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[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第十二章 第1讲 椭 圆[配套课件]


第十二章

圆锥曲线

第1讲 椭 圆

考情风向标 通过分析近几年的高考试题可以看出, 对椭圆的考查,选择题、填空题、解答 题均可能出现,与椭圆有关的解答题通 1.掌握椭圆的定义、几 常是数学高考的压轴题,整个命题过程 何图形、标准方程及简 主要侧重以下几点: 单几何性质. (1)充分利用椭圆的定义或待定系数法 2.

理解数形结合的思想. 求椭圆的方程. (2)利用椭圆的方程,研究 a,b,c,e 的关系,其中离心率是重点.

考纲要求

1.椭圆的概念

在平面内到两定点 F1 ,F2 的距离之和等于常数 2a( 大于
|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,

c>0,且 a,c 为常数: a>c ,则集合 P 为椭圆; (1)若________ (2)若________ a=c ,则集合 P 为线段;
(3)若________ a<c ,则集合 P 为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 a2+b2=1 (a>b>0) y2 x2 a2+b2=1 (a>b>0)

图形

(续表)
标准方程 范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系
2 2 x2 y2 y x a2+b2=1 (a>b>0) a2+b2=1 (a>b>0) -a≤x≤a -b≤x≤b -b≤y≤b -a≤y≤a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b |F1F2|=2c c e=a∈(0,1)
c2=a2-b2

x2 y2 1.设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个

焦点,则|PF1|+|PF2|=( D )

A.4

B.5

C.8

D.10

解析:由椭圆的定义,知:|PF1|+|PF2|=2×5=10.

2.椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是(0,2),那么 k 等于( B )
A.-1

B.1
D.- 5

C. 5

x2 2 3.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 3 +y =1 上,顶点 A 是

椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( C )

A.2 C.4

3 3

B.6 D.12

解析:由椭圆的定义,知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a, ∴周长为 4a=4 3(F 是椭圆的另外一个焦点).

4.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率
3 为 2 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 x2 y2 G 的方程为____________. 36+ 9 =1

3 x2 解析:e= 2 ,2a=12,a=6,b=3,所求椭圆方程为36+ y2 9 =1.

x2 y2 5.已知直线 x-2y+2=0 经过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个
x2 2 顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为_____________ 5 +y =1 ,离心
2 5 率为_________. 5

考点1 椭圆定义及标准方程
例 1:(1)(2011 年新课标)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 ,过 F1 作直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的 方程为____________.

解析:如图 D29,由椭圆定义,知:△ABF2 的周长 AB+ c AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a,∴4a=16.∴a=4.∵a= 2 2 ,∴c=2
2 2 x y 2.∴b2=a2-c2=8.∴椭圆方程为16+ 8 =1.

图 D29

x2 y2 答案:16+ 8 =1

(2)(2013 年大纲)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦 点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交于 A,B 两点,且|AB|=3,则

C 的方程为(
x2 2 A. 2 +y =1 x2 y2 C. 4 + 3 =1

)

x2 y2 B. 3 + 2 =1 x2 y2 D. 5 + 4 =1

x 2 y2 解析:设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), 可得 c= a2-b2=1,所以 a2-b2=1. ① ∵AB 经过右焦点 F2 且垂直于 x 轴,且|AB|=3, ? ? 3? 3? ∴可得 A?1,2?,B?1,-2?, ? ? ? ? ?3? ? ?2 2 1 ?2? 代入椭圆方程,得a2+ b2 =1. ② 联解①②,可得 a2=4,b2=3. x2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1.

答案:C

【方法与技巧】求椭圆的关键是确定a,b 的值,常利用椭 圆的定义解题.在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶 点)对椭圆方程的影响.当椭圆的焦点位置不明确,应有两种情

况,亦可设方程为 mx2+ny2=1??m>0,n>0,m≠n??,这样可以避
免分类讨论.

?

?

【互动探究】

1.(2013 年广东 ) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 1 F(1,0),离心率等于2,则 C 的方程是( D ) x2 y2 A. 3 + 4 =1 x2 y2 C. 4 + 2 =1 x2 y2 B. 4 + =1 3

x2 y2 D. 4 + 3 =1 c 1 解析:右焦点为 F(1,0),c=1,e=a=2,a=2.
x2 y2 所以 C 的方程是 4 + 3 =1.

考点 2 椭圆的几何性质
x2 y2 例 2:(2012 年江西)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分 别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成 等比数列,则此椭圆的离心率为________.

解析: 椭圆的顶点 A(-a,0), B(a,0), 焦点坐标为 F1(-c,0), F2(c,0), ∴|AF1|=a-c, |F1B|=a+c, |F1F2|=2c.又∵|AF1|, |F1F2|, |F1B|成等比数列,∴有 4c2=(a-c)· (a+c)=a2-c2,即 5c2=a2, 5 c ∴a= 5c,离心率为 e=a= 5 . 5 答案: 5

【方法与技巧】求椭圆的离心率一般是通过已知条件建立 有关 a,c 的方程,然后化为有关 a,c 的齐次式方程,进而转

化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可.

