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井壁稳定力学模型中坐标及应力分量变换分析


井壁稳定力学模型中坐标及应力分量变换分析?
邓元洲 ,陈颖杰 , 马天寿 ,付晓平
1 2 3 1

(1.四川川庆钻采科技有限公司 2.油气资源与探测国家重点实验室,北京 昌平 102249;3.西南石油大学石油 工程学院,成都 新都 610500) 摘? ? 要:本文从 CauChy 公式和空间坐标变换基本原理着手,针对任意倾斜井眼,推

导了该情况下井眼坐标系 与原地应力坐标系之间的坐标变换和应力分量变换关系,得出下列结论: (1)任意倾斜井眼的坐标变换系数 (2)井眼坐标下应力分量 [? ] 与原地应力分量 [? Hhv ] 的变换方程为 [? ] ? [ L][? Hhv ][ L]T 。? 为 [ L] ; 关键词:井壁稳定;坐标变换;应力分量变换;地应力? ?

1 坐标及应力变换基本原理?
1.1?CauChy 公式(斜截面应力公式)?
设 O 为受力物体内任意一点,且已知该点的一组六 个独立应力分量 ? x 、 ? y 、 ? z 、? xy 、? yz 、? zx 。为了求过 我们在 O 点处截 O 点外法线为 n 的任意斜截面上的应力, 取一个微小的四面体单元,建立 ( x, y, z ) 坐标系,其基矢 量为 {e x , e y , e z } ,如图 1。? 假定不计四面体 OABC 的体力,且斜截面外法线 n 的 方向余弦分别记为?
?
T(-ey) n

z
C T(-ex)

ez
?

T(n)

?

ex

ey
T(-e z )

y

x

图1

l ? cos(n? ,x) , m ? cos(n? , y ) , n ? cos(n? ,z ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)?

若设斜截面 ABC 的面积为 dS ,O 点与 ABC 距离的为 dh ,体积力为 F 。则可知 OBC、OCA、 OAB 三截面的面积分别为 ldS 、 mdS 、 ndS ,四面体 OABC 的体积为 dhdS / 3 ,从而根据四面体 平衡条件导出? T(n)dS ? T(?e x )ldS ? T(?e y )mdS ? T(?e z )ndS ? FdhdS / 3 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2) ? 由于 T(?n) ? ?T(n) ,由于体积力 FdhdS / 3 是比面力高阶的小量,故忽略体积力可得? ? T(n) ? T(e x )l ? T(e y )m ? T(e z )n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3) ? 这就是著名的 CauChy 公式,又称为斜截面应力公式,其实质是微小四面体的平衡条件[1]。 将斜面应力矢量 T(n) 沿坐标轴方向分解即得到? ? T(n) ? Tx e x ? Ty e y ? Tz e z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) 而笛卡尔坐标系下的三个应力矢量(共 9 个分量)为? ?T ? e x ? ? ? xx e x ? ? yx e y ? ? zx e z ? ? ? ?T ? e y ? ? ? xy e x ? ? yy e y ? ? zy e z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (5) ? ? ?T ? e z ? ? ? xz e x ? ? yz e y ? ? zz e z 从而,由式(4)和(5)可得斜截面公式的分量形式为?

?Tx ? ? xx l ? ? yx m ? ? zx n ? ? ?Ty ? ? xy l ? ? yy m ? ? zy n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (6) ? ?Tz ? ? xz l ? ? yz m ? ? zz n

将上式写成矩阵形式即为? ?Tx ? ?? xx ? xy ? xz ? ? l ? ?? ? ?T ? ? ?? ? ? y ? ? yx ? yy ? yz ? ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (7) ??n? ? ?Tz ? ? ? ? ? ? zx ? zy ? zz ? ? 此时,斜截面上的法向正应力为?

? n = T(n) ? n ? Tx l ? Ty m ? Tz n ? ? xx l 2 ? ? yy m 2 ? ? zz n 2 ? ? xy lm ? ? yz mn ? ? zx nl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(8) ?
切向剪应力为?

?n ?

2 T(n) ? ? n ,其中 T(n) ? Tx2 ? Ty2 ? Tz2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (9) ?

2

1.2? 坐标变换基本原理?
设 ( x, y, z ) 为一直角坐标系, ( x?, y ?, z ?) 是旋转 ( x, y, z ) 坐标系后得到的新坐标系,则旧坐标 系为 ( x, y, z ) 、新坐标系为 ( x?, y ?, z ?) ,旧坐标系 ( x, y, z ) 的单位基矢量为 {e x , e y , e z } ,新坐标系
( x?, y ?, z ?) 的单位基矢量为 {e?x , e?y , e? z } 。?

