ? 1 或 x0 ? y0 ? 2,
2 2 2 2

则P为E的边界点,

多 元 函 数 的 基 本 概 念

E的边界 ? E 为集合
{ ( x , y ) x ? y ? 1 } ? { ( x , y ) x ? y ? 2 }.
2 2 2 2

6

聚点 如果点P的任一去心邻域 U ( P , ? ) 内总含有属于E的点, 则称P是E的聚点. 注 (1)聚点P本身可属于E,也可不 属于E 。 例如, 设点集 E ? { ( x , y ) 1 ? x ? y ? 2 }, 则
2 2

多 元 函 数 的 基 本 概 念

{( x 0 , y 0 ) | x 0 ? y 0 ? 1} ? E
2 2

{( x 0 , y 0 ) | x 0 ? y 0 ? 2 } ? E
2 2

都是E的聚点. (2)E的内点一定是E的聚点。 (3)E的边界点可能是聚点,也可能不是聚点。
7

开集 若E的任意一点都是内点, 称E为开集. 例 E 1 ? { ( x , y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 } 为开集. 闭集 若E的余集 E
c

? R \ E 是开集, 称E为闭集.
2
2 2 2

例 E 2 ? {( x , y ) x ? y ? 1} ? {( x , y ) x ? y ? 4} 为闭集.
2

多 元 函 数 的 基 本 概 念

连通集 如对E内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E, 称E为连通集. 有界集 设O(0,0),如果存在r>0,使得 E ? ? ( O , r ), 则称E为有界集,否则称E为无界集.
?
8

?



设 E 1 ? {( x , y ) | x E 2 ? {( x , y ) | x
E 3 ? {( x , y ) | x

2 2

? y ? y
? y

2 2

? 1}, ? 1},
? 1},

2

2

则E1是开集, E2和E3是闭集, E1和E2是连通 集, E3不是连通集. E1, E2和E3都是有界集.
设 E 4 ? {( x , y ) | x ? 0 },

多 元 函 数 的 基 本 概 念

则E4是连通的无界闭集.

9

平面区域(重要)

连通的开集称开区域.
2 2 如 { ( x , y ) 1 ? x ? y ? 4 },

? ?

多 元 函 数 的 基 本 概 念

{( x , y ) x ? y ? 0 }

都是开区域.
y

x? y ? 0

?
O

x? y ? 0
?
x
10

开区域连同其边界,称为 闭区域.
如 { ( x , y ) 1 ? x ? y ? 4 }, { ( x , y ) x ? y ? 0 }
2 2

都是闭区域 . 有界区域

多 元 函 数 的 基 本 概 念

总可以被包围在一个以原点为中心、 半径
适当大的圆内的区域, 称此区域为 有界区域. 否则称为 无界区域 (可伸展到无限远处的区域 ).

11

y

y
多 元 函 数 的 基 本 概 念

O

x 有界开区域 y

O

x 有界闭区域 y

O

x 有界半开半闭区域

O

x 无界闭区域
12

的一个点, k n维空间中两点 P ( x1 , x2 ,?, xn ) 及 Q ( y1 , y2 ,?, yn ) 的距离定义为
PQ ? ( x1 ? y1 ) ? ( x2 ? y2 ) ? ? ? ( xn ? yn )
2 2 2

多 元 函 数 n R ? R ? R ? ?? R ? {( x1 , x2 ?, xn ) xi ? R, i ? 1,2,?}. 的 基 n 维空间中的每一个元素 ( x1 , x2 ,?, xn ) 称为空间中 本 概 念 数x 称为该点的第k个坐标.

(2) n 维空间 n 元有序数组 ( x1 , x2 ,?, xn ) 的全体 n 维空间. 记作 R n ; 即 称为

n 维空间中点 P0 的?邻域为
U ( P0 , δ ) ? { P PP0 ? δ , P ? R }.
n
13

平面中上述概念可以类似推广到n维空间。

二、多元函数的概念
1. 二元函数的定义

(1) 定义
例 理想气体的状态方程是 pV
? RT

(R为常数)

多 元 函 数 的 基 本 概 念

其中p为压强, V为体积, T为温度. 如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖 于T,V 的关系是
p ? R T V
? T ? ?? ,

称 p为两个变量T,V 的函数, 其中 0

0 ? V ? ?? .
14

定义1

设D是R2平面上的点集, 若在D内
1

每取定一个点P(x, y)时, 按着某种关系有确定的 实数 z ? R 与之对应, 则称z是x, y的 二元函数. 记为
z ? f ( x , y ), ( x , y ) ? D 或 z ? f ( P ) , P ? D

多 元 函 数 的 基 本 概 念

称x, y为自变量,称z为因变量, 点集D称为该函数 的 定义域, 数集 ?z z ? f ( x , y ), ( x , y ) ? D ? 称为该函数的 值域. 两个二元函数相同,当且仅当它们的定义域和对 应法则都相同。 15

函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 )处的函数值
记为 f ( x 0 , y 0 ) 或 f ( P ).

