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解析几道与集合有关的综合题


l O O  

数 学通 讯 一

2 0 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

?复 习参 考 ?  

解 析 几 道 与集 合有 关的综 合 题 
谢新文   王玉玺   马   强  
( 甘 肃 省 古 浪 县 第一 中学 , 7 3 3 1 O 3 )  <

br />
在 各地 2 0 1 3 届 高 三 复习 备考 的模 拟 试 题 中 ,  
出现 了大量 新颖 题 , 本 文 介 绍 几 道 与 集 合 有 关 的  综 合题 , 供 大家参 考.   题 1   ( 北 京 市 东 城 区普 通 高 中示 范 校 2 0 1 3   届 高三 3 月联 考综合 练习 ( -) 数学 ( 理) 试题 ) 已 
知 数集 A 一 { a l , a 2 , …, a   )( O≤ Ⅱ 1 < a 2 < … < 

+ ( 口  一 口 1 )一 口 1 + a 2+ … + 日   一 l +日  ,  

故 2 ( n 1 +a 2 + … +。   )一 撇  ,  
所以 口 1 十口 2+ … + 口  一  口   .  
厶 

( 3 )由 ( 2 )可 知 : 口   +a n +   一   一a   (  一 1 , 2 , …,  
), 所 以  a   +a 9 一 f一 。 8 (  — l, 2, …, 8 )   ① 

a   ,  ≥ 3 ) 具有性 质 P: 对 V   i ,  ( 1 ≤i ≤ ≤ ) ,   n , +。   与n , 一a   两数 中至少 有一个 属于 A.  

由a 2 +a 7 =a 8 知: n 3 +a 7 , a 4 +a 7 , ……, Ⅱ 7 + 

( 1 ) 分 别判 断数集 { 0 , 1 , 3 } 与数集{ 0 ,2 ,4 ,  
6 } 是 否具有 性质 P, 说明理 由;  

a 7 均 不属 于集合 A, 因此 , a   7 一Ⅱ 3 , a   7 一a   4 , …… , n 7   一口 7 均属 于集合 A, 所 以a 7 一a 7 <a 7 一a 6 <n 7 一  
n 5 < a 7 一a 4 < a 7 ~n   3 <a 8 一a 3 , 所以 a 8 一a 3一 
口 6.  

( 2 )求证 : “ l +“ 2 + … +&  一 芸n   ;  
厶 

( 3 )已知 数 集 A 一 { 口   , n   , …, n   )具 有性 质 

所 以 口 7 一a 7= 0,  7 一乜 6一 口 2 , n 7 一口 5: “ 3 ,  

P, 证明 : 数列 “   , n : , …, n  是等 差数列 .  
分析  第 ( 1 ) 小题 直接验 证 即可 ; 第( 2 ) 小题  需要 根据 性 质 P探 求数 集 A 中元 素之 间 的关 系 ;   第( 3 ) 小 题将 A 限定 为一个 8元集 合 , 只需结 合第 
( 2 ) 小题 得 到的 a   , a 。 , …, a  之 间 的 关 系证 明 Ⅱ   一  


口 7 一a 4   a 4 , 即  日 f +n H —a 7 (  一 1 , 2 , …, 7 )   ② 

由 ①② 可 知 a  — a 8一 a 9 一  = = =a 8一 ( n   7 一 
a  1 ) (  一 2 , 3, …, 8 ) , 所以a   一n H —a 8 一a 7 (  一 

2 , 3 , …, 8 ) , 故a   , a   , …, a 。 构成 等差数 列.   评析  数集 A = { a 。 , a   , …, n   ) 具有性 质 P  
时, 对 V   i ,  ( 1≤ i ≤ J≤  ) , n  十 n  与 n  一 Ⅱ  两 

不变 即可.  