设 e?x 在旧坐标系下各坐标轴的投影(即三个方向余弦)分别为 l1 , m1 , n1 , e?y 在旧坐标系下 各坐标轴的投影为 l2 , m2 , n2 , e?z 在旧坐标系下各坐标轴的投影为 l3 , m3 , n3 ,则新、旧坐标系单 位基矢量具有如下关系[1,2]:? ? ? ? l1 m1 n1 ? ?ex ? ?ex ? ? ? ? ? ? m2 n2 ? y ? ? ? l2 ?e ? ? ?e y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (10) ?e ? ? ? ? ?? ? z ? ?l3 m3 n3 ? ?ez ? 上式中, l1 , m1 , n1 , l2 , m2 , n2 和 l3 , m3 , n3 所组成的矩阵为坐标变换矩阵。? 将新坐标系中的三个之平面( Oxy, Oyz , Oxz )分别看作旧坐标系中的斜面,再利用 CauChy 公式即可推导出新就坐标系下中应力分量的变换关系。下面本文将根据上述的变换原理对坐 标变换及应力分量变换进行推导。?
3 ( z1 )
z

2? 斜井井眼坐标变换及应力分量变换推导?
选取坐标系 (1, 2,3) 分别与主地应力 ? H 、 ?h 、

?v

?

O?

y

?

?

r

x

? v 方向一致(图 2) 。为了方便起见,建立直角
其中 Oz 轴对应于井轴, Ox 和 Oy 坐标系 ( x, y, z ) , 位于与井轴垂直的平面之中
[3,4,5]

?

?

y1
2

。?
1

?H

O

?
x1

2.1? 坐标变换推导?
为了建立 ( x, y, z ) 坐标与 (1, 2,3) 坐标之间的

?h
图 2 坐标变换图示

转换关系,需要引入中间坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) ,假设坐标系 (1, 2,3) 的单位基矢量为 {e1 , e 2 , e3 } ,中间 坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 的单位基矢量为 {e x1 , e y1 , e z1} ,坐标系 ( x, y, z ) 的单位基矢量为 {e x , e y , e z } 。现在 :? 将 (1, 2,3) 坐标按照以下方式旋转(图 2)

(1)先将坐标 (1, 2,3) 以坐标轴 3 为轴,按右手定则旋转角 ? ,变为 ( x1 , y1 , z1 ) 坐标系。其 ,井斜方位是定向井井眼轴线在水 中 ? 为井斜方位与水平最大主应力的夹角(即井斜方位角) 平面的投影迹线与正北方向的夹角,水平最大主应力方位是该地应力方向与正北方向的夹角。 旋转后,中间坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 单位基矢 e x1 在坐标系 (1, 2,3) 各坐标轴的投影分别为 l1? ? cos ? 、
? ? ? sin ? 、 m2 ? ? cos ? 、 n2 ? ? 0 , e z1 在各坐标轴 m1? ? sin ? 、 n1? ? 0 , e y1 在各坐标轴的投影为 l2 ? ? 0 、 n3 ? ? 1 ,则两坐标系单位基矢具有如下关系:? 的投影为 l3? ? 0 、 m3 ?e x1 ? ? cos ? sin ? 0 ? ?e1 ? ? ? ? ?? ? ? ?e y1 ? ? ? ? sin ? cos ? 0 ? ?e 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (11) ?e ? ? ? ? ? ?e 3 ? 0 1? ? z1 ? ? 0

(2)再将坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 以坐标轴 y1 为轴,按右手定则旋转角 ? ,变为 ( x, y, z ) 坐标系。

? 为井斜角, 指的是定向井井眼轴线与铅垂线的夹角。 旋转后, 坐标系 ( x, y, z ) 单位基矢量 e x 在
坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 各坐标轴的投影分别为 l1?? ? cos ? 、 m1?? ? 0 、 n1?? ? ? sin ? , e y 在各坐标轴的投影
?? ? 0 、 n3 ?? ? cos ? ,则两坐标系 ?? ? 0 、 m2 ?? ? 1 、 n2 ?? ? 0 , e z 在各坐标轴的投影为 l3?? ? sin ? 、 m3 为 l2

单位基矢具有如下关系:? ?e x ? ?cos ? 0 ? sin ? ? ?e x1 ? ? ? ? ? ? 1 0 ? ? ?e y ? ? ? 0 ? ?e y1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (12) ?e ? ? ? ? ? ?e z1 ? ? z ? ? sin ? 0 cos ? ? 联立式(11)和(12)即可得到? ?e x ? ? l1 m1 n1 ? ?e1 ? ?cos ? cos ? ? ? ? ?? ? ? ?e y ? ? ?l2 m2 n2 ? ?e2 ? ? ? ? sin ? ?e ? ? ?? ? sin ? cos ? ? e3 ? ? ? ? z ? ?l3 m3 n3 ?
cos ? sin ? cos ? sin ? sin ?

