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盱眙中学2013届高三上学期期末考试数学试题


盱眙中学 2013 届高三上学期期末考试数学试题
一、填空题 1.已知向量 a,b 满足| a | = 1,b = 2,(a – b)·a = 0,则 a 与 b 的夹角为 .

2 . ?ABC 中 , A 、 B、 C 所 对 的 边 长 分 别 为 a 、b 、c , 且 a ? c ? 2 , AB ? BC ? ?2 , 则

r />??? ??? ? ?

b?
3.已知 + =1 , 则

。 、 , 满足 = . + (O 是坐标原点),若

点坐标满足的方程是

4.命题“存在 x ? R ,使得 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是 5.如果关于 x 的不等式

x ?3 ? x ?a ? 4

的解集不是空集,则参数 a 的取值范围是



6. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体: 存在非零常数 k, 对定义域中的任意 x, 等式 f (kx) =

k + f ( x) 恒成立.现有两个函数: f ? x ? ? ax ? b ? a ? 0 ? , g ? x ? ? log 2 x ,则函数 f ? x ? 、 g ? x ? 2
. , 则 等于 ___

与集合 M 的关系为 7.若集合

8.设 sn 是等差数列{ an }的前 n 项和,已知 a1 =3, a5 =11,则 s7 等于_________________ 9.数列

3 1 5 3 7 , , , , ,?的一个通项公式为_________. 5 2 11 7 17

10.不等式 2 ? (1 ? 2 ) x ? x 2 ? 0 的解集为_________________. 11.已知 a+1,a+2,a+3 是钝角三角形的三边,则 a 的取值范围是 12.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____ 13.已知一组数据 x1,x2,x3,?,xn 的平均数是 x ,方差是 S 2 ,那么另一组数据 2x1– 1,2x2 – 1,2x3– 1,?,2xn– 1 的平均数是 ,方差是 .
?

14.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是 棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有_ ___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 二、解答题

15. (Ⅰ)设函数 f ( x) ? x log 2 x ? (1 ? x) log 2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ,求 f (x) 的最小值; (Ⅱ)设正数 p1 , p 2 , p3 , ?, p 2n 满足 p1 ? p 2 ? p3 ? ? ? p 2n ? 1 ,证明

p1 log 2 p1 ? p 2 log 2 p 2 ? p3 log 2 p3 ? ? ? p 2n log 2 p 2n ? ?n

16.设 m ? Z ,函数 f ( x) ? x ?2 m

2

? m?3

, g ( x) ? log m?1

x?2 3 , 且f ( ) ? 1. 2? x 5

(1)求 m 的值,并确定函数 f ( x) 的奇偶性; (2)判断函数 g ( x) 的单调性,并加以证明。

17. (本题 16 分)已知函数 f ( x) ? (ax 2 ? x) ? e x ,其中 e 是自然数的底数, a ? R , 当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; 若当 x ?[?1,1] 时,不等式 f ( x) ? (2ax ? 1) ? e x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; 当 a ? 0 时,试判断:是否存在整数 k,使得方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? e ? x ? 2 在 [k , k ? 1]
x

上有解?若存在,请写出所有可能的 k 的值;若不存在,说明理由。

18.附加题) 已知矩 阵 A ? ? (1)计算 AB;

? 2 1? ?1 ? 2 ? ? , B ? ?0 1 ? ? ?2 1 ? ? ?

(2)若矩阵 B 把直线 l : x ? y ? 2 ? 0变为直线l ?, 求直线l ? 的方程。

19.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如果多做, 、 、 则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题 号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ? ?4 ?

?7

- 6? ?6? ? ,向量 ? ? ? ? . ? ?5? - 3? ? ?

(I)求矩阵 M 的特征值 ?1 、 ?2 和特征向量 ? 1和? 2 ; (II)求 M ? 的值.
6

?

?? ?

(2) (本小题满 分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 2cos ?, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为 ? ??为参数? .以直角坐标系原点 O 为 ? y ? sin ?

极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? π ? 2 2 . 4 (Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值.

?

?

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选 讲 (Ⅰ)已知:a、b、 c ? R? , 求证 : a 2 ? b 2 ? c 2 ?