解  ( 1 )由于 3 —1 和3 +1 都不 属于集 合 { 0 ,   1 , 3 ) , 所 以数集 { 0 , 1 ,3 } 不具有 性质 P;  
r h于 2+ 0 、 4 + 0、 6 + 0、 4 + 2、 6 —2 、 6 — 4、 0 — 

数 中至少 有一 个 属 于 A, 可逐 步 分析 数 集 A 中有 
哪 些元素 , 采 用 排 除 法 是 很 自然 的 选 择 , 如 上 面 的  解 法 中先说 明 n   +“   A( k =2 , 3 , …,  ) , 从 而 可  得 Ⅱ   一a  ∈ A( 五一 2 , 3 , …, , 1 ) .  

0 、 2 —2 、 4 —4 、 6 —6 都 属于集 合 { 0 , 2 , 4 , 6 ) , 所 以  数集 { 0 , 2 ,   6 } 具 有 性 质 P.  

( 2 )因为 A 一 { a   , a   , …, 口   ) 具有 性质 P, 所 
以“  + “  与 “  一 n  中 至 少 有 一 个 属 于 A.  
又 0≤ “ 1 < d 2< … < a   , a  + n  > n   , 故a  

题 2 ( 北 京 市 海淀 区 2 0 1 3届 高 三 年 级第 一  学期期 中练 习理科 试 题 )已 知数 集 A 一 { a   ,“ 。 ,  


, &   } ( 1 一  < “  < … < “   ,  ≥ 2 ) 具 有性 质 

十“  

A, 所 以 0一 d  一 n  ∈ A, 故a 1— 0 .  
为 0一 a 1< a 2< a 3 < …<a  , 所以 a  4 -  

P: 对 任意 的 忌 ( 2 ≤是 ≤ ) ,   ,  ( 1 ≤i ≤ ≤ ” ) ,  

使得 a  一 n   +a   成立 .  
( I) 分 别判 断数集 { 1 ,3 ,4 ) 与{ 1 ,2 ,3 ,6 )   是否具有 性质 P, 并说 明理 由;   ( Ⅱ) 求证 : a   ≤2 a l +“ 2 + … 十a  1 (  ≥ 2 ) ;   ( Ⅲ) 若a   一7 2 , 求数 集 A中所 有元素 的和 的 
最小值 .  

>Ⅱ   , 故a   十a  

A( k一 2 , 3 , …,  ) , 所以a   一 

“  ∈ A( 是一 2 , 3 , …,  ) . 又因为 口   一口   <a   一口  l  
< “   a  2< … < a  一 “ 2< a  一 a 1 , 所 以 
( £   一 “ 1, a  ~ “, r 1 =  “ 2’… ’  

“ Ⅳ 一



n2 = =

& 一 l ,a ” 一

a l = = “  '  

从 而( “  一 . ‘ “  ) +( ( z  ~“   )+ … + ( “  一d 2 )  

分析  第 ( I) 小 题直接 验证 即可 ; 第( Ⅱ) 小 

?

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数学通讯 —— 2 O 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半 月)  

1 O 1  

题 需要 根据 性 质 P探 求 数 集 A 中元 素 ( 特 别 是 相  邻 项 )之 间的关 系 ; 第( m) 小 题需 要 根据 a  一 7 2   逐 步 分析 n , r 。 , 口   及 之 前 的项 的可 能 取 值 , 应 注  意结 合第 ( I I )小题 得 到 的关 系来推 理.   解  ( I)因为 3 ≠1 十1 , 所 以数 集 { 1 , 3 , 4 }  
不 具有 性质 P.   因为 2: = :1 +1 ,   3— 1 +2 ,   6— 3 +3 , 所  以数集 { 1 , 2 , 3 ,6 ) 具 有性 质 P.  

于口   , a   , a   的元 素 , 从而 S> ( 口   +a   +a   ) +5 a l  


1 4 9 , 矛盾 , 所以 3 6 ∈ A, 进而a   一3 6 , 且口 , 广   一  同理可 证 : 口  2— 1 8 , a , r 。一 9 .  

3 6.  