【互动探究】
x2 y2 2.(2012 年四川)椭圆a2+ 5 =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点

为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B,△FAB 的周长的最大 2 值是 12,则该椭圆的离心率是________. 3
解析:根据椭圆定义,知:4a=12,得 a=3. c 2 又∵a -c =5,∴c=2,∴e=a=3.
2 2

x2 y2 3.(2013 年辽宁)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 为 F, C 与过原点的直线相交于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB| 4 =10,|AF|=6,cos∠ABF=5,则 C 的离心率 e=______.

解析:如图 D30 所示.

图 D30

根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|· |BF|· cos∠ABF,即 |BF|2 - 16|BF| + 64 = 0 , 得 |BF| = 8. 又 |OF|2 = |BF|2 + |OB|2 - 2|OB|· |BF|cos∠ABF,得|OF|=5.根据椭圆的对称性|AF|+|BF|= 5 2a=14,得 a=7.又|OF|=c=5,故离心率 e=7. 5 答案:7

考点 3 直线与椭圆的位置关系

x2 y2 例 3:(2012 年北京)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个 2 顶点为 A(2,0),离心率为 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同 的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.

? ?a=2, ?c 2 解:(1)由题意,得? = , ?a 2 2 2 2 ? ?a =b +c x2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

解得 b= 2.

y=k?x-1?, ? ? 2 2 (2)由?x y 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. + =1, ? ?4 2 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1- 2k2-4 4k2 1),y2=k(x2-1),x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2

∴ |MN| = ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 2 ?1+k2??4+6k2? . 1+2k2 |k| 又∵点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 2, 1+k |k| 4+6k2 1 ∴△AMN 的面积为 S=2|MN|· d= 2 . 1+2k |k| 4+6k2 10 由 = 3 ,解得 k=± 1. 1+2k2

【互动探究】
x2 y2 4.若 AB 是过椭圆a2+b2=1(a>b>0)中心的一条弦,M 是椭

圆上任意一点,且 AM,BM 与两坐标轴均不平行,kAM,kBM 分 别表示直线 AM,BM 的斜率,则 kAM· kBM=( )

c2 A.-a2 c2 C.-b2

b2 B.-a2 a2 D.-b2

解析:方法一:直接法:设 A(x1,y1),M(x0,y0),则 B( - x1 , - y1) , kAM· kBM
2 ? b2 2 ? ? ? b 2 2 2 ?- 2x0+b ?-?- 2x1+b ? ? a ? ? a ? 2 x2 - x 0 1 2 y0-y1 y0 +y1 y2 - y 0 1 = · = 2 2= x0-x1 x0 +x1 x0-x1

b2 =-a2.

方法二:特殊值法:∵四个选项为确定值,取 A(a,0), b2 B(-a,0),M(0,b),可得 kAM· kBM=-a2.

答案:B

思想与方法

⊙利用函数与方程的思想求解椭圆中的最值问题
x2 例题:已知椭圆 C:m2+y2=1(常数 m>1),点 P 是 C 上的

动点,M 是右顶点,定点 A 的坐标为(2,0). (1)若 M 与 A 重合,求 C 的焦点坐标; (2)若 m=3,求|PA |的最大值与最小值; (3)若|PA |的最小值为|MA|,求 m 的取值范围.

x2 2 解:(1)m=2,椭圆方程为 4 +y =1,c= 4-1= 3, ∴左、右焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). x2 2 (2)m=3,椭圆方程为 9 +y =1,设 P(x,y),
2 x 8? 9?2 2 2 2 2 则|PA| =(x-2) +y =(x-2) +1- 9 =9?x-4? + ? ?

1 2(-3≤x≤3), 9 2 ∴当 x=4时,|PA|min= 2 ;当 x=-3 时,|PA|max=5.

(3)设动点 P(x,y),
2 ? 2 2 ? 2 m m - 1 x ?2 x - 则 |PA|2 = (x - 2)2 + y2 = (x - 2)2 + 1 - m2 = m2 ? ? m2-1? ? ?

4m2 - 2 +5(-m≤x≤m). m -1 m2-1 ∵当 x=m 时,|PA|取最小值,且 m2 >0, 2m2 ∴ 2 ≥m 且 m>1,解得 1<m≤1+ 2. m -1

x2 y2 【方法与技巧】设 P(x,y)是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意
一点,则|x|≤a.在构造以x 为自变量的目标函数时,要特别注意 自变量 x 的范围,忽视椭圆的这一几何性质是导致求最值出现 错误的主要原因.


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