1 (a ? b ? c) 2 ;w.w.w..c.o.m 3

(Ⅱ)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于 3,求其对角线长的最小值.

20.如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧上一点,

?POB ? 30? ,曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P .

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F 若△ OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. ...

参考答案 一、填空题

1.

? 3

【解析】

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? a?b 1 b 试题分析:由 a ? b ?a ? 0 得 a ? ? a ? 1 ? cos ? a, b ?? ? ? ? ?夹角为 3 a b 2

?

?

考点:向量数量积运算

b 点评: a ? ? a b cos ? a , b ?
2.2 【解析】 AB ? BC ? ?2,? BA ? BC ? 2, 即ac cos B ? 2,

? ?

? ?

? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? b ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2
3. 4. 对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 . 【解析】含有量词的命题既要否定量词,又要否定结论. 5. ?1 ? a ? 7 6. f ( x) ? M, g ? x ? ? M 【解析】 若 f ( x) =ax+b∈M, (1) 则存在非零常数 k, 对任意 x∈D 均有 f (kx) =akx+b=

k + f ( x) , 2

即 a(k-1)x=

k ?k ? 1 ? 0, 恒成立,得 ? 无解,所以 f ( x) ? M. 2 ?k ? 0, k k + log 2 x ,则 log 2 k = ,k=4,k=2 时等式恒成立,所以 f ( x) = log 2 x ∈M. 2 2

(2) log 2 (kx) = 7. 8.63 9.an=

n?2 3n ? 2

10. {x | x ? ? 2或x ? 1} 11. (0,2) 12.

1 16

13. 2 x ? 1 , 4S 2

14.30 二、解答题

15. (Ⅰ)解:对函数 f ( x) 求导数:

f ?( x) ? ( x log 2 x)? ? [(1 ? x) log 2 (1 ? x)]? ? log 2 x ? log 2 (1 ? x)
于是 f ?( ) ? 0 ,

? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ?

1 1 ? ln 2 ln 2

1 2

1 1 时, f ?( x) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x ? 时, f ?( x) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数, 2 2 1 1 所以 f ( x)在x ? 时取得最小值, f ( ) ? ?1 , 2 2
当x? (II)用数学归纳法证明 (ⅰ)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立 (ⅱ)假设当 n=k 时命题成立 即若正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2k 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2k ? 1 , 则 p1 log 2 p1 ? p2 log 2 p2 ? p3 log 2 p3 ? ? ? p2k log 2 p2k ? ?k 当 n=k+1 时,若正数 p1 , p2 , p3 ,? , p2k ?1 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2k ?1 ? 1 , 令 x ? p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2k

q1 ?

pk p1 p , q2 ? 2 ,??, q2k ? 2 x x x

则 q1 , q2 , q3 ,?, q2k 为正数,且 q1 ? q2 ? q3 ? ? ? q2k ? 1 , 由归纳假定知 q1 log 2 q1 ? q2 log 2 q2 ? q3 log 2 q3 ? ? ? q2k log 2 q2k ? ?k

p1 log 2 p1 ? p2 log 2 p2 ? p3 log 2 p3 ? ? ? p2k log 2 p2k ? x(q1 log 2 q1 ? q2 log 2 q2 ? q3 log 2 q3 ? ? ? q2k log 2 q2k ? log 2 x)

? x( ?k ) ? x l 2o g x



同理,由 p2k ?1 ? p2k ? 2 ? ? ? p2k ?1 ? 1 ? x ,可得

p2k ?1 log 2 p2k ?1 ? p2k ? 2 log 2 p2k ? 2 ? ? ? p2k ?1 log 2 p2k ?1

? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x) log 2 (1 ? x)
综合①、②两式



p1 log 2 p1 ? p2 log 2 p2 ? p3 log 2 p3 ? ? ? p2k ?1 log 2 p2k ?1

? x(?k ) ? x log 2 x ? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x) log 2 (1 ? x) ? (?k ) ? x log 2 x ? (1 ? x) log 2 (1 ? x)
? ?k ? 1 ? ? k ? 1 ) (
即当 n=k+1 时命题也成立 根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数 n 命题成立 16.略 17. (1) {x 0 ? x ? ? } ; (2) ? 【解析】

1 a

2 (3)存在唯一的整数 k ? 0 。 ? a ? 0; 3

(ax 2 ? x) ? e x ? 0, 因为 e x ? 0 所以 ax 2 ? x ? 0 , a ? 0 取根的中间;
f ( x) ? (2ax ? 1) ? e x ? 0 即不等式 ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,分类讨论:

a ? 0, a ? 0, 且 a ? 0 时, ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a 2 ? 1 ? 0
数形结合: 如图: 若 a ? 0 , x0 ? ?