同理可 以证 明 : 若 1 8∈ A, 则口 , r 。一 1 8 .   假设 1 8   A. 因为 口   一3 6 , 根据 性质 P, 有  a   , a   , 使得 口  1 —3 6一 n   +a 『 .  
显然 a f ≠口   , 所以 a  + a m - 1 +a f +口  一 1 4 4 ,  

( I I )因为集 合 A 一 { a   , n 。 , …, 口   } 具 有性 质 
P, 即对 任意 的 k ( 2≤ k≤ ) ,   i ,  ( 1 ≤ i ≤J ≤  ) , 使得 a  一 a f +a   成 立.   又 因为 1一 口 l <口 2 < …<口   ,  ≥ 2 , 所以a f   < a ^ , a , <  , 所以 口   ≤a k - . - l ,   ≤a k - - . 1 , 所 以a k : 
a f +口   ≤ 2 口 卜1 , 即a   ≤ 2 口 , 广 1 , 口  l ≤2 口  2 , 口  2 ≤  2 口 , r 3 , …, a 3 ≤ 2 a 2 , a 2 ≤ 2 a l ,  

而 此 时集合 A 中至少还 有 4个不 同于 a   , n , r 。 , a i ,  
a , 的元 素 , 从 而 S> a   +口 , 卜 1 +口 i +口   +4 a l一  1 4 8 , 矛盾 , 所以 1 8∈ A, 则口 , 广  一 1 8 .  

同理 可 以证 明 : 若 9∈ A, 则n , r 。 一9 .   假设 9   A, 因为 口 , 广 。一 1 8 , 根 据 性 质 P, 有  口 f , a , , 使得口 , r 2 —1 8 一a f +口   , 显然 a f ≠a   , 所 以  a   +口 , 广 l +n , r z +a   +&  一 1 4 4 , 而 此时集 合 A 中  至少 还有 3个 不 同于 口   , a 州, 口 , r 2 , 口   , a  的 元 素 ,  
从 而 S> 口   +口 , 广 1 +口 , 广 2 +a i +n   +3 a l =1 4 7 , 矛 

将上 述不 等 式相 加得 
a 2+ … + 口  1 +a  ≤ 2 ( 口 l +a 2 +…+口 , r1 ) ,  

所以 口  ≤ 2 a 1 +口 2 +… +口 , 广 1 (  ≥ 2 ) .  

盾, 所 以 9∈ A, 则口 , r 。一 9 .  

( 1 l I )最 小值 为 1 4 7 .   首 先 注意 到 a 。 一1 , 根据 性质 P得到 a 。 一2 a 。  


至此 , 我们 得到 了 n , 广   一3 6 , 口 , 广 : 一1 8 , n , 广 。 一  
9 .  

2 , 所 以易 知数集 A 的元 素都 是整 数.   构造 A = ( 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 1 8 , 3 6 , 7 2 }或 者 A 一 

根据性 质 P, 有a   , 口   , 使 得 9一 口   +n   .   我们 需要 考虑如 下几 种情 形 :   ①n   一8 , a   一1 ,   此时 集合 中至少 还需要 一  个大 于 等 于 4的元 素 n   , 才能 得到元 素 8 , 则 S  
> 1 4 8;  

{ 1 , 2 , 4 , 5 , 9 , 1 8 , 3 6 , 7 2 ) , 这两 个集 合 具 有 性 质 P,   此 时 元素 和 为 1 4 7 .   下面, 我 们证 明 1 4 7是 最小 的和.   假 设 数集 A = { a l , a 2 , …, a   ) ( n 1 <a 2< … 

②n   =7 ,   一2 , 此 时集 合 中至少还 需要 一个 
大 于 4的元素 a   , 才能 得 到元 素 7 , 则 S> 1 4 8 ;  

<口   ,  ≥2 ) , 满足S 一∑ 口   ≤1 4 7 最小( 存在性 
显然, 因为满足  : 口   ≤1 4 7 的数集 A 只有有限  
1  

③口 i : = = 6 , a , 一3 , 此 时集 合 A 一 { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,  
1 8 , 3 6 , 7 2 ) 的和最 小 , 为 1 4 7 ;  

个) .  

④口   一5 , n   一4 , 此时集 合 A 一 { 1 , 2 , 4 , 5 , 9 ,   1 8 , 3 6 , 7 2 ) 的 和最小 , 为 1 4 7 .  

