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第04讲


高三数学第一轮复习

专题二 函数

专题二





清北学校 2014~2015 年秋季

函数是中学数学的重要内容,是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本章内容有两条主线:一 是对函数性质作一般性的研究,二是研究几种具体的基本初等函数---一次函数、

二次函数、指数函数、 对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图像与性质,函数的 有关应用等. §2-1 函 数 【知识要点】 要了解映射的概念,映射是学习、研究函数的基础,对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况 下要借助映射这一概念. 1. 设 A, B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的任意一个元素 x ,在 B 中有一个且 仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射,记作 f : A ? B ,其中 x 叫原像, y 叫 像. 2. 设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x ,按照确定的法则 f ,都有唯一确定的数 y 与它对 应,则这种映射叫做集合 A 上的一个函数,记作 y ? f ? x ? , x ? A .其中 x 叫做自变量,自变量的取值 范围(数集 A )叫做这个函数的定义域;所有函数值构成的集合 y y ? f ? x ? , x ? A 叫做这个函数的 值域,函数的值域由定义域与对应法则完全确定. 3. 函数是一种特殊的映射,其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都有原像. 构成函数的三要素:定义域、值域和对应法则.其中定义域和对应法则是核心. 【复习要求】 1. 了解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的像与原像. 2. 能根据函数三要素判断两个函数是否为同一个函数. 3. 掌握函数的三种表示方法(列举法、图像法和解析法) ,理解函数符号 f ? x ? (对应法则) ,能依据 一定的条件求出函数的对应法则. 4. 理解定义域在三要素中的地位,并会求定义域. 【例题分析】 例 1. 设集合 A 和 B 都是自然数集 N .映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 x 映射到集合 B 中的元素

?

?

2 x ? x ,则在映射 f 作用下,2 的像是_____;20 的原像是_____.
分析:由已知,在映射 f 作用下, x 的像为 2 ? x .
x

所以 2 的像是 2 ? 2 ? 6 ;
2

设像 20 的原像为 x ,则 x 的像为 20,即 2 ? x ? 20 .
x

由于 x ? N , 2 ? x 随着 x 的增大而增大,又可以发现 2 ? 4 ? 20 ,所以 20 的原像是 4.
x 4

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1

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例 2. 设函数 f ? x ? ? ?

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? x ? 1,    x ? 0
2 ?? x ? 2 x ? 2, x ? 0

,则 f ?1? ? _____;若 f ? 0? ? f ? a ? ? ?2 ,则 a 的所有可能

值为_____. 分析:从映射的角度看,函数就是映射,函数解析式就是映射的法则, 所以 f ?1? ? 3 . 又 f ? 0? ? ?1,所以 f ? a ? ? ?1 . 当 a ? 0 时,由 a ? 1 ? ?1 得 a ? 0 ;
2 2 当 a ? 0 时,由 ?a ? 2a ? 2 ? ?1 ,即 a ? 2a ? 3 ? 0 得 a ? 3 或 a ? ?1 (舍) .

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综上: a ? 0 或 a ? 3 . 例 3. 下列四组函数中,表示同一函数的是( (A) y ? (C) y ?


2

x2 , y ?

? t?

2

(B) y ? x , y ? t (D) y ? x, y ?

x2 ?1 , y ? x ?1 x ?1

x2 x

分析:选项 A,C,D 中两个函数的定义域均不同,所以不是同一函数.B 中两个函数的定义域相同, 化简后为 y ? x 及y ? t ,对应法则也相同,所以选 B. 评析:判断两个函数是否为同一函数,就是要看两个函数的三要素:定义域、对应法则、值域是否完 全相同. 1 在不对解析式进行变形的情况下求定义域,看定义域是否一致;○ 2 对解析式进行 一般有两个步骤:○ 合理变形的情况下,看法则是否一致(注:函数的定义域、对应法则决定了函数的值域,所以值域一般 不需要考虑,但是为了快速简便地作出判断,有时不妨看一下两个函数的值域) . 例 4. 求下列函数的定义域: (1) y ?

x ?1 ?1 ;

(2) y ?