2a ? 1 1 ? ?1 ? ? ?1 2a 2a

, 若 a ? 0 ,如图:

方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? e ? x ? 2 在 [k , k ? 1]
x

上有解,需判断函数在 [k , k ? 1] 上的单调性,数形结合。
2 (1) (ax ? x) ? e ? 0, 即 ax ? x ? 0 ,由于 a ? 0 ,所以 ax( x ? ) ? 0

2

x

1 a

所以解集为 {x 0 ? x ? ? } ; 当 x ?[?1,1] 时,即不等式 ax ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,
2

1 a

①若 a ? 0 ,则 x ? 1 ? 0 ,该不等式满足在 x ?[?1,1] 时恒成立; ②由于 ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 4a ? 1 ? 0 ,
2 2

所以 g ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ?1 有两个零点,
2

? ? a ? 0, ? 若 a ? 0 ,则需满足 ? g ( ?1) ? 0, ? 2a ? 1 ?? ? ?1 ? 2a

?a ? 0 ? 即 ?a ? 0 ,此时 a 无解; ? 2a ? 1 ? 2a ?

? ?a ? 0 a ? 0, ? ? 2 ? ③若 a ? 0 ,则需满足 ? g ( ?1) ? 0, ,即 ? a ? 0 ,所以 ? ? a ? 0 , 3 ? g (1) ? 0 ? 2 ? ?a ? ? 3 ?
综上所述,a 的取值范围是 ?

2 ? a ? 0。 3
x

x 方程即为 e ? x ? 2 ? 0 ,设 h( x) ? e ? x ? 2 ,

由于 y ? e 和 y ? x ? 2 均为增函数,则 h( x ) 也是增函数,
x

又因为 h(0) ? e ? 0 ? 2 ? ?1 ? 0 , h(1) ? e ? 1 ? 2 ? e ? 1 ? 0 ,
0 1

所以该函数的零点在区间 (0,1) 上,又由于函数为增函数,所以该函数有且仅有 一个零点,所以方程 e ? x ? 2 ? 0 有且仅有一个根,且在 (0,1) 内,所以存在唯
x

一的整数 k ? 0 。 18.略 19. (1)解: (I) M ? ? ?4 ?

?7

- 6? ? ?7 ? 的特征多项式为 f (? ) ? ? - 3? ?4

6

? ?3

? ?2 - 4? ? 3

令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 1, ?1 ? 2, ?2 ? 3

???????????????? ????2 分

当 ?1 ? 2, ?2 ? 3 1 时,得 ? 1 ? ? ? ;当 ?2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? ? 1? ? 2? ? ? ? ? (II)由 ? ? m?1 ? n? 2 得 ?

? 1?

? 3?

???????????4 分

?m ? 3n ? 6 ,得 m ? 3, n ? 1 ?m ? 2 n ? 5

???????????5 分

? 2190 ? 6 6 6 M 6 ? ? M (3?1 ? ? 2) (?1 1 ?1) ? 2 1 ? 2 ? ? ?3 ? ? 1460 ? ? ? ?

??????????7 分

(2)解: (Ⅰ) ? cos ? ? π ? 2 2 化简为 ? cos? ? ? sin ? ? 4 , 4

?

?

∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ;

??????? ??????????3 分

sin (Ⅱ)设点 P 的坐标为 ? 2cos ?, ? ? ,
得 P 到直线 l 的距离 d ?
5 sin ?? ? ? ? ? 4 2
2cos ? ? sin ? ? 4 2

, ?????? ?????????5 分
2 5

即d ?

,其中 cos ? ?

