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2013.10.11.合情推理与演绎推理


第 5 课时 合情推理与演绎推理

练习:

1 1 1 1 1 11 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 1 1 7 2 3 . 4 5 6 6 + 2+ 2< ,??照此规律,第五个不等式为________
3 4 4
2.已知 若 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4

+ =4 15

1 3 1 1 5 1 1. (2012· 陕西)观察下列不等式 1+ 2< , 1+ 2+ 2< , 1+ 2 2 2 2 3 3 2

4 ,?, 15

a 6+ =6 t

a ,(a,t 均为正实数),类比以上等式,可推测 a,t 的 t

值,则 a+t=________.

3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积 比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2, 则它们的体积比为________.

例 1. (1) 已知整数的数对列如下: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?则第 60 个数对 是( D ) A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)

x (2)(2011· 山东理)设函数 f(x)= (x>0),观察: x+2 x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x))= , 7x+8 x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16 ?? 根据以上事实,由归纳推理可得:
x ?2n-1?x+2n 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.

练习:1

(1)(2010· 陕西理)观察下列等式: 13+23=32,13+23+33=
13+23+33+43+53+63=212

62,13+23+33+43=102, ?, 根据上述规律, 第五个等式为________.

(2)(2010· 山东文)观察(x2)′=2x, (x4)′=4x3, (cosx)′=-sinx, 由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)= A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) (
D)

例 2

(1)将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”,

它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”,过三 棱锥的顶点及斜面任两边上的中点的截面均称为斜面的“中 面”.直角三角形具有性质:“斜边的中线长等斜边边长的一 半”,仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质:________.
在直角三棱锥中,斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一.

(2) .设 P 是边长为 a 的正三角形 ABC 内的一点,P 点到三边 的距离分别为 h1、h2、h3,则 h1+h2+h3= 3 a;类比到空间, 2

设 P 是棱长为 a 的正四面体 ABCD 内的一点, 则 P 点到四个面 的距离之和 h1+h2+h3+h4=________.
2 2 (3) .已知点 A(x1,x2 1)、B(x2,x2)是函数 y=x 的图像上任意不同两

点,依据图像可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图像的上
2 x2 + x 1 2 x1+x2 2 方,因此有结论 >( ) 成立.运用类比思想方法可知,若点 2 2

A(x1,lgx1)、B(x2,lgx2)是函数 y=lgx(x∈R+)的图像上的不同两点, 则类似地有________成立.

Sn (4)若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列{ } n d 为等差数列,公差为 .类似,若各项均为正数的等比数列 {bn} 2 的公比为 q, 前 n 项的积为 Tn, 则等比数列{ Tn}的公比为( q A. 2 B.q
2

n

)

C. q

D. q

n

小结:熟记几种常见类比: 1.图形类比(三角形与四面体,圆与球); 2.运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方); 3.等比数列与等差数列的类比; 4.解题方法的类比等.

? ?2≤a+b≤4, (2)若? ? ?1≤a-b≤2,

求 4a-2b 的范围时.

令 4a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
? ?x+y=4, ∴? ? ?x-y=-2 ? ?x=1, ?? ? ?y=3.

∴4a-2b=(a+b)+3(a-b). ∴5≤4a-2b≤10. 类比上述解法,解决下面问题.
2 3 x x 设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 4的最大值 y y

是________.

例 3 用三段论的形式写出下列演绎推理. ①矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对 角线相等; ②0.332是有理数; ③y=sinx(x∈R)是周期函数.
···

思考题 3 如图,点 P 在已知三角形 ABC 的内部,定义有序实 数对 (μ , υ , ω) 为点 P 关于△ ABC 的面积坐标,其中 μ = △PBC的面积 △APC的面积 △ABP的面积 ,υ= ,ω= ;若点 Q △ABC的面积 △ABC的面积 △ABC的面积 1→ 1→ → 满足 BQ = BC + BA ,则点 Q 关于△ ABC 的面积坐标为 3 2 ________.

思考题 2

(1)在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于点 D,

1 1 1 求证: 2= 2+ 2.在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你 AD AB AC 能得到怎样的猜想?

【答案】 猜想:四面体 ABCD 中,若 AB、AC、AD 两两 1 1 1 1 垂直,AE⊥平面 BCD,则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD


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