当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

4-4复习课



定义

向量的定义

n个有次序的数 a 1 , a 2 ,? , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,

第i个数 a i 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量. 分量全为复数的向量称为复向量.

n维向量写成列的形式 称为列向量, 即 , ? a1 ? ? ? ? a2 ? a?? ? ? ? ? ? ? ? an?
n维向量写成行的形式 称为行向量, 即 ,
T a ? ?a 1 , a 2 , ? , a n ?

向量的相等 设 a T ? (a 1 , a 2 ,? , a n ), bT ? (b1 , b 2 ,? , b n ) 则 a T ? bT ? a i ? b i ( i ? 1,2,? , n)
零向量 分量全为0的向量称为零向量. T a ? O ? a i ? 0(i ? 1,2,?, n) T 0 a ? O ? a i 中至少有一个不为 , ( i ? 1,2,?, n) 负向量
向量 a T ? (a 1 , a 2 ,? , a n )的负向量记作? a T , 且 ? a T ? ( ? a 1 ,? a 2 ,? , ? a n ).



向量的线性运算
设 a T ? (a 1 , a 2 ,? , a n ), bT ? (b1 , b 2 ,? , b n ), 定义

向量加法

向量 a T 与 bT 的加法为: ? bT ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , ? , a n ? b n ) a
T

向量减法定义为
T T a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , ? , a n ? b n )

数乘向量

数k与向量 a T 的乘积, 称为向量的数量乘法 简称数乘向量, 定义为 k a T ? ( k a 1 , k a 2 ,? , k a n )
向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算,满足下列八条运算规则: (1)加法交换律 ? ? ? ? ? ? ?;
( 2)加法结合律 (? ? ? ) ? ? ? ? ? ( ? ? ? );

( 3)对任一个向量 , 有? ? O ? ? ; ?

(4)对任一个向量? , 存在负向量? ? , 有

? ? ( ?? ) ? O; (5) 1? ? ? ;
(6)数乘结合律 (7 )数乘分配律 (8)数乘分配律 k ( l? ) ? ( kl )? ; k (? ? ? ) ? k? ? k? ; ( k ? l )? ? k? ? l? .

其中? , ? , ?为n维向量,1, k , l为数, O为零向量.

除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:

(1' ) 0? ? O, kO ? O(其中0为数零, k为任意数); ( 2' )若k? ? O, 则或者k ? 0, 或者? ? O; ( 3' )向量方程? ? x ? ?有唯一解x ? ? ? ? .



线性组合

若干个同维数的列(行)向量所组成的集合 叫做向量组.
定义 给定向量组A : a 1 , a 2 ,? , a m , 对于任何一组

实数 k 1 , k 2 ,? , k m ,向量 k 1 a1 ? k 2 a 2 ? ? ? k m a m 称为向量组A的一个线性组合 k 1 , k 2 ,? , k m 称为 , 这个线性组合的系数 .



线性表示

定义 给定向量组A : a 1 , a 2 ,? , a m 和向量b, 如果

存在一组实数k 1 , k 2 ,? , k m , 使 b ? k 1 a1 ? k 2 a 2 ? ? ? k m a m , 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能 由向量组A线性表示.

定理 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条
件是矩阵A ? (a 1 , a 2 ,? , a m )的秩等于矩阵B ? (a 1 , a 2 ,? , a m , b )的秩.

定义 设有两个向量组 : a 1 , a 2 ,? , a m 及B : b1 , A
向量组A b 2 ,? , b s , 若B组中的每个向量都能由 线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示. 若向量组A与向量组B能相互线性表示 则称这 , 两个向量组等价 .



线性相关

定义 给定向量组A : a 1 , a 2 ,? , a m , 如果存在不全

为零的数k 1 , k 2 ,? , k m , 使 k 1 a 1 ? k 2 a 2 ? ? ? k m a m ? 0, 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 , .
定理 向量组 a 1 , a 2 ,? , a m 线性相关的充分必要

条件是它所构成的矩阵 ? (a 1 , a 2 ,? , a m )的秩小 A 于向量个数m;向量组线性无关的充分 必要条件 是 R( A) ? m .