第 一步 : 首先 说 明集合 A一 ( a   , a 。 , …, a   ) ( 口 。  
< n  < … < a   ,  ≥ 2 )中至 少有 8个元 素.   由( I I )可知 口 2 ≤ 2 a   , 口 。 ≤ 2 a : , …,  
又 a 1 —1 , 所以 口 2 ≤2 , a 3 ≤4 , a 4 ≤8 , a 5 ≤  1 6 , 口 6 ≤ 3 2 , a 7 ≤ 6 4< 7 2 , 所 以  ≥ 8 .   第二步: 证明 Ⅱ 一1 = = : 3 6 , 口 , r 2 — 1 8 , n  3— 9 .  

评 析  本题 同题 1 有 些类 似 , 但 应 注意 数集 
A满足 的性 质 P的差 异 , 本题 中 , 对任 意 的 k ( 2 ≤k   ≤ ) , 了i , J ( 1 ≤ i ≤J ≤ ) , 使得 n  一 n   +a , 成  立, 说 明数集 A 中的 每一个 元 素 a  都 与它之 前 的  元 素 有关联 , 第( I I ) 小 题 中得 出关 系 a   ≤2 a   是  关 键 的一 步 , 这 也是 第 ( I l I ) 小题 由 n  一 7 2 逐步 分  析a   , n  。 及 之前 的项 的可 能取值 的基 础.   题3 ( 北 京 市西 城 区 2 0 1 3届 高 三年 级 一 模 

若 3 6∈ A, 设 口  一 3 6 , 因为 n  一 7 2— 3 6 + 

3 6 , 为了使得 S 一   : 。   最小, 在集合A中一定不  
一 1  

含有元 素 口  , 使得 3 6< a  < 7 2 , 从而 n   一3 6 .  
假设 3 6   A, 根据 性质 P, 对 。  一 7 2 , 有 a   ,   a J , 使得 a  一 7 2 一a   +口   , 显然a   ≠a   , 所 以a   + 

理科试 题)已知集 合 S  = { X     l X一 (  , z 。 , …,  
) ,   ∈N  , i 一 1 , 2 , …,  )(  ≥ 2 ) .对 于 A 一 

( 口 1 , a z , …, a   ) , B一 ( 6 1 , b 2 , …, b   )∈ S   , 定 义 


a   +  = 1 4 4 , 而此 时集 合 A 中至 少还 有 5个不 同 

( b l —a l , b 2 一a 2 , …, b   一n   ) ;  ( n l , a 2 , …, a   )一 

1 0 2  

数 学通 讯 一 一 2 0 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

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(   Ⅱ   , ; t a 。 , …, 2 a   )(  E   R ) ; A 与 B 之间 的距 离 为  ( A, B)一 
i = l  



d ( A, c ) , 此 时不一定 

>0 , 使得 

一  

.  

  l a i —b  I .  

反 例如下 : 取A一 ( 1 , 1 , 1 , …, 1 ) , B一 ( 1 , 2 ,   1 , 1 , …, 1 ) , C ( 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , …, 1 ) , 则  ( A, B )一 l ,  
d ( B, C )一 2 , d ( A, C )一 3 , 显然 d ( A, B) +d ( B,  
C)一 d( A, C) .  

(I)当  一 5 时, 设 A一 ( 1 , 2 , 1 , 2 , a   ) , B一 

( 2 , 4 , 2 , 1 , 3 ) . 若d ( A, B)一 7 , 求Ⅱ 5 ;  
( Ⅱ) (i )证 明 : 若 A, B, C∈ S   , 且 j  > 0 ,  

使  一  赢 , 则d ( A, B ) +d ( B, c ) 一d ( A, c ) ;  
(. _ )设 A, B, C∈ S   , 且 d( A, B)+  ( B, C)  


因为  一 ( 0 , 1 , 0 , 0 , …, o ) , 赢 一( 1 , 0 , 1 , 0 ,   0 , …, o ) , 所以不存在 > 0 , 使得  一  藏 .  

