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港澳台地区模拟考试数学试卷(14)


港澳台地区模拟考试数学试卷(十四)
一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内。 1. 函数 y ? 2 x ( x ? 0) 的反函数为 A、 y ?
x2 ( x ? R) 4

( B、 y ?
x2 ( x ? 0)

4



C、 y ? 4 x 2 ( x ? R)

D、 y ? 4x 2 ( x ? 0)

?2 x ? y ? 6 ? 2. 设满足的约束条件 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?

( D、64



A、4

B、8

C、16

3. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,且 S k ?2 ? S k ? 24 , 则k = A、8 B、7 C、6 D、5 ( )

4. 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 A1 A ? 2 AB ,M、N 分别是 BC、CC1 的中点, 则异面直线 AB1 与 MN 所成角等于 A、 300 B、 450 C、 600 ( ) D、 900 ( )

5. 为了得到函数 y ? cos( 2 x ? A、向左平移

?
3

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 5? 个长度单位 12 5? D、向右平移 个长度单位 6

5? 个长度单位 12 5? C、向左平移 个长度单位 6

B、向右平移

6. 圆 ? ? 5 3 cos? ? 5 sin ? 的圆心的极坐标为

( D、 (5,0) ( D、



? A、 (5,? ) 6

? B、 (5, ) 6

? C、 (?5, ) 6

7. 若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中恒成立的是 A、 a 2 ? b 2 ? 2ab B、 a ? b ? 2 ab
1/4



C、

1 1 2 ? ? a b ab

b a ? ?2 a b

8. 某中学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 为小朋 友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 A、4 种 B、10 种 C、18 种 D、20 种 ( )

9. 曲线 y ? e ?2 x ? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面 积为 A、
1 3

( B、
1 2



C、

2 3

D、1

10. 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A、B 两点,则
cos ?AFB =

( B、
3 5



4 5 5 11. f ( x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = ( ) 2 1 1 1 1 A、 ? B、 ? C、 D、 4 2 2 4 12. 已知椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,B 为左顶点,A、C 为短轴端点,且

A、

4 5

C、 ?

3 5

D、 ?

CF ? AB ,则椭圆的离心率为

( C、
3? 5 2



A、

3? 5 2

B、

5 ?1 2

D、

5 ?1 2

二、填空题:本大题共 6 小题;每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 13. 函数 f ( x) ? log5 (2x ? 1) 的单调递增区间是___________ 14. 设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z 的实部是______
2 15. 已知 e1 , e2 是夹角为 ? 的两个单位向量,a ? e1 ? 2e2 , b ? k e1 ? e2 ,若 a ? b ? 0 , 3

则 k 的值为_________。 16. (1 ? x ) 20 的二项展开式中,x 的系数和 x 9 的系数差为________ 。
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为 9 27

17. 已知 F1 , F2 分别为双曲线 C :

(2,0) ,AM 为 ?F1 AF2 的平分线,则 AF2 =________。 18. 若多项式 p( x) 满足 p(1) ? 1, p(2) ? 3 ,则 p( x) 被 x 2 ? 3x ? 2 除所得的余式为 ___________。
2/4

三、解答题:本大题一共 4 个小题,每小题 15 分,共 60 分。 19. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边长依次为 a、b、c,且组成等比数列,公 比 q ? 1 ,当 cos B ?
3 时,求 q 和 sin C 的值。 4

20. 设抛物线 C : y ?

x2 与直线 l : y ? kx ? 1 交于 A、B 两点,P 为抛物线在这两点的 4

切线的交点。 (1)当 k=1 时,求点 P 的坐标; (2)当 k 变化时,求点 P 的轨迹。

3/4

21. 设 f ( x) ? x 2 ? 2x ? a ln x( x ? 0) (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若 f ( x) 不是单调函数且没有最小值,求常数 a 的取值范围。

22. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 2x ? 2( x ? 2) (1)求出其反函数 f
?1

( x) ;

( 2 )若正数数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? f ?1 (S n?1 )(n ? N*,n ? 2) ,且

a1 ? 2 ,求 {an } 的通项公式;

a ? an (3)设 Cn ? n?1 ,又设数列 {C n } 的前 n 项和为 Tn ,求 lim (Tn ? n) 的值。 n ?? 2an?1an

2

2

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