定理
(1)若向量组A : a 1 , a 2 ,? , a m 线性相关, 则向 量组B : a 1 , a 2 ,? , a m , a m ? 1 也线性相关.反言之, 若 向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关.

(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于 向量个数m时一定线性相关.
(3)设向量组A : a1, a 2,? , a m线性无关, 而 向量组B : a1, a 2,? , a m, b线性相关, 则向量b必 能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的.



向量组的秩

定义 设有向量组A, 如果在A中能选出r个向量a 1 ,
a 2 ,? , a r , 满足

(1)向量组 A0 : a 1 , a 2 ,?, a r 线性无关; ( 2)向量组A中任意r ? 1个向量(如果A中有r ? 1
个向量的话)都线性相关, 那么称向量组A0 是向量组A的一个最大线性

无关向量组(简称最大无关组); 最大无关组所含向 量个数r称为向量组A的秩.

定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩.

定理 设向量组B能由向量组A线性表示,则向量 组B的秩不大于向量组A的秩.

推论1 等价的向量组的秩相等.

7

齐次线性方程组
记齐次线性方程组

向量方程
? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1n x n ? 0, ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? 0, ? ? ????????????? ?a m 1 x 1 ? a m 2 x 2 ? ? ? a mn x n ? 0, ? 的系数矩阵和未知量为

(1)

? a 11 a 12 ? a 1n ? ? x1 ? ? ? ? ? ? a 21 a 22 ? a 2 n ? ? x2 ? A?? ?, x ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a mn ? ? a m1 a m 2 ? xn? 则(1)式可写成向量方程 Ax ? O . ( 2)

解向量

若 x 1 ? ? 11 , x 2 ? ? 21 ,? , x n ? ? n1 为(1)的解, 则 ? ? 11 ? ? ? ? ? 21 ? x ??1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? n1 ? 称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程 2) ( 的解.

解向量的性质 性质1 若x ? ? 1 , x ? ? 2 为( 2)的解, 则x ? ? 1 ? ? 2 也

是( 2)的解. 性质2 若x ? ? 1 为( 2)的解, k为实数, 则x ? k ? 1 也是 ( 2)的解.
定义 设S为方程组(1)的全体解向量所组成的 集

合, 则集合S对向量的线性运算封闭所以集合S , 是一个向量空间 称为齐次线性方程组1)的解空 , ( 间.

定理 n元齐次线性方程组Am ? n x ? O的全体解所
构成的集合S是一个向量空间当系数矩阵的秩 , R( Am ? n ) ? r时, 解空间S的维数为n ? r .

定义 解空间S的最大无关组称为方程组(1)的基础解系.

8

非齐次线性方程组
非齐次线性方程组

向量方程

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1n x n ? b1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 , ? ? ????????????? ?a m 1 x 1 ? a m 2 x 2 ? ? ? a mn x n ? b m , ? 可写为向量方程 Ax ? b ( 4)

( 3)

解向量 向量方程 ( 4 ) 的解就是方程组 ( 3 )的解向量.

解向量的性质 性质1
若x ? ? 1 , x ? ? 2 为(4)的解, 则x ? ? 1 ? ? 2 ( 5) 为对应的齐次线性方程 组 Ax ? O 的解. 性质2

若x ? ?是方程(4)的解, x ? ?是方程(5)的

解, 则x ? ? ? ?也是方程(4)的解.

9

线性方程组的解法

(1)求齐次线性方程组的基础解系

若齐次线性方程组 ? O的秩R( A) ? r , 而方 Ax 程组中未知数的个数为 , 那么方程组的一个基础 n 解系含线性无关的 ? r个解向量, 不妨设为? 1 ,? 2 , n ? ,? n ? r , 可按下面步骤进行:

第一步:对系数矩阵 A 进行初等行变换,使其 变成行最简形矩阵

? 1 0 ? 0 c 1, r ? 1 ? ? 0 1 ? 0 c 2, r ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? 1 c r ,r ?1 ?0 0 ? 0 0 ? ?? ? ? ? ? ?0 0 ? 0 0 ?

