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一次函数综合复习及经典例题


明远教育个性化辅导教案
教师 学生 授课内容 难度星级 科目 年级 数 学 初 三 时间 学校 一次函数典型例题 2014 年 9 月 30 日

一次函数知识点总结 ★ ★ ★ ★

教学内容

本次课教学安排:
1、掌握一次函数的概念、基本性质。 2、掌握一次函数的图像与画法 3、掌握一次函数各系

数的关系

内容详解:

一次函数知识点总结

(一)函数 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值 与其对应,那么我们就把 x 称为自变量,把 y 称为因变量,y 是 x 的函数。 *判断 Y 是否为 X 的函数,只要看 X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 5、函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些 点组成的图形,就是这个函数的图象. 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) ; 第二步: 描点 (在直角坐标系中, 以自变量的值为横坐标, 相应的函数值为纵坐标, 描出表格中数值对应的各点) ; 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来) 。 8、函数的表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数 关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如 y ? kx ? b ( k , b 是常数,且 k ? 0 )的函数,叫做一次函数,其中 x 是自变量。当 b ? 0 时,一次

函数 y ? kx ,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是 y ? kx ? b ,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当 b ? 0 , k ? 0 时, y ? kx 仍是一次函数. ⑶当 b ? 0 , k ? 0 时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 2、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零 当 k>0 时,直线 y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大; 当 k<0 时,?直线 y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随 x 增大 y 反而减小. (1) 解析式:y=kx(k 是常数,k≠0) (2) 必过点: (0,0) 、 (1,k) (3) 走向:k>0 时,图像经过一、三象限;k<0 时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近 y 轴;|k|越小,越接近 x 轴 3、一次函数及性质 一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数. 当 b=0 时,y=kx+b 即 y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数 一次函数 y=kx+b 的图象是经过(0,b)和(-

b ,0)两点的一条直线,我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由 k
(2)必过点: (0,b)和(-

直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到.(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移) (1)解析式:y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0)

b ,0) k

(3)走向: k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限

?k ? 0 ? 直线经过第一、二、三象限 ? ?b ? 0 ?k ? 0 ? 直线经过第一、二、四象限 ? ?b ? 0

?k ? 0 ? 直线经过第一、三、四象限 ? ?b ? 0 ?k ? 0 ? 直线经过第二、三、四象限 ? ?b ? 0

(4)增减性: k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小. (5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于 y 轴;|k|越小,图象越接近于 x 轴. (6)图像的平移: 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.

一次 函数

k ? kx ? b ? k ? 0?

k ,b 符号

k ?0 b?0 b?0 b?0 b?0

k ?0 b?0 b?0

y

y
O O

y
O

y
O

y
O

y

图象
O

x

x

x

x

x

x

性质

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

4、一次函数 y=kx+b 的图象的画法. 根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图

象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点: (0,b) , 或纵坐标为 0 的点.

.即横坐标

b>0 经过第一、二、三象限

b<0 经过第一、三、四象限

b=0 经过第一、三象限

k>0

图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

k<0

图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,它可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而得到(当 b>0 时,向上平 移;当 b<0 时,向下平移) 6、正比例函数和一次函数及性质 正比例函数 概 念 一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数 叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数 X 为全体实数 一条直线 一次函数 一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时,是 y=kx,所以说正比例函数是 一种特殊的一次函数.

自变量 范 围 图 象

必过点 走 向

(0,0) 、 (1,k) k>0 时,直线经过一、三象限; k<0 时,直线经过二、四象限

(0,b)和(-

b , 0) k

k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限 k>0,b<0 直线经过第一、三、四象限 k<0,b>0 直线经过第一、二、四象限 k<0,b<0 直线经过第二、三、四象限

增减性 倾斜度 图像的 平 移

k>0,y 随 x 的增大而增大; (从左向右上升) k<0,y 随 x 的增大而减小。 (从左向右下降) |k|越大,越接近 y 轴;|k|越小,越接近 x 轴 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.

6、直线 y ? k1 x ? b1 ( k1 ? 0 )与 y ? k 2 x ? b2 ( k 2 ? 0 )的位置关系 (1)两直线平行 ? k1 ? k 2 且 b1 ? b2 (3)两直线重合 ? k1 ? k 2 且 b1 ? b2 (2)两直线相交 ? k1 ? k 2 (4)两直线垂直 ? k1k 2 ? ?1

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

课后练习:
1 下列函数中,自变量 x 的取值范围是 x≥2 的是( ) A.y= 2 ? x B.y=

1 x?2

C.y= 4 ? x2

D.y= x ? 2 · x ? 2

2 正比例函数 y ? (3m ? 5) x ,当 m

时,y 随 x 的增大而增大.