d ( A, c ) . 是 否一定 j  > 0 , 使 

一  

? 说 明 

( 1 l I ) 解法 一: 因 为d ( A , B ) 一∑ l   b   一 a   l ,  


l  

理由;  

设 b   —a   ( i 一 1 , 2 , …, n )中有 m ( m≤ , z ) 项 为 非 

( 1 l I )记 I 一( 1 , 1 , …, 1 )E   S   . 若 A, B∈S   ,  


负数 ,  一  项为 负数 , 不 妨设 i 一1 , 2 , …, m时b  
日   ≥0 , i 一   +l ,   +2 , …,  时 6   一口   <0 .  

且6 f ( J , A)一  (   , B)一 P, 求d ( A, B) 的最 大值.  
分析 : 第( I)小题 直接列式 计算 即可 ; 第( I I )  
小题 , 若设 A 一 ( 口 1 , a   ”, a   ) , B一 ( 6 1 , b 2 , …,  

因 为d ( I , A ) 一d ( I , B ) 一户 , 所以∑ ( n   一 1 )  
i 一 1  


b   ) , C一 ( c l , C 2 , …, C   ) , 则 
( A, B)一 

∑( 6   一1 ) 一  , 整 理得∑n   一∑ b   —p 十   .  
i 一1   一1   i   1  

{ 口   —b   l ,   ∑ 


所 以 

1  

( B, C)一 

b   —C  l ,   ∑   l
i =1  

d ( A , B ) 一∑  一n     l
i 一1  


[ ( 6 1 +b 2 +… + b   ) 一( 口 1 +口 2 +… +a   ) ]   +[ ( Ⅱ 卅1 +口  2 + … +a   ) ~( 6 卅 + 1 +6  2 +  


( A, C)一 

l   n   一C  I,  

从而 需要 考虑 l   n   一b  I +l   b   —C  l 与 I   n   — 


+b   ) ]  

c  l 的关 系 ; 第( I I I ) 小题需要 利用 d ( A, B ) 与 ( j ,  
A) ,  ( J , B) 之 间的关 系来求解 .  


2 [ 6 1 +b 2 + … +6   一( 口 1 +口 2 +… +a   ) ] .  

因为 b   十b 2 十 … +b  一 ( 6 1 +b 2 +… +b   )  
( 6   +6  2+ … + b   )≤ ( p+ ) 一( n一  ) x  1一 P+ m , 又a 1 十a 2 + … +a  ≥ m × 1一 m, 所 

5  

解  ( I ) 当  一5 时, 由d ( A , B ) 一∑ l   n  
£ 一1  


b  l 一 7得 l   1 —2   l 十I   2—4   l +I   1 — 2{ +l   2 —  
1   l +l   n   一3   l 一7 , 即 1   a   一3   l 一2 . 由 a 。E   N  ,   得 a   5— 1或 a 5 — 5 .  
(I I) (i) 设 A一 ( a  , a 2 , …, a   ) , B一 ( 6 。 , b 2 ,  


以d ( A, B) ≤2 [ ( p+ m) 一m]一 2 p .  
即 d( A, B)≤ 2 p.  

对于 A 一 ( 1, 1 , …, 1 , P+ 1 ) , B一 ( p+ 1 , 1 ,  

1 , …, 1 ) , 有 A, B   E   S   , 且  (  , A) : : =  ( J , B) 一 P,  
d( A, B)一 2 p .  



b   ) , C一 ( c   , f : , … C n ) . 因为 j  > 0 , 使 


综上 , d ( A, B)的最 大值 为 2 户 .   解法 二  首 先易证 如下 引理 : 设 z, Y   E   R, 则 
有 I   z+ Y   l ≤l   z   l +l   Y   I .  
所 以 



 

