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【数学】1.7.1《定积分在几何中的简单应用》


1.7.1定积分在几何中的简单应用

一、复习回顾 b 1、定积分的几何意义: 当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y?f (x) O a y
a

?a
O a

b
<

br />f (x)dx ? ? f (x)dx?a ?
a

c

?

b

b

c

f f(x)dx ?-S f (x)dx ?? (x)dx。
a
y?f (x)

c

b

x

b

x

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴
所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,

一、复习回顾

2、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a b a

?

b

a

f ( x )dx ? F(b) - F(a )

或? f ( x )dx ? F ( x ) | ? F (b) - F (a )

(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)

二、例题1
1 计算:

?
2

2

-2

4 - x dx
2
2

解: 如图由几何意义

?
2

-2

1 4 - x dx ? ? ? 2 2 2
?
y

计算: -?sin ? xdx
解:如图由几何意义
xdx ? ?sin ?0
-

y ? sin x

?

?

0

?

x

二、例题2
3. 计算由 y ? 2 x2与x轴及x=-1,x=1所围成的面积
定 积 分 的 简 单 应 用
b b
y A

y ? f1 ( x)

D

B
M O a

C

y ? f 2 ( x)
b

N x

4.用定积分表示阴影部分面积

s ? ? f1 ( x)dx - ? f 2 ( x)dx
a a

例题3
y ? x 与y 2 ? x 所围图形的面积 .计算由曲线
2

定 解:作出草图,所求面积为阴影部分的面积 积 ?y ? x ? 分 解方程组 ? 得交点横坐标为 x ? 0 及 x ? 1 ?y ? x 的 ? 简 y 单 S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OABD y ? x2 应 y2 ? x 1 B C 1 1 用 D = ? x dx - ? x 2 dx
2 2

-1

O

1A

x

0

0

-1



2 x 3

3 1 2

1 31 - x = 2 -1 =1 3 0 3 3 3 0

归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤:
(1)画草图,求出曲线的交点坐标
(2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积 (3)确定被积函数及积分区间 (4)计算定积分,求出面积

练习.计算由曲线 y ? 2 x直线 y 所围图形的面积S
y 4 2 4 y

? x - 4以及x轴
y ? x-4

y ? 2x

S1
2 4

S2 A
8

2 O

S1 S2
2
4

O

B

8

x

A: s ? s1 ? s2 ? ?

4

0

B: s ? s1 - s2 ? ?

8

0

1 ? 8 ? 2 x dx ? ?? 2 x dx - ? 4 ? 4? 2 ? 4 ? 1 2 x dx - ? 4 ? 4 2

练习:巩固练习书本P58练习
提高:书本P66复习参考题A组16题 ? 求曲线 y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ? 2

所围成平面图形的面积
解题要点:

y

y ? cos x

1

y ? sin x
S1 S2
? 4
? 2
x

S ? S1 ? S 2
?
0

O

S1 ? ? 4 cos x dx - ? 4 sin x dx

?

S2 ? ?? sin x dx - ?? cos x dx
2 2 4 4

?

0

?

S1=S2

课本P60 习题B组2 如图, 一桥拱的形状为抛 物线, 已知该抛物线拱的高为 常数h, 宽为常数b.
2 求证: 抛物线拱的面积 S ? bh 3
b

h

建立平面直角坐标系 确定抛物线方程 求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤

证明:如图建立平面直角坐标系,可设抛物线方程为 y ? -ax2 (a ? 0) 代抛物线上一点入方程
4h 2 所以抛物线方程为 y ? - 2 x b
4h b 2 则有 - h ? -a( ) 得 a ? 2 b 2
y
0 x

hS b
b ( ,- h ) 2

于是,抛物线拱的面积为 2S
b ?b 4h 2 ? 2 2s ? 2? h ? ? (- 2 x )dx? 0 b ?2 ? 4h 3 b ? 2 ?b 2 ? 2? h ? (- 2 x ) 0 ? ? bh 3b ?2 ? 3


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