? sin ? ? ?e1 ? ? ? 0 ? ? ? ?e 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (13) cos ? ? ?? ?e 3 ? ?

从而可得出斜井井眼坐标变换系数为? ? l1 m1 n1 ? ?cos ? cos ? cos ? sin ? ? ? [ L] ? ? cos ? ?l2 m2 n2 ? ? ? ? sin ? ? ? l3 m3 n3 ? ? ? ? sin ? cos ? sin ? sin ?

? sin ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (14) cos ? ? ?
z

2.2? 应力分量变换推导?
主地应力分量由坐标系 (1, 2,3) 按图 2 所示 旋转到坐标系 ( x, y, z ) 即可转换得到图 3 所示的 井眼坐标下的远场应力分量 ? xx 、? yy 、? zz 、? xy 、
? xy

? xx ? xz
x
O

? zy

? zz
? zx

? yz 、? zx

? [3,4,5]

。 在求解时, 可将 yOz 、xOz 、xOy
? yx
y

三个面分别看作坐标系 (1, 2,3) 中的斜面, 再利用 斜面应力公式(CauChy 公式)即可推导出新就 坐标系下中应力分量的变换关系。?

? yz

? yy

(1)对 yOz 面? 在井眼坐标下,对假设的 yOz 面而言,其外法单位基矢量 e x ,坐标 (1, 2,3) 中的原地应力分 量分别为 ? H 、 ? h 、 ? v ,单位基矢量 e x 在坐标系 (1, 2,3) 各坐标轴的投影分别为 l1 , m1 , n1 (其值 见式 14) ,由于坐标系 (1, 2,3) 的单位基矢量为 {e1 , e 2 , e3 } ,则可将该截面上的应力矢量 T(e x ) 在

图 3 井眼坐标下的应力分量示意图

坐标 (1, 2,3) 下分解为? ? T ? e x ? ? Tx?e1 ? Ty?e 2 ? Tz?e3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(15) 应用 ChauChy 公式, yOz 面上的应力矢量 T(e x ) 在原地应力坐标 (1, 2,3) 下的三个分量为? ?Tx? ? ?? H ? ? l1 ? ?T ? ? ? ? ? ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(16) ?h ? ? y? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? T ? n v?? 1? ? z? ?
T(e x ) 在新坐标下法线为 e x 的截面上的正应力分量 ? xx 和剪应力分量 ? xy 、 ? xz 分别为?
?? xx = T(e x ) ? e x ? ?Tx?e1 ? Ty?e 2 ? Tz?e3 ? ? e x ? Tx?l1 ? Ty ? m1 ? Tz?n1 ? ? ? m2 ? Tz?n2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (17) ? ?? xy = T(e x ) ? e y ? ?Tx?e1 ? Ty?e 2 ? Tz?e3 ? ? e y ? Tx?l2 ? Ty ? ? ? ? ? ? ? ? ?? xz = T(e x ) ? e z ? ?Tx e1 ? Ty e 2 ? Tz e3 ? ? e z ? Tx l3 ? Ty m3 ? Tz n3

上式(17)可以用矩阵表示为? ?? xx ? ? l1 m1 n1 ? ? Tx? ? ? Tx? ? ? ? ? ? ?l m n ? ?T ? ? ? [ L] ?T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (18) ? 2 2?? y? ? xy ? ? 2 ? y? ? ? xz ? ? ? ?l3 m3 n3 ? ?? ? Tz? ? ? ? Tz? ? ? ? ? 从而,由式(16)和(18)可得?
? Tx? ? ? l1 ? ? [ L]T ? ? m ? ? T ? xz ? ? ? ? y? ? 1? ? ? ? ? T ? z? ? n1 ? ?
T T

??

xx

? xy

?? H ? ? ? ?

?h

? ? [ L]T ? l m n [? ][ L]T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (19) ? ? 1 1 1 ? Hhv ? ?v ? ?

T

同理,可用同样的推导方法对 xOy 面和 xOz 面进行推导。? (2)对 xOz 面? 其外法单位基矢量 e y , 应用 CauChy 公式, 可得 xOz 在井眼坐标下, 对假设的 xOz 面而言, 面上的法向正应力分量 ? yy 和切向剪应力分量 ? yx 、 ? yz 为?