1 x ? 2x ? 3
2



(3) y ?

lg ? 3 ? x ? 0 ? ? x ? 1? ; x

(4) y ?

1 ? x2 . 2? x ?2

解: (1)由 x ?1 ?1 ? 0 ,得 x ?1 ? 1 ,所以 x ? 1 ? 1 或 x ? 1 ? ?1 , 所以 x ? 2 或 x ? 0 .所以,所求函数的定义域为 x x ? 2或x ? 0 . (2)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得, x ? 1 或 x ? ?3 .
2

?

?

所以,所求函数的定义域为 x x ? 1或x ? ?3 .

?

?

?3 ? x ? 0 ? (3)由 ? x ? 0 得 x ? 3 ,且 x ? 0 , x ? 1 , ?x ?1 ? 0 ?
2
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所以,所求函数的定义域为 x x ? 3, 且x ? 0, x ? 1 .

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?

?

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2 2 ? ? ??1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 (4)由 ? 得, ? ,即 ? ,所以, ?1 ? x ? 1, 且x ? 0 . ? ? ? x ? 0, x ? 4 ?2? x ?2 ? 0 ?2? x ? 2

所以,所求函数的定义域为 x ?1 ? x ? 1, 且x ? 0 . 例 5. 如图,用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长为 2 x ,求此框架 围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并指出定义域. 解:根据题意, AB ? 2 x , CD ? ? x , AD ? 所以 y ? 2 x ?

?

?

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l ? 2x ? ? x . 2

l ? 2x ? ? x 1 ?? ? ? ? ? x 2 ? ? ? 2 ? ? x 2 ? lx . 2 2 2? ?

根据问题的实际意义, AD ? 0, x ? 0 .

解 ?l ? 2x ? ? x

?x ? 0 ? ? ?

2

?0

,得 0 ? x ?

l . 2??

所以,所求函数的定义域为 ? x 0 ? x ?

? ?

l ? ?. 2 ?? ?

评析:求函数定义域问题一般有三个类型,具体如下: 1. 给出函数解析式求定义域(如例 4) ,这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确地 解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的. 1 分式中分母不为零; 2 偶次方根下被开方数非负; 中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有: ○ ○ 3 零次幂的底数不为零;○ 4 指数式中的底数大于零,且不等于 1;○ 5 对数式中的真数大于零,底数大于 ○
6 y ? tan x ,则 x ? k? ? 零且不等于 1;○

?
2

,k ?Z.

2. 在实际问题中求函数的定义域(如例 5) ,在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制外,还应考 虑实际问题对自变量的限制. 3. 在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识,这是极其重要的. 比如在研究函数单调性、奇 偶性、最值和复合函数等问题时,首先要考虑的就是函数的定义域. 例 6. (1)已知 f ?

x ?1? ,求 f ? x ? 的解析式; ?? 2 ? x ? 1? x 1? 1 2 ? ? x ? 2 ,求 f ? 3? 的值; x? x

(2)已知 f ? x ?

? ?

(3)如果 f ? x ? 为二次函数, f ? 0? ? 2 ,并且当 x ? 1 时, f ? x ? 取得最小值 ?1 ,求 f ? x ? 的解 析式;
?

(4)已知函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? g ? x ? ? 2 的图像关于直线 x ? 1 对称,求 f ? x ? 的解析式.
x

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(1)这样的问题.

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分析: (1)求 f ? x ? 的解析式,从映射的角度看就是求对应法则,于是,我们一般有下面两种方法解决

1 1 ?1? x ? 方法一: f ? ? ? .通过这样“凑型”的方法,我们可以明确看到法则 f 是“像对 2 1 ?x? 1 ? ? ?x ? ? ?1 x ?x?
应于原像除以‘原像的平方减 1’ ” .所以 f ? x ? ?

