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我的初高中衔接教学案(四)


初高中衔接学案(四)二次函数初步
一: 二次函数的三种表示方式 1.一般式: ; 2.顶点式: ,其中顶点坐标是 。 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方 式,我们先来研究二次函数 y=a x +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数。 当抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 a x +bx +c=0。 ①,并且方程①的解就是抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) ,于是,不难发现,抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方 2 程①的解的个数有关, 而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ =b -4ac 有关, 由此可知,抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ =b -4ac 存 在下列关系:
2

2

2

2

2 2

2

(1)当 Δ >0 时,抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴有 反过来,若抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 的 (2)当 Δ =0 时,抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴有 点) ; 反过来,若抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则
2 2

2

个交点; 也成立。 个交点(抛物线 也成立。

2

(3)当 Δ <0 时,抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点; 反过来,若抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ <0 也成立。 于是,若抛物线 y=a x +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则
2 2

2

x1,x2 是方程 a x 2 +bx+c=0 的两根,所以 x1+x2= ?

b c b ,x1x2= ,即 = a a a



c = a


2

2 所以,y=a x +bx+c=a( x ?

b c x ? )= a[ a a

]=a



由上面的推导过程可以得到下面结论: 2 若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点, 则其函数关系式可以表示为 。 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1,x2 是 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经 过点(3,-1) ,求二次函数的解析式。

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2, 求此二次函数的表达式。

-1-

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,- 8),(2,8),求此二次函数的 表达式。

二: 二次函数 y=a x +bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当 a>0 时,函数 y=a x +bx+c 图象开口向 对称轴为直线 ;当 x< ?
2

2

;顶点坐标为



b b 时,y 随着 x 的增大而 ;当 x> ? 时, 2a 2a b 4ac ? b 2 y 随着 x 的增大而 ;当 x= ? 时,函数取最 值 y= 。 2a 4a 2 ( 2 )当 a < 0 时,函数 y = a x + bx + c 图象开口向 ;顶点坐标 b 为 ,对称轴为直线 ;当 x < ? 时, y 随着 x 的增大 2a b b 而 ;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而 ;当 x= ? 时,函数取 2a 2a 4ac ? b 2 最 值 y= 。 4a b 4ac ? b2 y y , ) A (? b 2a 4a x=- 2a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3
2

例 4 求二次函数 y=-3 x -6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值 (或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的 图象。

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例 5 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日 销售量 x /元 130 150 165 y (件) 之间关系如下表所示: y/件 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一 次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每 天的销售利润是多少?

*例 6 已知函数 y=x ,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值, 并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值.

2

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课时作业
姓名: 班级: 2 1.选择题:(1)函数 y=-x +x-1 图象与 x 轴的交点个数是( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空题 ( 1 )二次函数 y = 2 x - mx + n 图象的顶点坐标为 (1 ,- 2) ,则 m = = 。
2

2

,n

(2)已知二次函数 y= x +(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上; 当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点。 (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点 坐标为 ;当 x = 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小 (4)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的 解析式可设为 y=a (a≠0) 。 2 (5) 二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 。 3.据下列条件,求二次函数解析式。 (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1, -6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2)。 (4)函数图象关于 x ? 1 对称,且与 x 轴的两个交点分别为(-1,0) , (3,0)

4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值 或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2

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