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2013届高考北师大版数学总复习课件:8.8空间向量的应用


第 八 节 空间向量的应用(理) 考纲解读 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的垂直、平行关系. 2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理). 3.能用向量方法解决直线与平面、平面与平面的夹角的计 算问题,了解向量方法在研究几何中的作用. 考向预测 1.空间向量的数量积及其坐标运算,是高考考查的重点, 多以选择、填

空题为主. 2.利用空间向量证明或判断线面平行、垂直问题. 3.利用空间向量求空间角、空间距离是重中之重,多以解 答题形式出现. 知识梳理 1.平面的法向量 (1)所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向 量,显然一个平面的法向量也有无数 个,它们是 共线 向量. (2)在空间中,给定一个点 A 和一个向量 a,那么以向量 a 为 法向量且经过点 A 的平面是 唯一 确定的. 2.直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系 中的应用 直线 l1 的方向向量 u1= (a1, b1, c1),直线 l2 的方向向量为 u2= (a2, b2, c2). 如果 l1∥ l2,那么 u1∥u2? (a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)(λ∈R), 如果 l1⊥ l2,那么 u1⊥u2? a1a2+b1b2+c1c2=0. 直线 l 的方向向量为 u= (a1, b1, c1),平面 α 的法向量为 n = (a2, b2, c2). 若 l∥ α,则 u⊥n?u· n= 0? a1a2+b1b2+c1c2=0; 若 l⊥ α,则 u∥n?u= kn? (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)k∈R; 平面 α1 的法向量为 u1= (a1, b1, c1),平面 α2 的法向量为 u2 = (a2, b2, c2). 若 α1∥ α2,则 u1∥u2?u1= ku2? (a1,b1,c1)=k(a2,b2, c2)k∈R; 若 α1⊥ α2,则 u1⊥u2?u1· u2= 0? a1a2+b1b2+c1c2=0. 3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线的夹角 π (0, ]. 2 ①范围:两异面直线夹角 θ 的取值范围是 ②向量求法:设直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 φ, 则有 cosθ= |cosφ | = ? a· b ? ? ? |b| ? ?|a|· . (2)直线与平面的夹角 ①定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的 投影的夹角. π [0, ]. 2 ②范围:直线和平面夹角 θ 的取值范围是 ③向量求法:设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u, 直线与平面所成的角为 θ,a 与 u 的夹角为 φ,则有 sinθ= |cosφ | 或 cosθ= sinφ. (3)二面角 ①二面角的取值范围是 [0,π]. ②二面角的向量求法: (ⅰ )若 AB、 CD 分别是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂 → → 直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角 (如图 ① ). (ⅱ )设 n1, n2 分别是二面角 α—l— β 的两个面 α, β 的法向量, 则向量 n1 与 n2 的夹角 (或其补角)的大小就是二面角的平面角的 大小 (如图②③ ). 4.利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的求法 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 → |AB· n| → → → |AB|· cos〈AB,n〉= |n|

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