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向心力来源分析-水平面和竖直面(高阶)


一、分析向心力的来源,并列方程
第一类:水平面内,物体做匀速圆周运动. ω N ω N m f F m mg mg
⑴μ≠0


⑶弹簧原长L0,r>L0, (2)ω<ω0时,f方向背离圆心: μ≠0 分析f的可能方向 kX-f=mω22(L0+X)

f=m ω2r kX=m ω2(L0+X) ω N 临界

态: kX=mω02(L0+X) F m (1)ω>ω0时,f方向指向圆心: mg kX+f=mω12(L0+X)

⑵已知L0、K,μ=0

ω
f m N R
mg ⑷

N=m ω2R

f2 M

N2

ω
f1
L

N1

m
mg

μmg+μMg=mω2L

Mg

(5)μ≠0,允许的最大角速度
①对m1:T=m1ω2r r T m 故 m2g=m1ω2r 1 对m2: T=m2g ω m1g ②f=0为临界 :m2g=m1ω02r
N T m2 g

m2

ω>ω0时,f方向指向圆心:
m2g+fm=m1 ωmax2r

(6)最大角速度 最小角速度
①μ=0 ②μ≠0

ω<ω0时,f方向背离圆心:
m2g-fm=m1 ωmin2r

N θ F合 ( 7 ) 飞 机 在 水 平 mg 面盘旋V、R、m. mgtg θ=m V2/R F合

N

ω
r
(9)

T θL

(8)火车转弯 :R、V、m。

θ

mg

m
F合
mg

向心力的来源:

T与mg的合力

mgtg θ= m ω2(r+Lsin θ)

或T的水平分力。

///////////////// /

ω
θ T0 F合 θ

Y

θ T F合

m
mg

X

T1 θ θ T2 mg

mg (10)两绳均长L、 注意临界问题 补:圆锥摆,摆长L,摆 线与竖直θ,摆球角速度 临界: mgtgθ=m mgtg θ=m ω2Lsinθ ω02Lsinθ 或正交分解: ω>ω0: 下面的绳出现拉力: 2Lsinθ Tsinθ=mω T1sinθ+T2sinθ=m ω2Lsinθ Tcosθ=mg 故cosθ= 2 ωL ω↑如何?

g

T1cosθ-T2cosθ-mg=0

y ω x
θ T

ω
X

N

m mg

f θL θ

Y

θ m

N

mg
(12)斜面μ≠0 fsinθ-Ncosθ=m ω2Lsinθ Fcosθ+Nsinθ-m g=0

(11)绳长L、夹 角θ、μ=0、
Tcosθ=m ω2Lcosθ N—Tsinθ—mg=0

向心运动与离心运动
A. ∑F法=mω2r B. ∑F法=0

V

V
o

V
∑F法(F提)

C. ∑F法<mω2r
D.∑F法>mω2r

V

二.连接体
例1. 解: 设每根绳长为L

N

N

L
T2

L
T1/ mg T1 mg

分别取两球为对象:
受力如图。

ω相同
故T1=mω2×2L T2 -T1=mω2 故

T 2 1 ? T2 3

二.动态分析 例2. ⑴ M所需的向心力由
T=mg提供。

M

r

⑵ ω↑, M所需的向心力

m

F需=Mω2r 增加 mg不足以提供M所需的向心力,故M将做离心运动。

⑶M稳定,则F提= F需 即:mg=M ω2r
mg、M 一定, r ?

1

?

2

1 故 r ? r 4
/

⑷M稍偏离上述位置, M将做向心或离心运动。

? 是否物体需要的向心力越大就一定先滑 动?

例3. m A ? 2mB ? 2mC
解:

1 rA ? rC ? rB 2


ω
A B

A. 三者ω相同, 由a= ω2r∝r 故aB最大.
B. 三者都做匀速圆周运动,

则: F提= F需

故f=mω2r ∝mr

故 fA:fB :fC=mArA : mBrB :mCrC =2m×r :m×2r :m×r =2 :2 :1 故fC最小.
C、D .判断哪个先滑动: 静摩擦力给三者提供的最大向心加速度相同:a=μg

B物体需要的向心加速度最大, 故B先滑动

第一类.物体在水平面内做匀速圆周运动. 第二类. 物体在竖直面内的圆周运动 例2.(绳拴小球)
⑴最高点:球受力如图

且F提=F需



V12 故 T1 ? m g ? m L 2 V
T1 ? m
1



T1

L ⑵球到最高点的速率最小,
2 1

? mg



mg

T1

L

V 由 T1 ? m g ? m V1↓,T1↓ L
V 当T1=0时有Vmin mg=m L


V m

2 min

mg

∴ Vmin ? Lg
2 2

V22 V T2 ? m ? m g ⑶最低点:球受力如图 同理:T2 ? mg ? m L L

例3.轻杆长L,球m,在竖直面圆周运动 解: 由 于 杆 的 支 撑 , 故 Vmin=0 V ⑴ ∴N-mg=0 ⑵当只重力恰好提供向心力时, 杆、球间无作用力。

N
mg



L

V mg= m 故 V0 ? Lg L ⑶当 V? Lg 时,只重力提供的向心力 V
不够,杆对球出现拉力。

2 0

V m

当 V ? Lg 时,重力提供的向心力 太大,杆对球出现支持力。 V22 故 mg? N ? m L

V12 ∴ T1 ? m g ? m L

L



mg T

例4.如图:天车吊着重物m以做匀速运动。轻 绳长L,当物体刚到B点时天车突然停止,则 物刚到B点时绳的拉力为 ,刚过B点 时,绳的拉力为 。
解: 先匀速,刚到B点, 故F 重物平衡, 1=mg V0

刚过B点,重物做圆周运动,
F2-mg=mV2/L 故 F2=mg+mV2/L

B L F 2 V

mg

练习. 1.汽车过凸桥顶端、凹桥底端时 N 。 R V
N

R mg

2 .飞机在竖直面内做匀速圆周运动,飞行员在最 低点、最高点的受力. R N
V
R

V2 mg? N ? m R



V

V N ? mg ? m R

mg

2



N mg
2

V

V mg? N ? m R

V N ? mg ? m R

mg

2

m 。 a m1
2

N

V

N1 。 a m1g

N 。 N1/ m2 g

a

(m1+m2)g



.o

⑴V≤

Rg

整体:(m1+m2)g-N=(m1+m2)V2/R 对m1:m1g-N1=m1V2/R 对m2:m2g+N1/-N=m2V2/R

m V
LT 。o1gsinθ m m1gsinθ

N θ

T1 θ m1gsinθ
⑵ μ=0,绳。 球: 最高点,最低点。 最高点: m1gsinθ+T= m1V2/R

θ m1g 侧视 只考虑沿斜面方向的力

临界:m1gsinθ= m1Vo2/R
最低点,T1- m1gsinθ =m1V12/R 换成轻杆如何?


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