所以 了  > 0 , 使得 ( 6 1 一( 1 1 , b 2 ~a 2 , …,  

6  一 a   )一 ( c 1 一b 1 , C 2 一b 2 , …, C   一b   ) , 所以b   一 

d  一 ( f   —b   ) , 其中 i —l , 2 , …, n , 所 以b   一a   与  C   一b   ( i— l , 2 , …,  )同为 非 负 数 或 同 为 负 数 ,  
所 以 
d( A, B)+ d( B, C)  

d ( A , B ) 一∑ l   b   —a i   l  
f 一1  
: ==

∑ l ( 6   一1 ) +( 1 一n   ) l  
f一 1   i= l  



∑ l ( 2 i — b   l +∑ I   b   一C i     l
i   1   i   l  

≤∑ (   1 b   一1   I 十 l   l — a i   1 )  




∑( I   b   一 “   I + l   c   一 b   I )  
i— l  

∑ l   a i —l   I +∑ l   b   一1   I 一2 p .  
i   1   i 一 1  



∑ I   C i —a i   i —d ( A , c ) .  

上式 等号成 立 的条件 为 a , 一1 , 或b   一1 , 所 以 
( A, B)≤ 2 p.  

(_ _ )设 A, B, C   E  S   , 且 d( A, B)+ d( B, C)  

?

复 习参 考 ?  

数 学 通讯 — — 2 O l 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

1 0 3  

对于 A 一 ( 1 , 1 , …, 1 , 户+ 1 ) , B一 ( p+ 1 , 1 ,  

2 当f 一0 , 且 n— b 一√ - 5


1 , …, 1 ) , 有 A, B∈ S   , 且 ( I , A)= d ( I , B) 一 P,  
( A, B)一 2 p.  

时, 口 +6 达到最大觚

于  

综上 , d ( A, B)的最 大值 为 2  .  

是 c ( A ’ S ) 一 譬 ( a + 6 ) 一   .  
② 当 0不是 S中 的“ 元 ”时 , 计算 C ( A, S )一  ( 口 +6 +c )的最大 值 ,  
由于 口  + b 。 +c   一 1 , 所 以( 口 +b +c )  一 口  
+b 。 +f   +2 a b+ 2 a c +2 b c≤ 3 ( a   +6 2 +c 。 )= 3 ,  

评 析  在 一定 程 度 上来 说 , 本 题 的求解 和证  明始终 围绕 不等式 “ I   z+Y   1 ≤I   z   1 +l   Y   1 ” 展开,   第( I I ) 小 题涉 及 的是等 号 成 立 的情形 , 第( Ⅲ)小  题利 用这 一不 等 式 得 到 的解 法 二 非 常 简 洁 , 便 于 
理解 .  

题 4 ( 北京市东城区 2 0 1 3届 高 三 年 级一 模 

当且仅 当 口一 b— c 时, 等号 成立 . 即当 a— b— c  
: : = 

理科 试题 ) 设 A是由 , z 个 有 序 实数 构 成 的一 个数 
组, 记作 : A一 ( 口 1 , a 2 , …, 口   “, 口   ) . 其中 n   (  一 
1 , 2 , …,  ) 称 为数 组 A 的 “ 元” , i 称为 n  的 下标 .  

时, 口 +6 +c 取得 最大 值  , 此 时 C( A, s )一  
( n+ b+ c )一 1 .  

如 果 数组 S中的每个 “ 元”都是来 自数 组 A 中不 同  下 标 的“ 元” , 则称 S为 A 的子 数组.定义两 个数 组  A一( n 1 , 口 2 , …, n   ) , B一 ( 6 1 , b 2 , …, b   ) 的关 系数 
为 C ( A, B)一 口 l b l +口 2 b 2 + … +n   b   .  
1   1 

综 上 所述 , C ( A, S )的最 大值 为 1 .   ( Ⅲ)因 为 B  = ( 6  , 6 , , I 2 , 6 , , l 3 , b  ) 满足 6   。 + 
6   2 + 6   +6   一 m.  