类似, 可定义n元函数. 二元及二元以上的函数统称为 多元函数.
(2) 多元函数定义域

多 元 函 数 的 基 本 概 念

实际问题中的函数: 定义域为符合实际意义的
自变量取值的全体.

纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义的
自变量取值的全体.
16

例 求下面函数的定义域
1. z ? xy
?x ? 0 ?x ? 0 和 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0

解 xy ? 0, 即定义域为 y

多 元 函 数 的 基 本 概 念

O

x 无界闭区域
17

2. z ?

2x ? x ? y
2

2

x ? y ?1
2 2

解 定义域是

( x ? 1) ? y ? 1 且 x 2 ? y 2 ? 1
2 2

y

多 元 函 数 的 基 本 概 念

O

?

1

x

有界半开半闭区域
18

2. 二元函数的几何意义
z
?M

z ? f ( x, y)

多 元 函 数 的 基 本 概 念

y
O

y
P D

x
x

二元函数的图形通常是一张曲面.

19

由空间解析几何知, 函数 如,
z? R ?x ?y
2 2 2

的图形是以原点为中心, R为半径的上半球面. 又如, z ? xy 的图形是双曲抛物面. 最后指出, 从一元函数到二元函数, 在内容 和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元 函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以 二元函数为主.

多 元 函 数 的 基 本 概 念

20

三、多元函数的极限
讨论二元函数 z ? f ( x , y ), 当 x
即 P ( x , y ) ? P0 ( x 0 , y 0 )时的极限 .
? x0 , y ? y0 ,

怎样描述呢?

回忆: 一元函数的极限

多 元 函 数 的 基 本 概 念

注 (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的 方向有任意多个,
路径又是多种多样的. y
( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y)
( x0 , y0 )
?

y

( x, y)
?

( x, y) ( x, y)

( x, y)

( x, y)

( x0 , y0 )

O

x

O

x

21

(2) 变点P(x,y)与定点P0(x0,y0
? ?
2

)之间的距离记为 ?
2

( x ? x 0 ) ? ( y ? y 0 ) ? PP 0
P ( x 0 , y 0 ) 的过程多复杂,

不论 P ( x , y ) 趋向于 总可以用 ?

多 元 函 数 的 基 本 概 念

? 0 来表示极限过程:

P ( x , y ) ? P0 ( x 0 , y 0 )

这样,可以在一元函数的基础上得出 二元函数极限的一般定义.
22

定义2 (? ? ? )设二元函数 f ( P ) ?
?? ? 0, ?? ? 0, 当0 ?| PP |? ? , 有 0
f ( P) ? A ? ?

f ( x , y )的定义
多 元 函 数 的 基 本 概 念

义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果存在常数 A,

成立. 则称 A 为 z ? f ( P ) 当 P ? P0时 的极限. 记作 lim f ( P ) ? A 或 f ( P ) ? A ( P ? P0 ).
P ? P0

此极限称为二重极限。其坐标表示形式为
( x , y )? ( x0 , y0 )

lim

f ( x , y ) ? lim f ( x , y ) ? A
x ? x0 y ? y0

关于二元函数的极限概念可相应地推广 到n元函数上去.

23

x ? x0 y ? y0

lim f ( x , y )

说明
(1) 定义中 P ? P0 的方式是任意的; (2)一元极限的许多结论在二重极限中同样 成立,如极限的保号性、无穷小与有界量的 乘积仍是无穷小、 极限的四则运算、夹逼定 理、等价无穷小替换乘除因子定理.

多 元 函 数 的 基 本 概 念

24



试证 lim f ( x , y ) ? lim ( x ? y ) sin
2 2 x? 0 y? 0 x? 0 y? 0

1 x ? y
2 2

? 0

解1 证?

( x ? y ? 0)
2 2

( x ? y ) sin
2 2

1 x ? y
2 2

?0 ? x ? y
2

2

sin

1 x ? y
2 2

? x ? y ? ( x ? 0) ? ( y ? 0) ? ? 2 ? ?
2 2
2 2

?? ? 0,

取? ? ?