1 5

, sin ? ?



当 sin ?? ? ? ? ? -1 时, dmax ? 2 2 ? (3)m 解: (Ⅰ) a, b, c ? R? ,

10 . ????????????????7 分 2

根据柯西不等式有 : (a 2 ? b 2 ? c 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1 ? c ?1) 2 ,
1 即a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 , 当且a ? b ? c时等式成立. ?????????4 分 3 (Ⅱ)不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于 a、b、c,

故有a ? b ? c ? 3, 其对角线长l ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?
当且仅当a ? b ? c ? 1时对角线长取得最小值 3.
【解析】 20. (Ⅰ)

1 3

(a ? b ? c) 2 ? 3,

?????????7 分

x2 y2 ? ? 1. (Ⅱ) [- 2 ,-1]∪(-1, 1)∪(1, 2 ). 2 2

【 解 析 】 (I)先 建 系 , 然 后 根 据 || MA | ? | MB || 为定值,可确定点 M 的轨迹是双曲线, 然后按照求双曲线标准方程的方法求解即可. 2 2 (II) 先设直线 l 的方程 为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得(1-K )x -4kx-6=0.

?1 ? k 2 ? 0 ? k ? ?1 ? 根据条件可知 ? ,从而得到 k 的取值范围. ?? ?? ? (?4k ) 2 ? 4 ? 6(1 ? k 2 ) ? 0 ?? 3 ? k ? 3 ?
再利用弦长公式和韦达定理用 k 表示出|EF|,再利用点到直线的距离公式求出原点 O 到直线 l 的距离, 从而表示出三角形的面积,这样三角形的面积就表示成了关于 k 的函数, 再根据 S ? 2 2 ,得到关于 k 的不等式, 从而解出 k 的取值范围, 再与前面 k 的取值范围求交集即可. (Ⅰ)解法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2,0) , B(2,0) ,D(0,2),P( 3 ,1 ) ,依题意得
2 2 2 2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ( 2 ? 3 ) ? 1 ? (2 ? 3) ? 1 =2 2 <|AB|=4.

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线.

设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a =2,b =c -a =2.∴曲线 C 的方程为
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1. 2 2

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线.

x2 y2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a >0,b>0). a b
? 3) 12 ( 2 x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 则由 ? a 解得 a =b =2,∴曲线 C 的方程为 ? ? 1. b 2 2 ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

(Ⅱ)解法 1: 依题意, 可设直线 l 的方程为 y=kx+2, 代入双曲线 C 的方程并整理得 (1-K ) -4kx-6=0. x ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不 同的两点 E、F, ∴ ?

2

2

?1 ? k 2 ? 0 ? k ? ?1 ? ?? ?? ? (?4k ) 2 ? 4 ? 6(1 ? k 2 ) ? 0 ?? 3 ? k ? 3 ?

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x,y) ,F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? x 2 ) ?

4k 6 ,于是 , x1 x2 ? ? 2 1? k 1? k

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2

= 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

2 2 3? k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2



∴S△DEF=

1 1 2 2 2 3?k2 2 2 3?k2 d ? EF ? ? ? 1? k 2 ? ? . 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3? k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2. 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(1-,1) ∪(1,

2 ).

解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 2 2 得(1-K )x -4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,

?1 ? k 2 ? 0 ? k ? ?1 ? ∴ ? ?? ?? ? (?4k ) 2 ? 4 ? 6(1 ? k 2 ) ? 0 ?? 3 ? k ? 3 ?
∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? 1? k 2

?

2 2 3? k2 1? k 2

.



当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示) , S△OEF= S ?ODF ? S ?ODE ?

1 1 OD ? x1 ? x2 ? OD ? x1 ? x2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ?OEF ? S ?ODF ? S△ODE=
综上得 S△OEF=

1 1 OD ? ( x1 ? x2 ) ? OD ? x1 ? x2 . 2 2

1 OD ? x1 ? x2 , 于是 2

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

2 2 3?k2 1? k 2

.

若△OEF 面积不小于 2 2 , 即S ?OEF ? 2 2 , 则有

2 2 3? k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2.



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1, 1)∪(1, 2 ).


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