? c 1, n ? ? ? c 2, n ? ? ?? ? ? c r , n ?; ? 0 ? ? ? ?? ? 0 ? ?

第二步 : 将第r ? 1, r ? 2,? n列前r个分量反 号, 于是得? 1 ,? 2 ,? ,? n ? r 的第1,2,? , r个分量, 即

? ? c 1, r ? 1 ? ? ? c 1, r ? 2 ? ? ? c 1, n ? ? ? ? ? ? ? ? ? c 2, r ? 1 ? ? ? c 2, r ? 2 ? ? ? c 2, n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? c r , r ? 1 ? ,? 2 ? ? ? c r , r ? 1 ? ,? ,? n ? r ? ? ? c r , n ?; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第三步:将其余 n ? r个分量依次组成 n ? r阶 单位矩阵,于是得齐次线性方程组的一个基础解系 ? ? c 1, r ? 1 ? ? ? c 1, r ? 2 ? ? ? c 1, n ? ? ? ? ? ? ? ? ? c 2, r ? 1 ? ? ? c 2, r ? 2 ? ? ? c 2, n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c r ,r ?1 ? ? ? c r ,r ? 2 ? ? ? c r ,n ? ?1 ? ? ? ,? 2 ? ? 0 ? ,? ,? n ? r ? ? 0 ? . 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)求非齐次线性方程组的特解

若非齐次线性方程组 ? b的秩R( A) ? Ax R( B ) ? r , 而方程组中未知数的个 数为n, 那么对 增广矩阵B进行初等行变换 使其成为行最简形 , 矩阵.

? c 1, n d 1 ? ? ? c 2, n d 2 ? ? ? ?? ? ? c r , n d r ?, ? 0 0? ? ? ? ?? ? ? 0 0? 将上述矩阵中最后一列的前 r个分量依次作为 特解的第 1,2,?, r个分量,其余 n ? r个分量全部取 零,于是得

? 1 0 ? 0 c 1, r ? 1 ? ? 0 1 ? 0 c 2, r ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? 1 c r ,r ?1 ?0 0 ? 0 0 ? ?? ? ? ? ? ?0 0 ? 0 0 ?

? d1? ? ? ? d 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d r ?, ?0? ? ? ? ? ? ?0? ? ?

即为所求非齐次线性方程组的一个特解.









一、向量组线性关系的判定
二、求向量组的秩 三、基础解系和通解的求法

一、向量组线性关系的判定
线性相关与线性无关的 概念都是针对一个特 定的向量组? 1 ,? 2 ,? ,? m 而言的,当我们考虑到向 量空间中两种基本运算 的结合物 ? ?线性组合 k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? k m ? m 时, 其结果为向量空间中的 一个特殊向量? 零向量, 那么, 一个自然的问题是: 是否存在一组不全为零 的数 k 1 , k 2 ,? , k m , 也使得 其线性组和为零向量 ?

答案只有两种: 存在或不存在.这样, 也就自 然而然地提出了线性相 关与线性无关的概念 ; 若存在, 则称该向量组线性相关若不存在, 则称 ; 该向量组线性无关 所谓不存在, 指的是当且仅 , 当 k1 ? k 2 ? ? ? k m ? 0 时, 才有 k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? k m ? m ? 0.

线性相关与线性无关还 可以通过线性表出 的概念来体现,即看其中有无某个向量不是任 ( 意一个向量), 可由其余向量线性表出 此外, 还 ? 应注意到: 线性相关与线性无关是 一对排中对 立的概念, 据此, 在论证某些相关性问题 , 我 时 们往往采用反证法 .

研究这类问题一般有两个方法 方法1 从定义出发

令 k 1? 1 ? k 2? 2 ? ? k m ? m ? 0, ? a11 ? ? a 21 ? ? a m1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a12 ? ? a 22 ? ? am 2 ? ? 0 ? k1 ? ? ? k 2 ? ? ? ? ? k m ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? a1 n ? ? a2n ? ? a mn ? ? ?
整理得线性方程组

? a11 k 1 ? a 21 k 2 ? ? ? a m 1 k m ? 0, ? ? a12 k 1 ? a 22 k 2 ? ? ? a m 2 k m ? 0, ? ? ????????????? ?a1n k 1 ? a 2 n k 2 ? ? ? a mn k m ? 0, ?

