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GeoGebra数学绘图教室(3) 极坐标全文


GeoGebra 数学绘图教室(4)极坐标 台北县立锦和高中 传统的纸笔作图是先对 ? ? 陈禾凯

? ? ?

, , , ? 等度数作出 r ? f (? ) 函数的数值表,再以 6 4 3

所得到的数对 [r;θ ] 进行描点,计算的过程不但单调,也需要相当长的时间来 完成,而所描绘出的只不过是曲线大概的形状。

许多数学软件如 GSP、Mathematica、Maple、Mathcad…等皆有指令可以直接画出 极坐标函数的图形,让人省去了许多琐碎的绘图细节,实在很方便,不过高昂的 软件价格不是每个人所能负担的。在 GeoGebra 之中虽然没办法直接的输入极坐 标函数来进行绘图,不过我们可以利用工具绘图钮及指令经过一些简单的设定, 一样能很快地画出美妙的极坐标图形。 一、在 GeoGebra 中输入极坐标点

在 GeoGebra 之中直角坐标点是以 (x, y) 型式输入, 而极坐标点则是(r ; θ) 。 要注意的是极坐标点也是用小括号,和国内教科书符号不相同。 如上图:以极坐标方式输入点坐标,可输入 A=(2 ; 60°),或是 A=(2 ; pi/3) 想要转换成直角坐标,可在代数区中A点按鼠标右键,选取【直角坐标】 , 可将A点改为 直角坐标型式。 虽说 GeoGebra 可直接输入极坐标点,但是对于极坐标函数还是无法直接输 入来画出图形,变通的方法是利用现有的工具钮及指令来画。

二、极坐标作图纸 作图之前,可先画出一组同心圆及斜线作为背景图,以方便观察极坐标函数 r ? f (? ) 之 r,θ 的变化情形。

输入 O=(0,0) 输入 circles=sequence[Circle[O, i], i, 1, 15] (实际绘图时,可能依图形的大小而有必要调整同心圆的半径。 ) 输入 points=sequence[(cos(i pi/8),sin(i pi/8)),i,0,7] (注意:i pi/8 之间空一格表示相乘) 输入 lines=sequence[line[O,element[points,i]],i,1,8] 再将以上的圆及直线设定为虚线、颜色为淡色系列,并隠藏不必要的点。

建议将此作图纸文件属性设为「只读」 ,要用时可另存新檔,再用新存的档 来画极坐标图形,如此每次作图都有同心圆及斜线作为背景以方便观察。

三、画极坐标图形的三种方法 1.用 Curve 指令(直接画出完整的图) 计算机屏幕是直角坐目标世界, 将极坐标转换为直角坐目标型式可说是最直 接的绘图方法。 ? x ? (1 ? cos? ) cos? 以 r ? 1 ? cos ? 为例,转换为直角坐标其参数式为 ? ? y ? (1 ? cos? ) sin ?

在 GeoGebra 输入 curve[(1+cos(θ))cos(θ),(1+cos(θ))sin(θ),θ,0,2pi] 即可显示如 上之图形。当然若是嫌 θ 符号输入太麻烦(还要用鼠标操控来点选) ,也可 改为输入 curve[(1+cos(k))cos(k),(1+cos(k))sin(k),k,0,2pi]。 2. 用 Curve 指令(可用鼠标操控,让图形慢慢的呈现出来) 设定数值滑杆,名称为 t 范围最小为0,最大为 2pi 输入 curve[(1+cos(θ))cos(θ),(1+cos(θ))sin(θ),θ,0, t] 自行改变滑杆及曲线的颜色,来回拉动滑杆观察心脏线是如何画成的。

以上两种皆为利用 curve 指令来画,只要稍加改良便可以快速画出极坐标函 数图形。 同 样 的 以 r ? 1 ? cos? 为 例 , 一 开 始 先 输 入 f(x)=1+cos(x) , 然 后 再 输 入 curve[f(θ)cos(θ), f(θ)sin(θ), θ, 0, 2pi],便可看到其图形。

想要画其他的图如阿基米得螺线 r ? 出现所要的图形。

?
3

, 只要再输入 f(x) = x/3 绘图区立即

3.根据函数的定义来画(以心脏线 r = 1-cos(θ)为例)

1 利用 ○

在原点及(1,0) 画点,且命名为 O、A,并输入 circle[O,1]

画出单位圆,将其样式设定为虚线。
2 自制数值滑杆 ○

(因 GeoGebra 的数值滑杆无法配合

使用)