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x . x ?1
2

方法二:设

1 1 ? t ,则 x ? ,则 f ? t ? ? x t

1 1? 2 t

1 t

?

x t ,所以 f ? x ? ? 2 . x ?1 t ?1
2

这样,通过“换元”的方法也可以明确看到对应法则是什么. (2)用“凑型”的方法, f ? x ?

? ?

1? 1 ? 1? 2 2 ? ? x ? 2 ? ? x ? ? ? 2 .所以 f ? x ? ? x ? 2 , f ? 3? ? 7 . x? x ? x?
2

2

(3) 因为 f ? x ? 为二次函数, 并且当 x ? 1 时, f ? x ? 取得最小值 ?1 , 所以, 可设 f ? x ? ? a ? x ? 1? ? 1 , 又 f ? 0? ? 2 ,所以 a ? 0 ? 1? ? 1 ? 2 ,所以 a ? 3 .
2 2 所以 f ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 1 ? 3 x ? 6 x ? 2 . 2

(4)这个问题相当于已知 f ? x ? 的图像满足一定的条件,进而求函数 f ? x ? 的解析式.所以,可以类比 解析几何中求轨迹方程的方法求 f ? x ? 的解析式. 设 f ? x ? 的图像上任意一点坐标为 P ? x, y ? ,则 P 关于直线 x ? 1 的对称点的坐标为 Q ? 2 ? x, y ? . 由已知,点 Q 在函数 y ? g ? x ? 的图像上, 所以,点 Q 的坐标 ? 2 ? x, y ? 满足 y ? g ? x ? 的解析式,即 y ? g ? 2 ? x ? ? 2 所以, f ? x ? ? 2
2? x 2? x





评析:由于已知条件的不同,求函数的解析式的常见方法有像(1) (2)所用到的“凑型”及“换元” 的方法;有像(3)所用到的待定系数法;也有像(4)所用到的解析法. 值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法,是一种 通法;同时也表明函数与其图像和曲线与方程之间有必然的联系. 例 7.已知二次函数 f ? x ? 的对称轴为直线 x ? 1 ,且图像在 y 轴上的截距为 ?3 ,被 x 轴截得的线段长 为 4,求 f ? x ? 的解析式. 解: (解法一)

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设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,其中 a ? 0 . 由 f ? x ? 得对称轴为直线 x ? 1 ,可得 b ? ?2a . 由图像在 y 轴上的截距为 ?3 ,可得 c ? ?3 . 由图像被 x 轴截得的线段长为 4,可得 x ? ?1, x ? 3 均为方程 ax ? bx ? c ? 0 的根.
2

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所以 f ? ?1? ? 0 ,即 a ? b ? c ? 0 ,所以 a ? 1 . 所以 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 . (解法二)因为图像被 x 轴截得的线段长为 4,且对称轴为直线 x ? 1 ,可得 x ? ?1, x ? 3 均为方程

f ? x ? ? 0 的根.
所以,设 f ? x ? ? a ? x ? 1?? x ? 3? , 又 f ? x ? 的图像在 y 轴上的截距为 ?3 ,即函数图像过点 ? 0, ?3? . 即 ?3a ? ?3, a ? 1 .所以 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 . 评析:二次函数是非常常见的一种函数模型,在高中数学中地位很重要. 二次函数的解析式有三种形式:
2 1 一般式 f ? x ? ? ax ? bx ? c ,其中 a ? 0 ; ○
2 顶点式 y ? a ? x ? h ? ? k ,其中 ? h, k ? 为顶点坐标; ○
2

3 双根式 f ? x ? ? a ? x ? x ?? x ? x ? ,其中 x , x 为函数图像与 x 轴交点的横坐标,即二次函数所对应 ○ 1 2 1 2

的一元二次方程的两个根. 例 8. 某地区上年度电价为 0.8 元/kW ? h.本年度计划将电价降到 0.55 元/kW ? h 至 0.75 元/kW ? h 之间, 而用户期望电价为 0.40 元/kW ? h. 经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为 k ) .该地 区电力的成本价为 0.30 元/kW ? h. (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k ? 0.2a ,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年增长 20%? 解: (1)依题意,当实际电价为 x 元/kW ? h 时,用电量将增加至 故电力部门的收益为 y ? ?

k ?a, x ? 0.4

? k ? . ? a ? ? x ? 0.3? ( 0.55 ? x ? 0.75 ) ? x ? 0.4 ?