(?)

若线性方程组(?)只有唯一零解, 则? 1 ,? 2 , ? ,? m 线性无关. 若线性方程组(?)有非零解, 则? 1 ,? 2 ,? ,? m 线性相关.

方法2

利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定

给出一组n维向量? 1 ,? 2 ,?,? m , 就得到一个 相应的矩阵A ? (? 1 ,? 2 ,?,? m ), 首先求出R( A). 若R( A) ? m , 则? 1 ,? 2 ,?,? m 线性无关, 若R( A) ? m , 则? 1 ,? 2 ,?,? m 线性相关.

例1

研究下列向量组的线性相关性 ? 1 ? ? 0 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ,? 2 ? ? 2 ? ,? 3 ? ? 0 ? . ? 3 ? ? ? 5? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

解一

令 k 1? 1 ? k 2? 2 ? k 3? 3 ? 0,即 ? 1 ? ? 0 ? ? ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? k1 ? ? 2 ? ? k 2 ? 2 ? ? k 3 ? 0 ? ? ? 0 ? ? 3 ? ? ? 5? ? 2 ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ?

整理得到

? ? k 3 ? 0, k1 ? ? ? 0, ? ? 2 k1 ? 2 k 2 ? 3 ? 5 ? 2 ? 0. k1 k2 k3 ? ?
1 ?2 3 0 2 ?5 ?1 0 ? 0, 2

(?)

? 线性方程组(?)的系数行列式

? 线性方程组(?)必有非零解, 从而? 1 ,? 2 ,? 3 线性相关.

解二

? 1 ? ? 0 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ,? 2 ? ? 2 ? , ? 3 ? ? 0 ? , ? 3 ? ? ? 5? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 1? ? 1 ? ? ? 矩阵A ? (? 1 ,? 2 ,? 3 ) ? ? ? 2 2 0 ?, ? 3 ?5 2 ? ? ?

0 ? 1 ? 初等行变换? 1 0 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? A ? ?? 2 2 0 ? ~ ? 0 2 ? 2? ? 3 ?5 2 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ?
R( A) ? 2 ? 3, 故向量组? 1 ,? 2 ,? 3 线性相关.

二、求向量组的秩
求一个向量组的秩,可以把它转化为矩阵的 秩来求,这个矩阵是由这组向量为行(列)向量 所排成的. 若矩阵 A 经过初等行(列)变换化为矩阵B , 则 A和B 中任何对应的列(行)向量组都有相同的 线性相关性. 如果向量组的向量以列(行)向量的形式给 出,把向量作为矩阵的列(行),对矩阵作初等 行(列)变换,这样,不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大线性无关组.

例4 求向量组

? ? (1, ? 1, 0, 0), T ? 3 ? (0, 1, 1, ? 1),
T 1

? ? ( ? 1, 2, 1, ? 1),
T 2

? ? ( ? 1, 3, 2, 1),
T 4

? ? ( ? 2, 6, 4, 1)
T 5

的秩.



作矩阵A ? ?? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ?, 对A作初等

行变换, 化A为阶梯形

A ? ?? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? 1 ? 1 0 ? 1 ? 2? ? ? 1 3 6 ? ??1 2 ?? 0 1 1 2 4 ? ? ? ? 0 ?1 ?1 1 1 ? ? ?

? 1 ? 1 0 ? 1 ? 2? ? ?r1 ? r2 ? 0 1 1 2 4 ? ~ ?0 1 1 2 4 ? ? ? ?0 ? 1 ? 1 1 1 ? ? ?

r 3 ? ( ?1 ) r 2 ? 1 ? 1 ? ?r2 r4 ?0 1 ~ ?0 0 ? ?0 0 ? ?1 ? 1 ?r 3 ? r4 ? 0 1 ~ ?0 0 ? ?0 0 ?
记作

0 ? 1 ? 2? ? 1 2 4 ? 0 0 0 ? ? 0 3 5 ? ? 0 ? 1 ? 2? ? 1 2 4 ? 0 3 5 ? ? 0 0 0 ? ?