作线段 BC(长度适当即可) ,在上任取一点D, 输入 θ=2 pi *Distance[B, D] / Distance[B, C] (以 D 在 BC 上的位置来表示 0-2π 间的数字)
3 按画指定角钮 ○

,点选 A 点及 O 点,出现输入度数的窗口,输入 θ 之

后按 Enter,即可得 A’ ,作射线 OA’。 4 输入 r = 1-cos(θ) ○
5 按 ○

,点选 A’及O点,出现伸缩数值的窗口,输入 r,得另一点 A’’ ,以 A’’为要显示

6 按 ○

的点, 滑杆上的D为控制点, 即可出现曲线轨迹图形。 7 拉动线段上的 D 点,即可 ○ 看见 A’’ 点在曲线的轨迹上 移动。

以第 3 种方法有个好处,那就是可以直接修改 r,再按 Enter 键就会画出其 他的极坐标图形。 例如在输入字段输入 r = 1-sin(θ),再按 Enter 立刻出现直立型的心脏线,

这个方法虽然步骤略为繁琐, 但只要画好一个图形之后,想 要再画其他的图,就只要直接 输入极坐标函数即可立即显示 出图形,这比较符合一般人对 于数学绘图软件的期望。如右 图输入极坐标函数 r= exp(sin(θ ))-2cos(4θ ) 可得到蝴蝶线的图形。

四、漂亮的极坐标图形: (1)玫瑰线 r ? cos a? , a 为偶数时,图形为 2a 个花瓣;a 为奇数时,图形为 a 个花瓣;特殊情形 a=1 出现 1 个花瓣,那就是圆。 设定数值滑杆,名称为 a 范围最小为 1,最大为 12,增量为 1 输入 curve[(cos(a θ))cos(θ),(cos(a θ))sin(θ),θ,0,2pi] 拉动滑杆观察玫瑰线花瓣数目变化的情形。

(2)若说玫瑰是订情之物,心脏线又有数学家笛卡尔凄美的爱情故事背景, 两者的混合体( r ? a ? cos b? )当然是更加浪漫的图形。 设定两支数值滑杆,一支名称为 a 范围最小为 0,最大为 3,增量为 0.1,另一支 名称为 b 范围最小为 1,最大为 6,增量为 1 输入 curve[(a+cos(b θ))cos(θ),(a+cos(b θ))sin(θ),θ,0,2pi] (注意:b θ 之间空一格表示相乘) 拉动滑杆观察花瓣变化的情形。

五、切线的画法 先来看一下极坐标 r ? f (? ) 切线公式的推导过程: 其上某一点 P(xP,yP)的参数式为 ( x(? ), y(? )) ? ( f (? ) cos? , f (? ) sin ? ) y ' (? ) f (? ) cos(? ) ? f ' (? ) sin(? ) 过 P 点的切线斜率 m(? ) ? ? x ' (? ) ? f (? ) sin(? ) ? f ' (? ) cos(? ) 故过 P 点切线方程式即为 y ? y P ? m(? )(x ? xP ) 将上述算式改为 GeoGebra 指令依序输入如下: (以 r = 1-sin(θ)为例) 输入 f(x)=1-sin(x) 输入 curve[f(θ)cos(θ), f(θ)sin(θ), θ, 0, 2pi] 输入 g(x)= derivative[f(x)] 输入 m(x) = (f(x) cos(x) + g(x) sin(x)) / (g(x) cos(x) - f(x) sin(x)) 以 在心脏线轨迹上画一点,命名 量出 P 点的幅角,将其命

为 P,以

名为θ ,输入 y-y(P)=m(θ )(x-x(P)) 即可画出过 P 点之切线

六、附录:常见的极坐标函数 名称 对数螺线 阿基米得螺线 蚶线 心脏线. 玫瑰线 圆锥曲线 极坐标函数
r ? e a? r ? a ? b?
r ? a ? b cos ?

注 e 为自然对数 2.71828…. | a | = | b | 时,为心脏线.

r ? a(1 ? cos? )
r ? cos a? r ? sin a?

r?

2ep 1 ? e cos ?

e 为离心率, p 为焦点和准线的距离 e < 1 时,为椭圆, e = 1 时,为拋物线, e > 1 时,为双曲线

七、参考数据: 1. 东吴大学数学系 数学概论 第三章 极坐标 http://www.math.scu.edu.tw/mathlogic/math1.htm 2. Richard E. Johnson, Fred L. Kiokemeister Calculus with Analytic Geometry


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