(2)易知,上年度的收益为 ? 0.8 ? 0.3? a ,依题意,

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? 0.2a ? ? a ? ? x ? 0.3? ? a ? 0.8 ? 0.3??1 ? 20 0 0 ? ,且 0.55 ? x ? 0.75 , ? ? x ? 0.4 ?
解得 0.60 ? x ? 0.75 . 所以,当电价最低定为 0.60 元/kW ? h 时,仍可保证电力部门的收益比上年增长 20%.

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练习 2-1 一、选择题 1. 已知函数 f ? x ? ? (A) x x ? 1

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1 的定义域为 M , g ? x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域为 N ,则 M 1? x
(B) x x ? 1

N ?(



?

?

?

?

(C) x ?1 ? x ? 1 )

?

?

(D) ?

2. 右图中的图像所表示的函数的解析式为(

3 x ?1 ( 0 ? x ? 2 ) 2 3 (C) y ? ? x ? 1 ( 0 ? x ? 2 ) 2
(A) y ?

(B) y ?

3 3 ? x ?1 ( 0 ? x ? 2 ) 2 2

(D) y ? 1 ? x ?1 ( 0 ? x ? 2 )

x2 3. 若 f ?1 ? 2 x ? ? (x ? 0) ,则 1 ? x2
(A)1 (B)3 (C)15

?1? f ? ??( ?2?



(D)30

? x ? 3, x ? ?1 ? 2 ? 1 ? x ? 2 ,若 f ? x ? ? 3 ,则 x 的值是( 4. 已知 f ? x ? ? ? x ,    ?3x,  x ? 2 ?
(A)0 二、填空题 (B)0 或



3 2

(C) ? 3

(D) 3

5. 给定映射 f : ? x, y ? ? ? x ? 2 y, x ? 2 y ? ,在映射 f 下 ? 0,1? 的像是_____; ? 3,1? 的原像是_____. 6. 函数 f ? x ? ?

3? x 的定义域是_______. x ?2

7. 已知函数 f ? x ? , g ? x ? 分别由下表给出:

x
f ? x?

1 1

2 3

3 1

x
g ? x?

1 3

2 2

3 1

则f ? ? g ? x ?? ? ? 1 的 x 的值是_______. ? g ?1? ? ? 的值为_____;满足 f ? 8. 已知函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? g ? x ? ? 2 的图像关于点 ? 0,1? 对称,则 f ? x ? 的解析式为_______.
x

三、解答题

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9. 已知 f ? x ? ? 2x ? x ?1 , g ? x ? ? ?

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? x 2 ,  x ? 0 ? x ? 1, x ? 0

,求 g ? ?1? , g ? ? f ?1? ? ? 的值.

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10. 在如图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点 A? 0,9? ,其轨迹方程为 y ? ax2 ? c ( a ? 0 ) ,

D ? ? 6,7? 为 x 轴上的给定区间,为使物体落在区间 D 内,求 a 的取值范围.

11. 如图所示,有一块形状为直角梯形的材料 ABCD , BC 的长为 5 分米, AB 的长为 t 分米

15 3 ,t ? R ) n t ?B C D ? ,现从中截取一块矩形材料 BFPE ,点 P 在 CD 上. ,a 4 4 (1)设 PF 为 x 分米,用 x 表示 EP 的长度; (2)设矩形 BFPE 的面积为 y (平方分米) ,求 y 关于 x 的函数解析式;
(0 ? t ? (3)当 x 取何值时,矩形 BFPE 的面积最大,并写出最大值.

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