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定积分的简单应用


§1.7 定积分的简单应用 §1.7.1 定积分的几何应用 三亚一中 李伟伟

1.定积分的几何意义
y

S ? ? f ( x)dx
a
0

b

y ? f ( x)

a
图1

b

x

A=

? ??
y

b a b a

f ( x ) dx f ( x)dx

f ( x) ? 0
f ( x) ? 0
y=f(x)<0

A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
y=f(x)>0 A 0 a b x y a 0 A

b x

2.简单应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 2-1 f(x)=(x-1) y f(x)=x2 y 2
f(x)=x
y y

f(x)=1
0 a
a 2 0

x

-10

2

x
2 2 ?1

a

0

b x
b a

-1 0

2 x









A ? ? x dx A ? ? x dx ③ A ? ? dx


A ? ? [( x ? 1) ? 1]dx ? ? [( x ? 1) ? 1]dx
0 ?1 2 2 0 2

3.定积分的综合应用
y
y ? f ( x)

S?

? a f ( x )dx ? ? a g( x )dx
0

b

b

y ? g( x )

a
图1

b

x

s ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

例1 计算与两条抛物线 y ? x 2 , x ? y 2所围成的图形
的面积 解 所围成的图形如图所示:

y
1
x ? y2

y?x

2

0

1

x

? y ? x2 先解联立方程组 ? x ? y 2 得两抛物 ?

y
1
x? y
2

线的交点坐标为 (0, 0) 和 (1, 1), 则图形的面积为

y?x
2

2

S ? ? [ x ? x ] dx
0

1

0

1

1 ? 3

?2 ?? 3 ? ?

3 x2

x ? 3

2

? ? ? ?0

1

x

3 例2 求 y ? x 与直线x ? ?1, x ? 2 及 x 轴所围成的

平面图形的面积。 解 所围成的图形如图所示:

y

y?x
?1

3



s ? ? ? ?1 x dx ? ?
3

0

2 3 x dx 0

17 ? 4

0

2

x

归纳解题步骤:
? 1.画图
? 2.借助图形直观确定出被积函数以及积

分的上、下限 ? 3.用定积分表示出所求面积 ? 4.通过求定积分从而求出面积

例3计算由 y ? 2x

和 y ? x ? 4及 x 轴所围图形
y ? x?4

的面积. 解 先求两曲线的交点。

{ y ?x?4

y ?

2x

? (8,4).

y2 ? 2 x

思考题:
计算由 y ? 2 x 和 y ? x ? 4所围图形的面积.
2

解 先求两曲线的交点。

y ? x?4

? y2 ? 2 x ? ( 2,?2), (8,4). ? ?y ? x?4

y2 ? 2 x

四、小结
1.定积分的几何意义 2.定积分的几何应用,主要求曲边梯形面积

五、作业

习题1、2



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