由b  , 6  , b   。 , b   关 系的对称性 , 只 需 考 虑 

( I ) 若A: ( 一寺, ÷) , B一( 一1 , 1 , 2 , 3 ) , 设  
厶  厶 

( 6   : , b   。 , b  )与( 口 。 , 口   , n 。 )的关 系数 的情 况.  
当b   = = = 0时 , 有 
(  


S是 B的含 有两个 “ 元” 的子数 组 , 求C ( A, S ) 的最 
大值 ;   ( Ⅱ) 若 A一 (   ,   ,   ) , B: : = ( 0 , Ⅱ , 6 , c ) , 且 
o  o  0 

) z+ (  
 

) z + (  
m  

) z— 1 .  
m  

b   2 .  
al ’   十 t 2 2 ‘  

b   3 .  
十 口3 。  

b   4  
m 

n   +b   +c 。 一1 , S为 B的 含有三个 “ 元” 的子数 组 ,   求 C ( A, S )的最 大值 ;  

m 

~m  

。 ; + 

。 ; + 

口 ; + 

( I I ) 若数 组 A一 ( 口   , 口 。 , 口 。 ) 中的“ 元” 满足口 {   +口 l +口 ;一 1 . 设 数组 B   ( m一 1 , 2 , 3 , …,   )含有 

≤—产 + —产 + —产  


璺   ±   ±垡   鱼  ±鱼  ±鱼  
2  


四个 “ 元” b  , 6  ,   , b  , 且 6  +6  +6   +6  

。  
===

2 m 

— m, 求A与B  的所有 含有 三个 “ 元”的子数 组的 
关 系数 C ( A, B   ) (   一 1 , 2 , 3 , …,  )的最 大值 .  



 

十 



1,  

分 析  第 (I) 小 题根 据 s的各种 可能情 况进 
行 计算 后 比较 即可 ; 第( I I )小 题 需 要根 据 “ 元” 0   是 否包 含在 S中分类 考 虑 ; 第( 3 )小题 仍然需 要考  虑“ 元” 0是否在 子数 组 中.  

I P   b   一 o, 且 口  一 

, n 。一 

, n 。一 
m  m 

~m  

时, 口 。 b   2 +口   b   +C l 3 b   取得 最大 值、 / / _.  
当b   ≠ 0时 , 6   2 +6   +6   < m, 得口 1 6   + 

解  ( I) 依 据题 意计 算 可知 , 当 S一 ( 一1 , 3 )  
时, C ( A, S ) 取得 最 大值 2 .  

口 : b   。 +口 。 b   最 大值 小 于  .   所以C ( A, B , , . )的最 大值 为 4 -  ̄( m一 1 , 2 , 3 ,  


( Ⅱ) ① 当 0是 S中的“ 元 ”时 , 由于 A 的三个  “ 元 ”都相 等及 B 中 n, b , c 三 个“ 元”的对 称性 , 可  以 只计算 C ( A, s )一   ( 口+6 )的最 大值 , 其 中n  
o 

,  

) .  

评析  本题 涉及 几个 新概念 ( 数 组 A的“ 元” ,  

子数 组 , 关 系数 等) , 首先 要认 真读题 , 对 概 念 的准 
确 理解是 顺利 解题 的 前 提. 本题 的 实 质 是 考 察 多 

+ b 。+ c  一 1 .  

元 函数 的条 件 最值 , 条 件 的“ 隐蔽 性 ”无 形 中增 大 

由( 口+6 ) 。一 口  + b  + 2 a b≤ 2 ( 口  + b 。 )≤ 

了试 题 的难度 , 对 学 生的 能力 要 求较 高 , 根据 “ 元”  
的对 称性 将 问题 具体 化 ( ( Ⅱ)中转化 为计 算 C ( A,  

2 ( a  +6 。 +C 。 ) 一2 , 得 一  ≤ n +b ≤ 厄 当且 仅 

1 0 4  

数 学通 讯 一

2 0 1 3年 第 5 、 6期 ( 上 半 月)  

?复 习 参考 ?  

s )一  ( n十 6 )的 最 大 值 , ( I I I )中 转 化 为 考 虑 
0 

而 

M 一 ( 一1 ) 。一一 1  

① 

( 6   : , b   。 , b  )与 ( n 。 , n : , n 。 )的关 系数 )是很 关键 
的步骤 .  