? ?? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? U .

? 1 ? 1 0 ? 1 ? 2? ? ? 4 ? U ? ( ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? ? 0 1 1 2 ?0 0 0 3 5 ? ? ? ?0 0 0 0 ? 0 ? ? A的列秩 ? R( A) ? 3, 故向量组? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,? 5的秩为3.

又 ? 1 , ? 2 , ? 4 是U的列向量组的一个最大 线性 无关组, 所以? 1 ,? 2 ,? 4 也是A的列向量组的一个最大
线性无关组.

三、基础解系的求法
于是方程组的通解为 ?x1 ? (2 / 7)x3 ? (3 / 7)x4 ? ?x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ? ?x ? (5 / 7)x ? (4 / 7)x ?2x1 ? 5x2 ? 3x3 ? 2x4 ? 0 3 4 ? 2 ?7 x1 ? 7 x2 ? 3x3 ? x4 ? 0 ? 其中x3? x4为自由未知数? 的基础解系与通解? 令(x3? x4)T?(1? 0)T? 得 解:对系数矩阵A作初等 ?1?(2/7? 5/7? 1? 0)T? 行变换变为行最简形? 令(x3? x4)T?(0? 1)T? 得 ? 1 1 ?1 ?1? ?2?(3/7? 4/7? 0? 1)T ? ? 2 ?5 3 2? A? ? 7 ? 7 3 1? 故方程组的基础解系为?1? ?2? ? ? 方程组的通解又可表示为 r ? 1 0 ? 2 / 7 ?3/ 7 ? ~ ? 0 1 ?5 / 7 ? 4 / 7 ? ? x?c1?1?c2?2? (c1? c2?R)? ?0 0 ? 0 0? ? 例1 求齐次线性方程组

第四章

测试题

一、填空题(每小题5分,共40分).

? 4 ? ?? 1,0,2,1?, 则k ?
? 4 ? ?? 1,3, t ,0?, 则t ?

1. 设? 1 ? ?2,?1,0,5?,? 2 ? ?? 4,?2,3,0?? 3 ? ?? 1,0,1, k ?, 时, 线性相关. 2. 设? 1 ? ?2,?1,3,0?,? 2 ? ?1,2,0,?2?,? 3 ? ?0,?5,3,4?, 时, 线性无关.
3. 已知向量组? 1 ? ?1,2,3,4?,? 2 ? ?2,3,4,5?,? 3 ?

?3,4,5,6?,? 4 ? ?4,5,6,7 ?, 则该向量组的秩是

4. n维单位向量组? 1 , ? 2 ,? , ? n均可由向量组? 1 ,? 2 , ?,? s 线性表出 则向量个数 ,

5. 已知A ? 0 1 1 0 0 则秩R? A? ? 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 0 0

6. 方程组AX ? 0以?1 ? ?1,0,2?,? 2 ? ?0,1,?1?为其基 础解系, 则该方程的系数矩阵为 ? 1? ? ? 7. 设? ? ? 2 ? , ? ? ?1,2,3?, A ? ?? , 则秩R? A? ? ? 3? ? ?

? 4 ? ?4,5,6,7 ?的一个极大无关组是 二、计算题 (每小题8分,共24分).

8. 向量组? 1 ? ?1,2,3,4?,? 2 ? ?2,3,4,5?,? 3 ? ?3,4,5,6?

? 2 ? ?2,?1,4,?3?,? 3 ? ?? 3,2,?5,4?, 求? .

1. 已知? 1 ? 2? 2 ? 3? 3 ? 4 ? ? 0, 其中? 1 ? ?5,?8,?1,2?,

2. 已知向量组? 1 ? ?t ,2,1?,? 2 ? ?2, t ,0?,? 3 ? ?1,?1,1? 试求出t为何值时,向量组? 1 ,? 2 ,? 3线性相关,
线性无关? 3. 求实数a和b, 使向量组? 1 ? ?1,1,0,0 ?,? 2 ? ?0,1,1,0 ?