? ? ?

?

?
多 元 函 数 的 基 本 概 念
25

则当 0 ? ( x ? 0) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ?

( x ? y ) sin
2 2

1 x ? y
2 2

?0 ??

证毕.

试证 lim f ( x , y ) ? lim ( x ? y ) sin
2 2 x? 0 y? 0 x? 0 y? 0

1 x ? y
2 2

? 0

解2
因为( x , y )? ( 0 , 0 )时, x ? y ? 0 ,
2 2

? 1 而 sin ? 2 2 ? x ? y ?

? ? ? 1, ? ?
2

所以
1 x
2

lim ( x
x? 0 y? 0

2

? y ) sin

? y

2

? 0

这里用到无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。

多 元 函 数 的 基 本 概 念
26



? 1 1 1 ? 2 2 ? 求 lim ? sin 3 sin 3 ? sin( x y ). ? ( x , y ) ? ( 0 , 0 ) ? xy x y ? ?



因为( x , y )? ( 0 , 0 )时, x y ? 0 ,
2 2

所以 sin( x y ) ~ x y .

2

2

2

2



? 1 1 1 ? 2 2 ? ? sin 3 sin 3 ( x y ) 原式=x , ylim( 0 , 0 ) ? ? ? ( )? x y ? ? xy ? 1 1 ? 2 2 ? sin 3 sin 3 ( x y ) ? ? lim xy ? lim ? ? ( x , y )? (0 ,0 ) ( x , y )? (0 ,0 ) x y ? ?

多 元 函 数 的 基 本 概 念

? 0 ? 0 ? 0.
27

多元函数的极限与一元函数的极限的 相同点和差异是什么

相同点 定义相同.

? 差异(1)多元函数的极限不能用L’Hospital
条件是左右极限都存在且相等; 而多元函数 必须是点P在定义域内以任何方式和途径趋 于P0时, f ( P ) 都有极限, 且相等.

多 元 函 数 的 基 本 概 念

法则。 (2)一元函数在某点的极限存在的充要

28

?

确定极限 不存在 的方法:
(1) 令 P ( x , y ) 沿直线 y ? kx 趋向于

(0,0)
P0 ( x 0 , y 0 ),
多 元 函 数 的 基 本 概 念

若极限值与 k 有关, 则可断言极限不存在;
(2) 找两种不同趋近方式, 使
x ? x0 y ? y0

lim f ( x , y ) 存在,

但两者不相等, 此时也可断言f ( x , y ) 在点
P0 ( x 0 , y 0 ) 处极限不存在.

(3) 找一条特殊路径,使函数沿此路径的极限 不存在。
29

xy ? 2 2 , x ? y ? 0 例 设函数 f ( x , y ) ? ? x 2 ? y 2 ? 2 2 ?0, x ? y ? 0 ? 证明: 当 x ? 0 , y ? 0 时 , 函数的极限不存在.

证 当(x, y) 沿直线 y = kx 的方向无限接近点

(0,0)时,

( x , y )? ( 0 ,0 ) y ? kx

lim

xy x ? y
2 2

? lim

kx
2

2 2 2

x? 0

x ?k x

?

k 1? k
2

多 元 函 数 的 基 本 概 念

其值随k的不同而变化. 所以,极限不存在.
如果( x, y )沿所有通过(0,0)的直线趋于(0,0)时, f ( x, y )的极限都存在且相等,能否判定
( x , y ) ?( 0 , 0 )

lim

f ( x, y )也存在且有相同的极限?

30

极限 lim 解 取 y ? kx ,
? lim

x y x ? y
4 2

2

是否存在?
kx
4 3 2 2

x? 0 y? 0

x y x ? y
4 2

2

?

x ? k x

?

kx x ? k
2 2

( x , y )? (0 ,0 ) y ? kx

f ( x , y ) ? lim
2

kx x
2

x? 0

取 y? x ,

x y x ? y
4 2

2

?

? k 4 x

2

? 0

多 元 函 数 的 基 本 概 念

x ? x
4

4

?

1 2

极限不存在.

如果( x, y )沿所有通过(0,0)的直线趋于(0,0)时, f ( x, y )的极限都存在且相等,能否判定
( x , y ) ?( 0 , 0 )

lim

f ( x, y )也存在且有相同的极限?

?