另 一方 面 , r   ( A)? r 。 ( A)… ? ? r 。 ( A)表示 数 

表 中所 有 元 素 之 积 ( 记这 8 1个 实 数 之 积 为  ) ;  
c   ( A)? C 。 ( A)… ? ? C 。 C A) 也 表示 m, 从 而 
M — m 一 1  
£ ( A )一 0.  

题5 ( 北京 市 西 城 区 2 0 1 3届 高三 上 学期 期  末考试 理科 试题 )如图 , 设 A 是 由  × 7 / 个实 数组 

② 

成的7 / 行  列 的数 表 , 其 中n   ( i ,  一 1 , 2 , 3 , …, 7 z )  
表 示位于第 i 行 第J列 的实数 , 且  ∈ ( 1 , 一1 } . 记  S ( n ,   )为所有这 样 的数表 构成 的集合 . 对于A ∈   S ( n ,  ) , 记  ( A) 为 A 的第 i 行 各数 之 积 , C   ( A)  

①、 ② 相 矛盾 , 从 而不存 在 A ∈ S ( 9 , 9 ) , 使得 
( 1 l I ) 记 这 。 个实数 之积 为 P .  


方面, 从“ 行 ”的 角 度 看 , 有 P— r   ( A)?  

为A的第J列各数之积. 令z ( A )一 ∑ r l ( A )  

t " 2 ( A) … ? ? r n ( A) ; 另一 方面 , 从“ 列” 的角度 看 , 有 
P— C l ( A)? c 2 ( A)… ? ? c   ( A) , 所 以 
r l ( A)?  2 ( A)… ? ?r   ( A)  

一c l ( A)? c 2 ( A)… ? ? c   ( A) ③  注 意 到  ( A)∈ { l , 一1 ) , C   ( A)∈ { 1 , 一1 )   ( 1 ≤ i ≤ , 1 ≤  ≤ , z ) .  

下 面 考 虑 r 。 ( A) , r   ( A) , …,  ( A) , c   ( A) ,   f z ( A) , …, C   ( A)中 一 1的个数 .   由③ 式知, 上述 2  个 实数 中 ,一 1 的个 数一定  为偶数 .记该 偶数 为 2  ( 0≤ k ≤ ) ;   1的个数 
为2 n 一2 忌 , 所以Z ( A) 一( 一1 ) ×2 k +1   ( 2 n 一2 k )  


2 (  一 2 k ) .  

对 数表 A。 : t 2  一 1 (   ,  一 1 , 2 , 3 , …,  ) 。 显然 
Z ( A。 )一 2 n .  

将 数表 A 。中 的 a  由   变为 一 l , 得 到数 表 
A1 , 显然 Z ( A1 )一 2 n一 4 .  

将 数 表 A 中 的 a : :由 1变 为 一 1 , 得 到 数 表 
A2 , 显然 Z ( A  )一 2 n一 8 .  

一  

依 此类 推 , 将数 表 AH 中的 n  由 1 变为  1 ,   得到数 表 A  . 即数表 A   满足 : a 。   一a 。 。 ~ ? 一a  
一 一

1( 1 ≤ 志≤ ) , 其余 n  一 1 . 所以 r   ( A)一  

( A )一 … 一  ( A )一 一 1 , c   ( A )一 c   ( A) 一 … 

一c   ( A)= : = 一1 . 所以 l ( A^ ) 一2 [ ( 一1 ) ×  十 (  一 

是 ) ]一 2 n 一4 k .   由 k的任意 性知 , z ( A)的取 值 集 合 为 { 2 (  一 
2 k )l   k一 0, 1 , 2 , …,  } .  

评 析  本题数表 中元素的不确定性是解题 的难  点, 第( T ) 小题的结论开放 , 要求学生构造符合要求的  数表 , 有利于帮助学生加深对数 表的感 性认识 ; 第( 1 1 5   小题是 探索性 问题 , 在假设存在 的前提下 , 构造矛盾  是关键 的步骤 ; 第( Ⅲ) 小题 的难度较 大 , 整 体处理和  逐步调整相结合是解题的必然选择.  


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