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第15讲 数列的通项与求和 答案


第 15 讲 数列的通项与求和

答案

第 15 讲
【课前热身】

数列的通项与求和 答案

1,C 2,-2 3,2600 4,答案:C 解析:利用等差数列的性质,条件化为 12a4+12a11=36,即 a4+a11=3.又 14?(a1+a14) S14= =7(a4+a11),∴

S14=7?3=21. 2

【例题探究】
例 1(1)解析:首先由 S n ? n(2n ? 1)an 易求的递推公式:

(2n ? 1)an ? (2n ? 3)an?1 ,? ?

an 2n ? 3 ? an?1 2n ? 1

an?1 2n ? 5 a 1 ? ??? 2 ? an?2 2n ? 1 a1 5

将上面 n—1 个等式相乘得:

a n (2n ? 3)(2n ? 5)(2n ? 7) ?3 ? 1 3 ? ? a1 (2n ? 1)(2n ? 1)(2n ? 3) ?7 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) ? an ? 1 . (2n ? 1)(2n ? 1)
1 1 1 1 ? ?2? ? ?2 a n a n?1 a n a n ?1

(2)解析:倒数化归得:

?

1 1 3 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? a n a1 2 2 . 4n ? 3
10 ? 9 ? d ? 145 ? d ? 3 则: 2 ? 3 ? 2n ? 2

? an ?
例2

(1)解析:首先由 S10 ? 10 a1 ?

a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 2 ? a 2n

? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n ? 3(2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? 2n 2(1 ? 2 n ) ?3 ? 2n ? 3 ? 2 n ?1 ? 2n ? 6 1? 2 1 2 (2)解析:由题意: S n ? a n ( S n ? ),? a n ? S n ? S n ?1 2
1

第 15 讲 数列的通项与求和

答案

1 1 2 Sn ? ( S n ? S n ?1 )(S n ? ) ? ( S n ?1 ? S n ) ? S n S n ?1 2 2 1 1 1 1 ? ? ?2? ? ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 S n S n ?1 S n S1 ? Sn ? 1 . 2n ? 1

例 3 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 bn ? b1 q 故 bn ? b1 q
n ?1

1 , 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ? . 4 1 2 ? 2 ? n ?1 ,即{bn }的通项公式为 bn ? n ?1 . 4 4
n ?1

(II)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9

冲刺强化训练(15)
1.B
n

2.B

3 .B

4.B

5.C

6.A

7. C1C2 ??Cn 8 . 解 :( 1 ) 设 {an } 的 公 差 为 d , 则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12 , 又

a1 ? 2 ? d ? 2,? an ? 2n.
(2) S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2x ? 4x ? ? ? (2n ? 2) x
2 n?1

? 2nxn ①

xSn ? 2x 2 ? 4x 3 ? ? ? (2n ? 2) x n ? 2nxn?1 ② 当 x ? 1 时①-②得
2

第 15 讲 数列的通项与求和

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(1 ? x) S n ? 2( x ? x 2 ? ? ? x n ) ? 2n ? x n?1 ?

2 x(1 ? x n ) ? 2nxn?1 1? x

2 x(1 ? x n ) 2nxn?1 ,当 x ? 1 时 S n ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ? n(n ? 1) ? Sn ? ? 1? x (1 ? x) 2 n( n ? 1), x ?1 综上: S n ? 2 x(1 ? x n ) 2nx n ?1 ? , x ?1 1? x (1 ? x) 2
9.解: (I)由条件 an+1=Sn+1-Sn=[2an+1-3(n+1)+5]-(2an-3n+5)=2an+1-2an-3 ∴an+1=2an+3 ∴an+1+3=2(an+3) ∴{an+3}是等比数列

(II)注意到 a1=S1,在条件中取 n=1,得 a1=-2 ∴an+3=(a1+3) ×2n 1=2n
- -1

∴an=2n 1-3


代入条件得 Sn=2n-3n-1 假设满足条件的正整数 p、q、r 存在 则 p ? r ? 2q ┈①

S p ? Sr ? 2Sq ┈②

由②得(2p-3p-1)+(2r-3r+1)=2(2q-3q-1) 即 2p+2r-3(p+r)=2×2q-6q 将①代入得 2p+2r=2q+1

假设等差数列 p 、q、r 公差为 d,则 q=p+d, r=p+2d, d∈N* ∴代入上式有 2p+2p+2d=2p+d+1 两边同除以 2p ,得 1+22d=2d+1 即(2d-1)2=0,∴2d=1 ∴d=0,与 d∈N*矛盾 ∴满足条件的 p、q、r 不存在.

3


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