??

yx

(20) ? ? yy ? yz ? ? ? l2 m2 n2 ? [? Hhv ][ L]T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(3)对 xOy 面? 其外法单位基矢量 e z , 应用 CauChy 公式, 可得 xOy 在井眼坐标下, 对假设的 xOy 面而言, 面上的法向正应力分量 ? zz 和切向剪应力分量 ? zx 、 ? zy 为?

??

zx

? zy ? zz ? ? ? l3 m3 n3 ? [? Hhv ][ L]T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(21) ?

(4)应力分量的变换关系式? 综合式(19~21)便可以得到原地坐标与井眼坐标下应力分量变换关系为? ?? xx ? xy ? xz ? ?? H ? ? ? ? ? [ L]T ? [ L][? ][ L]T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(22) ? ?h [? ] ? ?? yx ? yy ? yz ? ? [ L] ? Hhv ? ? ? zx ? zy ? zz ? ? ? ?v ? ? ? ? 根据切应力互等定理,也可将上式(22)改写为如下所示的应力分量形式?

?? xx ? ? H cos 2 ? cos 2 ? ? ? h cos 2 ? sin 2 ? ? ? v sin 2 ? ? 2 2 ?? yy ? ? H sin ? ? ? h cos ? ? 2 2 2 2 2 ?? zz ? ? H sin ? cos ? ? ? h sin ? sin ? ? ? v cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(23) ? ? ?? xy ? ?? H cos ? cos ? sin ? ? ? h cos ? cos ? sin ? ? 2 2 ?? xz ? ? H cos ? sin ? cos ? ? ? h cos ? cos ? sin ? ? ? v sin ? cos ? ?? yz ? ?? H sin ? cos ? sin ? ? ? h sin ? cos ? sin ? ?

3? 结论?
本文从 CauChy 公式和空间坐标变换基本原理着手,针对斜井井眼,推导了井眼坐标与原 地应力坐标间的变换和应力分量变换,得出以下结论:? (1)通过推导,得出斜井井眼下的坐标变换系数矩阵为 [ L] 。? (2)通过推导,得出斜井井眼下应力分量( ? xx 、 ? yy 、 ? zz 、? xy 、? yz 、? zx )与原地应力 分量( ? H 、 ? h 、 ? v )的变换方程为 [? ] ? [ L][? Hhv ][ L]T 。? ?

参考文献?
[1]? 陈明祥编著.? 弹塑性力学[M].? 北京:? 科学出版社,?2007.? [2]? 李瑰贤编著.? 空间几何建模及工程应用[M].? 北京:? 高等教育出版社,?2007.? [3]? 陈勉,? 金衍,? 张广清编著.? 石油工程岩石力学[M].? 北京:? 科学出版社,?2008.? [4]? 金衍,? 陈勉.? 大位移井的井壁稳定力学分析[J].? 地质力学学报,?1999,5(1).? [5]? 马天寿,? 陈颖杰,? 乔泉熙等.? 春晓气田定向井井壁稳定的力学分析[J].? 西部探矿工程.?2009,21(7).? [6]? 孙树栋主编,? 工业机器人技术基础[M].? 西安:? 西北工业大学出版社,?2006.? ?

The?Coordinate?and?the?stress?components?transformation?equation?in? Wellbore?Stability?Mechanics?Analysis?
Deng Yuanzhou1, Chen Yingjie2, Ma Tianshou3 (1.CCDC Petroleum Drilling & Production Technology Co.Ltd, guanghan 618300;2.State Key Laboratory of Petroleum Resources and Prospecting, Changping Beijing 102249 ; 3.Petroleum Engineering Institute of SWPU,Chendu 610500) Abstract:? This? paper? based? on? the? CauChy? formula? and? the? basic? principles? of? space? coordinate? transformation,? investigated? arbitrary? inclined? borehole,? derived? borehole? coordinate? components? transformation? and? stress? components? transformation? between? borehole? coordinate? system? and? in‐situ? stress? coordinate? system,? and? the? main? conclusions? are? as? follows:? ①? The? arbitrary? inclined? borehole? coordinate? transformation? factor? is? [ L] ;? ②? The? transformation? equation? is? [? ] ? [ L][? Hhv ][ L]T between? the? stress? components? [? ] and? in‐situ? stress? components? [? Hhv ] ;? Keywords:?borehole?stability;coordinate?transformation;?stress?components?transformation;?in‐situ?stress? 作者简介:邓元洲(1979.3) ,四川苍溪人,工程师,工学硕士。2006 年毕业于西南石油大学钻井工程专业, 现主要从事石油钻井工艺技术相关研究。地址:四川省广汉市中山大道南二段,邮编: 618300 ,电话:

08385151992,E-mail:dengyuanzhou@21cn.com.
?


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