31

多元函数的极限的基本问题有两类:
(1) 研究二元函数极限的存在性. * 欲证明极限存在, 常用定义或夹逼定理. * 欲证明极限不存在 (通过观察、猜测), 常选择两条不同路径, 求出不同的极限值. 特别对于 lim f ( x , y ), 常研究 lim f ( x , y ),
x? 0 y? 0

多 元 函 数 的 基 本 概 念

x?0 y ? kx ? 0

若其依赖于k, 则 lim0 f ( x , y ) 不存在. x?
y? 0

(2) 求极限值. 常按一元函数极限的求法求之. (罗必达法则除外)
32

例 求极限 解
lim

lim
2

sin( x y ) x ? y
2 2

2

x? 0 y? 0

.
x y
2

sin( x y ) x ? y
2 2

x? 0 y? 0

?

lim

x? 0 y? 0

x

2

? y

2

,

多 元 函 数 的 基 本 概 念

0?

x y x ? y
2 2

2

?

x y 2 xy
2

2

?

|x| 2

? ? ? 0, ?

x? 0

? lim

sin( x y ) x ? y
2 2

x? 0 y? 0

? 0.

33

例 求极限 lim

xy 2? xy ? 4

x? 0 y? 0

.

解 将分母有理化,得
lim xy 2? xy ? 4
x? 0 y? 0

? lim

xy ( 2 ?

xy ? 4 )

x? 0 y? 0

? xy

多 元 函 数 的 基 本 概 念

? lim [ ? ( 2 ?
x? 0 y? 0

xy ? 4 )]

? ?4

34

再来看二元函数的另一种极限的运算:
2 ? x y lim ? lim 4 2 x? 0 ? y? 0 x ? y ?

? ? ? lim 0 ? 0 ? x? 0 ?

这里计算时用的是一元极限的定义,用了两次, 所以此极限称为f(x,y)的二次极限(累次极限)。
而 极限 lim
x x
4 2

y
2

x? 0 y? 0

? y

不存在.

35

1 1 ? ? y sin ? x sin f (x, y) ? ? y x ? 0 ?

xy ? 0 xy ? 0
多 元 函 数 的 基 本 概 念

求 lim f ( x , y )
x? 0 y? 0

答: 0

lim ( lim f ( x , y ))
x? 0 y? 0

答:不存在.
答:不存在.

lim ( lim f ( x , y ))
y? 0 x? 0

注 二次极限都不存在时,但二重极限也可能 存在. 二次极限与二重极限有本质的区别.
36 二次极限不同于二重极限,是两个完全不同的概念。

由此看出: 第一, lim f ( x , y ) 不能理解为
x ? x0 y ? y0

? ? 或 lim ? lim f ( x , y ) ? ; lim ? lim f ( x , y ) ? ? ? y ? y0 ? x ? x0 x ? x0 ? y ? y0 ? ?
? ? ? ? lim ? lim f ( x , y ) ? 与 lim ? lim f ( x , y ) ? 第二, y ? y0 ? x ? x0 x ? x0 ? y ? y0 ? ?

多 元 函 数 的 基 本 概 念

一般也是不相同的;

第三, 可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个邻域上
连续时, 上述三个极限均相等.
37

四、多元函数的连续性
定义3 设二元函数 f ( P ) ?
f ( x , y )的定义域为D,

P0(x0, y0)为D的聚点, 且 P0∈D. 如果
P?P 0

lim f ( P) ? f ( P ), 0

多 元 函 数 的 基 本 概 念



( x , y ) ?( x0 , y0 )

lim

f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 ),
P0 ( x 0 , y 0 )

则称函数 f ( x , y ) 在点

连续.

如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的 每一点连续, 则称函数 f ( x , y ) 在D内连续, 或称函数 f ( x , y ) 是 D内的连续函数.
38

若函数 f ( x , y ) 在点 P0(x0, y0)不连续, 则 称P0为函数
f ( x , y )的

间断点.

若沿D内某些曲线, 函数 f ( x , y ) 没有定义, 但在D内其余部分, 即间断点. 例 函数
f ( x , y ) ? sin 1 1? x ? y
2 2

f ( x , y ) 都有定义,

多 元 函 数 的 基 本 概 念

则在这些曲线上, 都是函数 f ( x , y ) 的不连续点,

在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 处处是间断点.
39



xy ? 2 2 , x ? y ? 0 ? 2 2 x ? y 函数 f ( x , y ) ? ? 2 2 ?0, x ? y ? 0 ?

(0,0)点是该函数的间断点.
( x ? 0 , y ? 0时 , 函数的极限不存在 , 前面已证 )

多 元 函 数 的 基 本 概 念

40

同一元函数一样, 多元连续函数的和、差、

积、商(分母不为零)及复合仍是连续的.
每个自变量的基本初等函数经有限次四则

运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数
称为多元初等函数, 在它们的定义域的内点

多 元 函 数 的 基 本 概 念

处均连续.
例如: y ? x 是二元初等函数。
2
41

有界闭区域上连续的多元函数的性质
(1) 最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上 可以取得它的最大值和最小值.

(2) 介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果 在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得 介于这两值之间的每一个值.

多 元 函 数 的 基 本 概 念

42

五、小结
预备知识 (内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域) 多元函数的概念 多元函数的极限 (与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异) 多元函数连续性

多 元 函 数 的 基 本 概 念

有界闭区域上连续多元函数的性质

43

思考题 (是非题)
若 lim
y ? kx ? 0

f ( x , y ) ? ? (k ) ? c,

则 lim f ( x , y ) 必定不存在.
x? 0 y? 0

多 元 函 数 的 基 本 概 念

是 因为对不同的k值,
y ? kx ? 0

lim

f ( x , y ) ? ? (k )

不同,

故 lim f ( x , y ) 不存在.
x? 0 y? 0

44

xy ( x ? y ) ? ? sin 2 2 想一想 设 f ( x , y ) ? ? x ? y ? 0 ?

x ? y
2

2

? 0 ? 0

x ? y
2

2

如何证明 f( x, y)在 xOy面上处处连续? 证 当 x 2 ? y 2 ? 0时 ,
f ( x , y ) ? sin xy ( x ? y ) x ? y
2 2

多 元 函 数 的 基 本 概 念

是初等函数,

故当 ( x , y ) ? ( 0 , 0 )时 , f ( x , y ) 处处连续.
下面证明 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 也连续 .
45

证明 f( x, y)在 xOy面上处处连续? 由于 又 于是
sin xy ( x ? y ) x ? y
2 2

xy ( x ? y ) ? ? sin 2 2 设 f (x, y) ? ? x ? y ? 0 ?

x ? y
2

2

? 0 ? 0
多 元 函 数 的 基 本 概 念

x ? y
2

2

?

xy ( x ? y ) x ? y
2 2

?

x? y 2

lim

|x? y| 2

x? 0 y? 0

? 0

lim sin
x? 0 y? 0

xy ( x ? y ) x ? y
2 2

? 0 ? f ( 0 ,0 )

从而 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 也连续 .

即证明了f(x, y)在 xOy面上处处连续.
46

作业
习题7-1 (p8)
1.(1) (3)(5) 3.(1)(2)(3) 2.(1) 4. (1)(2)(6) 5.

多 元 函 数 的 基 本 概 念

47

用联立不等式表示下列平面闭区域 D .
y
?1

O
D

1

x

圆弧 解

直线
?1

域 D 有下列三种表示法

:

多 元 函 数 的 基 本 概 念

? x2 ? y2 ? 1 ? (1 ) ? y ? 0 ? x? y ?1 ?

? ?1? y ? 0 (2) ? 2 ? ? 1? y ? x ? y?1
? 0? x ?1 及? ? x?1? y ? 0
48

? ?1? x ? 0 (3) ? 2 ? 1? x ? y ? 0 ?

是否把极限 lim f ( x , y ) 理解为:
x ? x0 y ? y0

先求 x
先求 y

? x 0 的极限, 再求 y ? y 0 ? y 0 的极限,

的极限; 或者

再求 x
2 2

? x 0 的极限
2 2

提示 研究 f ( x , y ) ?

( 1 ) 对任意的

x ?y x ? y

多 元 函 数 的 基 本 概 念

二次极限
x ? y
2 2 2

x ? 0,有 lim
2 2

y? 0

x ? y
2

?

x x

2 2

? 1



? x ? y ? lim? lim 2 ? 2 ?? 1 ? y? 0 x ?0 x ? y ? ?
49

(2) 同理: 对任意的 y ? 0, 有
? x ? y ? ? ? ?1 lim ? lim 2 2 ? ? x? 0 y? 0 x ? y ? ?
2 2

f ( x, y) ?

x ?y
2

2 2

x ? y
2

(3)再来分析当点(x, y)沿过原点的直线 y ? kx 趋向于( 0 , 0 ) 时, 有
lim x ? y
2 2 2 x? 0 y? 0

多 元 函 数 的 基 本 概 念

x ? y
2

?

y ? kx ? 0

lim

x ? k x
2 2

2 2

x ? k x
2 2

?

1? k 1? k

2 2

因此 lim f ( x , y ) 不存在. x? 0
y? 0

50


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