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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 第2讲 参数方程


第2讲
一、填空题

参数方程

?x=-2- 2t, 1.直线? (t 为参数)上与点 A(-2,3)的距离等于 2的点的坐标是 ?y=3+ 2t ________. 解析 1 2 由 题 意 知 ( - 2 t)2 + ( 2 t)2 = ( 2 )2 , 所 以 t2 = 2 , t = ± 2 , 代 入

/>?x=-2- 2t, ? (t 为参数),得所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). ?y=3+ 2t 答案 (-3,4)或(-1,2)

?x=2+cos θ, 2.若直线 l:y=kx 与曲线 C:? (参数 θ∈R)有唯一的公共点,则 ?y=sin θ 实数 k=________. 解析 曲线 C 化为普通方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径 r=1.由 |2k| 3 2=1?k=± 3 . 1+k

已知 l 与圆相切,则 r= 答案 3 ±3

?x=cos α, 3.直线 3x+4y-7=0 截曲线? (α 为参数)的弦长为________. ?y=1+sin α 解析 曲线可化为 x2+(y-1)2=1,圆心到直线的距离 d= |0+4-7| 3 = ,则弦 9+16 5

8 长 l=2 r2-d2= . 5 答案 8 5

?x=1-2t, ?x=s, 4.已知直线 l1:? (t 为参数),l2:? (s 为参数),若 l1∥l2, ?y=2+kt ?y=1-2s 则 k=________;若 l1⊥l2,则 k=________. 解析 将 l1、l2 的方程化为直角坐标方程得 l1:kx+2y-4-k=0,l2:2x+y-

k 2 4+k 1=0,由 l1∥l2,得2=1≠ 1 ?k=4,由 l1⊥l2,得 2k+2=0?k=-1. 答案 4 -1

?x=3+3cos θ, 5.参数方程? (θ 为参数)表示的图形上的点到直线 y=x 的最短距 ?y=-3+3sin θ 离为________. 解析 ?x=3+3cos θ, 参数方程? 化为普通方程为(x-3)2+(y+3)2=9, 圆心坐 ?y=-3+3sin θ |3-?-3?| =3 2,则 2

标为(3,-3),半径 r=3,则圆心到直线 y=x 的距离 d=

圆上点到直线 y=x 的最短距离为 d-r=3 2-3=3( 2-1). 答案 3( 2-1)

6.直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 ?x=3+cos θ, A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB| ?y=sin θ 的最小值为________. 解析 消掉参数 θ, 得到关于 x、 y 的一般方程 C1: (x-3)2+y2=1, 表示以(3,0)

为圆心,以 1 为半径的圆;C2:x2+y2=1,表示的是以原点为圆心的单位圆, |AB|的最小值为 3-1-1=1. 答案 1

7.已知在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 C: ?x= 2cos θ, ? (θ 是参数)有两个不同的交点 P 和 Q,则 k 的取值范围为 ?y=sin θ ________. 解析 ?x= 2cos θ, x2 曲线 C 的参数方程:? (θ 是参数)化为普通方程: 2 +y2 ?y=sin θ

=1,故曲线 C 是一个椭圆.由题意,利用点斜式可得直线 l 的方程为 y=kx x2 ?1 ? + 2,将其代入椭圆的方程得 2 +(kx+ 2)2=1,整理得?2+k2?x2+2 2kx+1 ? ? ?1 ? =0,因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,所以 Δ=8k2-4×?2+k2?= ? ?

2 2 ? 2? 4k2 - 2 > 0 ,解得 k <- 2 或 k > 2 . 即 k 的取值范围为 ?-∞,- ? ∪ 2 ? ? ? 2 ? ? ,+∞?. ?2 ? 答案 ? ? 2? ? 2 ?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ?

?x=a+2cos θ, ? 8. 如果曲线 C: (θ 为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为 2, ?y=a+2sin θ 则实数 a 的取值范围是________. 解析 将曲线的参数方程转化为普通方程,即(x-a)2+(y-a)2=4,由题意可

知, 以原点为圆心, 以 2 为半径的圆与圆 C 总相交, 根据两圆相交的充要条件, 得 0< 2a2<4, ∴0<a2<8,解得 0<a<2 2或-2 2<a<0. 答案 (-2 2,0)∪(0,2 2)

二、解答题 ?x=2cos φ, 9.已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x ?y=3sin φ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2, 正方形 ABCD π? ? 的顶点都在 C2 上, 且 A, B, C, D 依逆时针次序排列, 点 A 的极坐标为?2,3?. ? ? (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 解 π ? (1)由已知可得 A?2cos 3,2sin ? π? , 3? ?

? ?π π? ?π π?? B?2cos?3+2?,2sin?3+2??, ? ? ? ? ?? ? ?π ? ?π ?? C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ? ? ? ? ?? ? ?π 3π? ?π 3π?? D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ?? 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cos φ,3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,

则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. 10.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ?2 3 π? 标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),? ,2?,圆 C 的参数 ? 3 ? ?x=2+2cos θ, 方程为? (θ 为参数). ?y=- 3+2sin θ (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 解 (1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),

? 2 3? ?0, ?.又 P 为线段 MN 的中点, 3 ? ? ? 3? 从而点 P 的平面直角坐标为?1, ?, 3? ? 3 故直线 OP 的直角坐标方程为 y= 3 x. ? 2 3? ?, (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, 3 ? ? 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2, 圆心到直线 l 的距离 d= 故直线 l 与圆 C 相交. |2 3-3 3-2 3| 3 =2<r. 3+9


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