3 函数 y=(k-1)x,y 随 x 增大而减小,则 k 的范围是 ( ) A. k ? 0 B. k ? 1 C. k ? 1 D. k ? 1 4 若 m<0, n>0, 则一次函数 y=mx+n 的图象不经过 (



A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5 用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示) ,则所解的二 元一次方程组是【 】

? x ? y ? 2 ? 0, A. ? ?3x ? 2 y ? 1 ? 0

? 2 x ? y ? 1 ? 0, B. ? ?3x ? 2 y ? 1 ? 0

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0, C. ? D. ? ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?3x ? 2 y ? 5 ? 0

6.若一次函数 y ? kx ? b 的图象经过第一象限,且与 y 轴负半轴相交,那(



A. k ? 0 , b ? 0 B. k ? 0 , b ? 0 C. k ? 0 , b ? 0 D. k ? 0 , b ? 0 7.一次函数 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的图象如图 9 所示,则不等式 kx+b>0 的解集是( A.x>-2 B.x>0 C.x<-2 D.x<0 y 8.如图,一次函数图象经过点 A ,且与正比例函数 y ? ? x 的图象 交于点 B ,则该一次函数的表达式为( A. y ? ? x ? 2 B. y ? x ? 2 y A B
160



2

y ? kx ? b
0 x



C. y ? x ? 2

?2 D. y ? ? x ? 2
y(千米)
快艇 80 轮船

y ? ?x

2
o

x(小时)
2 4 6 8

?1 O

x

第4题

9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的 是( ) A.轮船的速度为 20 千米/时 B.快艇的速度为 40 千米/时 C.轮船比快艇先出发 2 小时 D.快艇不能赶上轮船 11.函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是( )

12、一次函数 y=kx+b 的自变量的取值范围是-3 ≤x ≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,求这个一次函数的解 析式。

13 函数 y= 5 ? x 中自变量 x 的取值范围是___________. 14.函数 y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线 y=2x+3,且交 y 轴于点(0,-1) ,?则其解析式是 1、 若直线 y=-x+k 不经过第一象限,则 k 的取值范围为 。 .

2、 3、

把直线 y=

2 x ? 1 向下平移 3 个单位得到的函数解析式为 3
;当时 k=

。 时,这个函数的图象与轴交于(0,1) 。

若 y=kx+(2k-1)的图象经过原点,则 k=

4.已知直线 y ? 2 x ? 1 . (1) 求已知直线与 y 轴的交点 A 的坐标; (2) 若直线 y ? kx ? b 与已知直线关于 y 轴对称,求 k 与 b 的值.

5.已知直线 y=-

2 x+3 与 y=2x-1,求它们与 y 轴所围成的三角形的面积. 3

6.如图,已知直线 L1:y1=k1x+b1 和 L2:y2=k2x+b2 相交于点 M(1,3) ,根据图象判断: (1)x 取何值时,y1=y2?(2)x 取何值时,y1>y2?(3)x 取何值时,y1<y2?

7.已知 y ? 3 与 x 成正比例,且 x ? 2 时, y ? 7 .(1)求 y 与 x 的函数关系式;(2)当 x ? ? 数图象平移,使它过点(2,-1).求平移后直线的解析式.

1 时,求 y 的值;(3)将所得函 2

8. 如图,直线 y=2x?3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B。 (1) 求 A、B 两点的坐标; (2) 过 B 点作直线 BP 与 x 轴交于点 P,且使 OP=2OA,求△ABP 的面积。

9.已知,直线 y=2x+3 与直线 y=-2x-1.求两直线与 y 轴交点 A,B 的坐标; (1)求两直线交点 C 的坐标; (2)求△ABC 的面积. C

y A

B

x

10.小强骑自行车去郊游,右图表示他离家的距离 y(千米)与所用的时间 x(小时)之间关系的函数图象,小明 9 点 离开家,15 点回家,根据这个图象,请你回答下列问题:①小强到离家最远的地方需几小时?此时离家多远?②何 时开始第一次休息?休息时间多长?③小强何时距家 21 ㎞?(写出计算过程)
距 离 (km) 30

15 j O 10.5 11 12 13 15 时 间 (h)

12.某水果店超市,营销员的个人收入与他每月的销售量成一次函数关系,其图象如下:请你根据图象提供的信息, 解答以下问题: (1)求营销员的个人收入 y 元与营销员每月销售量 x 千克(x≥0)之间的函数关系式; (2)营销员佳妮想得到收入 1400 元,她应销售多少水果?
y(元)

1200 800 400

x(千克) 1000 2000 3000 4000


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