? 3 ? ?0,0,1,1?与向量组? 1 ? ?1, a , b,1?, ? 2 ? ?2,1,1,2 ?, ? 3 ? ?0,1,2,1?等价.
三、证明题 (每小题8分,共24分).

1.设A为m ? n矩阵, B为n ? m矩阵, 且m ? n, 试证明 det( AB ) ? 0.

?n ? s ?, 证明

2. 设A为n ? n矩阵, B是n ? s矩阵, 且秩R? B ? ? n,

?1? 若AB ? 0, 则A ? 0; ?2?若AB ? B, 则A ? E .
? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 5如果各向量组的秩分别 R? I ? ? R? II ? 为 ? 3, R? III ? ? 4, 试证明: 向量组 : ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 5 ? ? 4的
秩为4. 3. 已知向量组? I ? ? 1 ,? 2 ,? 3 ; ? II ? ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ; ? III ?

四、向量组 ? 1 ,? 2 ,? 3 线性无关,问常数 l, m 满足 什么条件时,向量组 l?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 , m? 3 ? ?1 线性无关.(12分)

测试题答案
3 一、1. ? ; 2. 任意实数; 3. 2; 4. n ? s; 15 5. 5; 6. ?? 2 1 1?; 7. 1; 8. ? 1 ,? 2 .
二、1. ? ? ?0,1,2 ? 2?;

2. 当t ? ?2,3时,? 1 ,? 2 ,? 3线性无关; 当t ? ?2,3时,? 1 ,? 2 ,? 3线性相关. 3. a ? b ? 0.
四、 lm ? ?1.


相关文章:
人教版小学数学四年级下册复习课教案
人教版小学数学年级下册复习课教案 ---代情华本单元的复习包括本册教材的主要内容,共分为部分: 一、小数 二、则运算和运算定律 三、空间和图形 、统计...
《整数四则混合运算》复习课教学设计
年级数学上册 整数则混合运算复习课教学设计教学目标: 1.使学生认识则运算的含义,知道第一级运算和第二级运算。 2.使学生掌握则混合运算的顺序,并能按...
3-4课复习_图文
3-4课复习_政史地_初中教育_教育专区。复习教案 实验中学七年级思想品德教学通案(总课时:课题 第二单元 认识新自我 主编 审核 使用 韩淑萍 郝彦娟 教师 教师 ...
复习课(第一章4-7)
复习课(第一章4-7) 浙教版科学初二上册(第一章4-7节)内容精编、试题精选,适合复习用。浙教版科学初二上册(第一章4-7节)内容精编、试题精选,适合复习用。隐藏...
四年级语文复习课教学模式总结
年级语文复习课教学模式总结_语文_小学教育_教育专区。年级语文复习课教学模式总结 陈岩复习是学生完成学习任务的必要环节。学生通过复习,将学过的知识进行回 顾...
《四则运算的复习课》教学设计及反思
则运算的复习课》教学设计及反思飞英小学 沈洁 【教学目标】 1. 通过复习与练习,使学生熟练掌握带括号的则混合运算的运算顺序。 2. 培养学生列综合算式...
译林五年级英语下学期 U1-4复习课
译林五年级英语下学期 U1-4复习课_英语_小学教育_教育专区。Unit 1.2 复习 ...4.Review the phrases. 复习整理的词组。 … Step3. Production(15 分钟) ...
四下复习资料
复习资料_其它课程_小学教育_教育专区。一、填空题: 1、人体中共有(206)块骨头。 2、骨骼具有(支持身体)(保护内脏器官)(重要组织)的作用。 3、骨与骨...
7.4-7.5(复习课)
7.4 7.5 复习课) 7.4-7.5(复习课)班级 学号 姓名 学习目标:1、复习三角形的有关概念和性质,使学生会用这些概念或性质 学习目标 进行简单的推理或计算。 2...
unit3-4复习课案
4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请...初一英语上册3-4单元复习课案是经我们老师集体备课的结晶。初一英语上册3-4单元...
更多相关标签: