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《平面向量》测试题及答案


《平面向量》专题测试题
学生:曾振强 得分:
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 已知e1、e2是两个单位向量,下列 命题中正确的是
A. e1 ? e 2 ? 1 B. e1 ? e 2
2 C. e1 ? e2 2

?    ?
D. e1 /

/ e 2

2.下列命题中:①若 a 与 b 互为负向量,则 a+b=0;②若 k 为实数,且 k· a=0,则 a=0 或 k=0;③若 a· b=0,则 a=0 或 b=0;④若 a 与 b 为平行的向量,则 a· b=|a||b|;⑤若|a| =1,则 a=±1.其中假命题的个数为( A.5 个 B.4 个
?? ? ?? ?

) C.3 个 D.2 个

3. 在Δ ABC中, a ? 5,b ? 8,C ? 60?,则 BC ? CA 的值等于
A. 20 B. ? 20

?    ?
D. ? 20 3
( )

C. 20 3

4.设|a|=1,|b|=2,且 a、b 夹角 120°,则|2a+b|等于
A. 2 B. 4 C. 12

D. 2 3

5. 已知△ABC 的顶点坐标为 A (3, 4) , B (-2, -1) , C (4, 5) , D 在 BC 上, 且 S ?ABC ? 3S ?ABD , 则 AD 的长为 ( )

A.
A.3

2

B. 2 2
B.-1

C. 3 2
C.-1 或 3

D.

7 2 2
( )

6.已知 a=(2,1) ,b=(3,λ ) ,若(2a-b)⊥b,则λ 的值为

D.-3 或 1 ( )

7.向量 a=(1,-2) ,|b|=4|a|,且 a、b 共线,则 b 可能是 A. (4,8)
?? ?

B. (-4,8)
?? ?

C. (-4,-8)

D. (8,4)

8.已知△ABC 中, ( ) A.30°

AB ? a , AC ? b, a ? b ? 0, S ?ABC ?

15 ,a ? 3, b ? 5 4 ,则 a 与 b 的夹角为
D.30°或 150°

B.-150°

C.150°

9. 若 a ? b ? 41 ? 20 3 ,a ? 4,b ? 5,则a ? b ?

?    ?
D. 10

A. 10 3

B. ? 10 3

C. 10 2


10. 将函数 y=f (x) 的图象先向右平移 a 个单位, 然后向下平移 b 个单位 (a>0, b>0) . 设 点 P(a,b)在 y=f(x)的图象上,那么 P 点移动到点 A. (2a,0) B. (2a,2b) C. (0,2b) ) D. (0,0)

?? ? ?? ? 3 11. 若点P分 AB 所成的比为 ,则A分 BP 所得的比是 4

?    ?
D. ? 3 7

A.

3 7

B.

7 3

C. ?

7 3

第1页 共4页

12. 已知a ? ?x,1?,b ? ?2,3x?,那么

a?b a ?b
2 2

的取值范围是
? 2? B. ?0, ? ? ? 4 ? ?

?    ?

A. ?,2 2

?

?

? 2 2? C. ?? , ? ? 4 4 ? ? ?

D. 2 2 ,??

?

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.向量 a=(2k+3,3k+2)与 b=(3,k)共线,则 k=___________.

?9 ? 14. 已知a ? ? ,k ?,b ? ?k,8?,且a与b为互相平行的 向量,则k的值为__ ___________. ?2 ?
15.向量 a=(1,1) ,且 a 与(a+2b)的方向相同,则 a· b 的取值范围是________.
?? ? ?? ? ?? ?

16. AB ? 8, AC ? 12, 则 BC 取值范围用区间表示为___________ .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分)

OA ? ?3,1?, OB ? ?? 1,2?, OC ? OB, BC// OA , 设 O 为原点, 试求满足 OD? OA ? OC 的 OD 的
坐标. 18. (本小题满分 12 分) 设 e 1 和 e 2 是两个单位向量,夹角是 60°,试求向量 a ? 2e1 ? e 2 和 b ? ?3e1 ? 2e 2 的夹角. 19. (本小题满分 12 分) 已知 AC ? 5.6, BC ? 4.2, AC 与 AB 的夹角为 40°,求 AC? BC 与 CB 的夹角
?? ? ?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

???

?? ?

?? ?

?? ?

???

| BC? AC| (长度保留四位有效数字,角度精确到′) .
20. (本小题满分 12 分)

?? ?

?? ?

①如果 AB ? e1 ? e 2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3?e1 ? e 2 ?, 设两个非零向量e 1与e2 不共线,

?? ?

?? ?

?? ?

使ke1 ? e2和e1 ? ke2 共线. 求证:A、B、D 三点共线. ②试确定实数k的值,
21. (本小题满分 12 分) 已知 a,b 是两个非零向量,当 a+tb(t∈R)的模取最小值时, ①求 t 的值。②已知 a 与 b 共线且同向,求证:b 与 a+tb 垂直. 22. (本小题满分 14 分) 已知 A(2,0) ,B(0,2) ,C(cos ? ,sin ? ) ,且 0< ? < ? (1)若|OA+OC|= 7 ,求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC⊥BC,求 tan ? 的值。

第2页 共4页

参考答案
一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.C

二、13.

3 ? 21 2
???

14. ? 6
???

15. ?? 1, ?? ?
??? ???

16. ?4,20?

三、17. 解:设 OD ? ?x,y ?,则 OC ? OD ? OA ? ?x ? 3,y ? 1?
BC ? OC? OB ? ?x ? 4, y ? 1?由 OC ? OB 得 :
? ?x ? 3? ? 2?y ? 1? ? 0, 即x ? 2y ? 1 ? 0??①
??? ??? ??? ??? ???

由 BC // OA ,得3?y ? 1? ? ?x ? 4 ? ? 0, 即x ? 3y ? 7 ? 0 ?? ②
由①, ②联立, 解得x ? 11,y ? 6, 即 OD 坐标为?11,6?.
???

???

???

18. 解 : a ? 2e1 ? e 2 , b ? ? 3e1 ? 2e 2
? a ? 4 e1
2 2

? e2

2

? 4e1 ? e 2 1 ? 7, 2

? 4 ? 1 ? 4 ?1?1?

b ? 9 e1

2

2

? 4 e2

2

? 12e1 ? e 2 1 ? 7. 2
2

? 9 ? 4 ? 12 ? 1 ? 1 ?

? a ? b ? ?2e1 ? e 2 ? ? ?? 3e1 ? 2e 2 ? ? 6 e1 ? ?6 ? 1 7 ?2?? , 2 2

? e1 ? e 2 ? 2 e 2

2

7 ? a?b 2 ??1. ?cos ? ? ? ab 2 故θ =120°. 7 7
??? ???

19. 解 :由正弦定理

AC sin B
?? ?

?

BC sin A

,得

5.6 4.2 5.6 ? sin 40? ? , sin B ? ? 0.875. sin B sin 40? 4.2

? B ? 59?, 因为 AC? BC 与 CB 夹角, 为B角之补角, 即121?. ? C ? 180? ? 40? ? 59? ? 81?,

?? ?

?? ?

? AB ? AC 2 ? BC2 ? 2AC ? BC ? cos C ? 5.6 2 ? 4.2 2 ? 2 ? 5.6 ? 4.2 cos 81? ? 6.453.
? | BC? AC | ? AB , ? | BC? AC | ? 6.453.
??? ??? ???

???

???

???

20. ①证: ? BC ? CD ? BD ? 5e1 ? 5e2 ,

?? ?

?? ?

?? ?

第3页 共4页

又 ? AB ? e1 ? e 2 , ? BD ? 5 AB . ∴ A、B、D 共线.

???

???

???

②解:要使ke1 ? e2 和e1 ? ke2共线, 只需存在实数λ , 使ke1 ? e2 ?λ ?e1 ? ke2 ?.
于是, ke1 ? e 2 ? ?e 2 ? ?ke 2 . ??k ? ? ?e1 ? ?1 ? k? ?e 2 ? 0.

?k ? ? ? 0, ? 由于e1与e 2 不共线, 所以只有 ?1 ? k? ? 0, ? k ? ?1.
21.解:①令 m=|a+tb|,

则m 2 ? a ? tb ? a ? t 2 b ? 2 a b cos ? ? t ? b t 2 ? 2 a b cos ? ? t ? a
2 2 2 ? ? a 1 2 2 2 ? b ? t 2 ? 2 a cos ? ? t ? 2 cos 2 ? ? ? a ? a cos 2 ? ? ? b b ? ?

2

2

2

? 2 ? b ? t ? cos ? ? ? a 1 ? cos 2 ? . ? ? b ? ? a

2?

2

?

?

? 当t ? ?

a b

cos ?时, m min ? a sin ?. a b

②证明: ? a与b共线且同向, ? cosθ ? 1, ?t??

? a? 2 ? b ? ?a ? tb? ? a ? b ? ? ? ? b ? a b ? a b ? 0, ? b? ? ?
? b ? ?a ? tb?.
22 . , |OA+OC|= . 解 : ∵OA+OC= ( 2cos ? ,sin ? ) ∴ cos a ? 又∠AOB=

7

∴ (2 ? cos) ? sin a ? 7 ,
2 2

1 ? ? 又 ? ∈(0, ? ) ,∴ a ? ,即∠AOC= 2 3 3

? ? ,∴OB 与 OC 的夹角为 2 6

(2) AC ? (cosa ? 2, sin a), BC ? (cosa, sin a ? 2) , ∵AC⊥BC,∴AC?BC=0,

1 3 ,∴ 2 sin a cos a ? ? 4 4 ? 7 2 ∵ a ? (0, ? ), ∴ a ? ( , ? ), 又由 (cos a ? sin a) ? 1 ? 2 sin a cos a ? , cos a ? sin a ? 0 , 2 4 cos a ? sin a ?
① ∴ (cos a ? sin a ) ?
2

1 2

∴ cosa ? sin a ? ?

7 2



s? 由 ① 、 ② 得 c oa

1? 7 1? 7 ,s i n a? 4 4

从而

t aa n? ?

4? 7 3

第4页 共4页


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